第四节 函数单调性的判别法一,定理 设在上连续,在内可导,且
(1)若在内,则在上单调增加;
(2) 若在内,则在上单调减少.
证明 任取.不妨设.在上满足Lanrange中值定理的条件,则存在,使得

(1)如果,,则,所以
,
即在上单调增加.
(2)如果,,则,所以
,
即在上单调减少.

注意 (1)如果将定理中的闭区间换成其他任何区间,结论也成立;
(2)如果在其定义区间上连续,除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续.用的点(称为函数的驻点)和导数不存在的点划分定义区间为一些小区间,则在这些小区间内符号恒定,从而在这些小区间上分别单调增加(或减少).
(3)由(1)和(2)得求的单调区间的基本步骤是:
1.求的定义域;(如果给定所讨论的范围,此步省 );
2.求的点和不存在的点;
3.将2.中的点插入1.中得一些小区间,在这些小区间上分别讨论的符号,从而确定的单调区间.
例1 求下列函数的单调区间:
(1) (2).
解
(1),令,得,在上无不可导点.
列表讨论:












所以在上,在上.
(2) 的定义域为.
,
令得,无不可导点.
列表讨论:


1

2


+
0
-
0
+




所以在上,在上.
例2 讨论的单调性.
解 ,所以在上.
注意4 一般地,如果在某区间内有限或无限个点(无限个点不构成一个区间)处,而其余各点处恒为正(或负),则在该区间上是单调增加(或减少)的.
二.单调性的应用
1.证明不等式

基本思路是:
令如果则
,
从而
同理可得的证法.
令且.
证
证明不等式
(1)当时,;
证明 令

所以,即.
(2)当时,
令


所以,得,故即

2.证明方程在某区间上只有一根.
思路是:如果在上连续,在内可导.若在内单调有根,则只有一根.
证明方程只有一根.