第五章 定积分
第一节 定积分的概念
1.引例 —— 曲边梯形的面积设 在 上非负,连续,由直线及曲线 所围成的图形称为曲边梯形,如图,
)(xfy? ],[ ba
0, yax )(xfy?
(1)分区间,将 分成 个小区间其中 ;
表示第 个小区间的长度,
(2)近似作和式,,近似作和式
],[ ba n
],[,],,[,],,[],,[ 112110 bxxxxxxxxa nnii
bxxxxxxa nnii 1110
),,2,1(,1 nixxx iii i
],[ 1 iii xx,)( iii xfA
.)(
11
i
n
i
i
n
i
i xfAA
(3)取极限,令,得曲边梯形的面积即曲边梯形的面积为和的极限,
}{m a x1 ini x
b
a
i
n
i
i dxxfxfA )()(lim
10
2.定积分的定义定义 设 在 上有界,
(1)分区间,在 中插入 个分点把 分成 个小区间
(2)作和式,,作乘积,
再作和式
],[ ba)(xf
1?n],[ ba
,1110 bxxxxxxa nnii
n],[ ba
].,[,],,[,],,[],,[ 112110 bxxxxxxxxa nnii
],[ 1 iii xx ii xf?)(?
.)(
1
i
n
i
i xf
(3)取极限,令,取极限如果极限存在,则称函数 在 上可积,并称极限为函数 在 上的定积分,记作即其中,和式 称为积分和 ; 称为被积函数 ; 称为被积表达式 ; 称为积分变量 ; 分别称为积分上、下限 ; 称为积分区间,
)(xf ],[ ba
}{m a x1 ini x,)(lim 10 i
n
i
i xf
],[ ba)(xf,)(?b
a
dxxf
.)(lim)(
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i
b
a
xfdxxf
i
n
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i xf
1
)(? )(xf
dxxf )( x
ba,],[ ba
注意,
(1)当 存在时,定积分仅与被积函数和积分区间 (积分变量的变化区间 )有关,而与积分区间的分法和点的取法无关 ;特别与积分变量无关,即
(2) 在何种条件下在 上可积呢?有
1.如果 在 上连续时,则 存在 ;
2.如果 在 上有界,且只有有限个第一类间断点,则 在 上可积,
b
a
dxxf )(
.)()(
b
a
b
a
dttfdxxf
)(xf ],[ ba
)(xf ],[ ba?
b
a
dxxf )(
)(xf ],[ ba
)(xf ],[ ba
例 计算解 按定义计算,被积函数,积分区间为,
(1)分区间,将 区间 等份,分点为
,且
(2)作和式,由于定积分与点的取法无关,
取,作和式
1
0
2dxx
2)( xxf?
]1,0[
]1,0[ n
),,2,1(,ninix i,1nxi
ii x
n
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ii
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1
2
3
1
2
1
2
11
11)()()(?
.6 )12)(1()12)(1(611 23 n nnnnnn
(3)取极限,令,所以由此例可知,用定积分的定义计算定积分是非常繁的,从第二节开始介绍定积分的计算方法,
nx ini
1}{m a x
1
i
n
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i xfdxx
10
1
0
2 )(lim?
3
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6
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)12)(1(l i m
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nn
3.定积分的几何意义由引例知,曲边梯形的面积
,由此有
(1)当 时,(曲边梯形的面积 ),如图,
)0)((,)( xfdxxfA
b
a
0)(?xf Adxxfb
a
)(
)(a
(2)当 时,,如图,
(3)当 有正有负时,.
如图,
0)(?xf )(bAdxxfb
a
)(
)(xf
AAdxxf
b
a
)(
)(c
本节的学习到此结束
第一节 定积分的概念
1.引例 —— 曲边梯形的面积设 在 上非负,连续,由直线及曲线 所围成的图形称为曲边梯形,如图,
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(1)分区间,将 分成 个小区间其中 ;
表示第 个小区间的长度,
(2)近似作和式,,近似作和式
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2.定积分的定义定义 设 在 上有界,
(1)分区间,在 中插入 个分点把 分成 个小区间
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(2) 在何种条件下在 上可积呢?有
1.如果 在 上连续时,则 存在 ;
2.如果 在 上有界,且只有有限个第一类间断点,则 在 上可积,
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(1)分区间,将 区间 等份,分点为
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(2)作和式,由于定积分与点的取法无关,
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(3)取极限,令,所以由此例可知,用定积分的定义计算定积分是非常繁的,从第二节开始介绍定积分的计算方法,
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3.定积分的几何意义由引例知,曲边梯形的面积
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