第二节 定积分的性质
对定积分的补充规定,
(1) ;
(2),
由此知,定积分的下限可以大于上限,
0)(
a
a
dxxf
)(,)()( abdxxfdxxf
a
b
b
a

定积分有如下性质,
1,
2,是常数,
3.定积分关于积分区间具有可加性 (主要应用于分段函数的定积分的计算 ),
4,
.)()()]()([
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf
,)()(
b
a
b
a
dxxfkdxxkf k
.)()()(
b
c
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxf
.1 abdxdx
b
a
b
a

5.如果,则,
一般地,如果,
则特别地,有
6.估值不等式,如果,则
],[,0)( baxxf 0)(b
a
dxxf
],[),()( baxxgxf
.)(,)()(
b
a
b
a
badxxgdxxf
).(,)()( badxxfdxxf
b
a
b
a

],[,)( baxMxfm
).(),()()( baabMdxxfabm
b
a

7.中值定理,
如果 在 上连续,则至少存在一点,
使得
)(xf ],[ ba
],[ ba
).(),)(()( baabfdxxf
b
a

例 1 设 在 上连续,,
且,则,
证明 反证法,设 不恒为零,,则使得,又 在 上连续,则 在处连续,所以,当 时,有,
此时所以与 矛盾,#
],[,0)( baxxf
0)(
b
a
xf
)(xf
0)(?xf
],[ ba
)(xf ],[ bax? ),,(
0 bax
0)( 0?xf )(xf ],[ ba
),( 0?xU?
)(xf
0x
),( 0?xUx? 0)(?xf
.0)(
0
0

x
x
dxxf
,0)()()()()(
0
00
0
0
0

x
x
b
x
x
x
x
a
b
a
dxxfdxxfdxxfdxxfxf
0)(
b
a
xf
例 2 估计 的值,
解,所以即

4
5
4
2 )s i n1(
dxx
2s i n11 2 x
)
44
5
(2)s i n1()
44
5
(1
4
5
4
2
dxx
.2)s i n1(
4
5
4
2
dxx
例 3 比较 与 的大小,
解,
所以
1
0
dxex
1
0
)1( dxx
)0(,1 xxe x
.)1(
1
0
1
0
dxxdxe x
本节的学习到此结束