第九节 函数的连续性与间断点
一,函数的连续性
1.函数在一点的连续性
(1)定义 设在内有定义.如果
,
则称在处连续.
由于,故,当时,则.
所以,从而由此有
定义 设在内有定义.如果
(即当时的极限等于该点的函数值)
则称在处连续.
定义(语言) 设在内有定义.,当时,有
则称在处连续.
(2)左连续、右连续
定义 (1)设在上有定义.如果
(或)
则称在处右连续.
(2)设在上有定义.如果
(或)
则称在处左连续.
注意 在处连续在处既左连续又连续.该结论主要用于讨论分段函数在分段点处的连续性.
2.连续函数
如果在开区间内每一点均连续,则称在内连续,称为的连续区间.
如果在开区间内连续,且在处右连续,处左连续,则称在上连续,称为的连续区间.
几何上,连续函数的图形是一条连绵不断的曲线.
例 设,求使得在处连续.
解 在处连续,则
,
,
且 .所以
解得
例 证明在内连续.
证明 ,则
,
所以
,
因为,,所以.又,所以
即在内连续.
二,函数的间断点
设在内有定义.如果满足下列三种条件之一:
(1)在处无定义;
(2)在处有定义,但不存在;
(3) 在处有定义,且存在,但.
则称在处不连续,点称为的不连续点或间断点.
根据在间断点函数的不同性质状态,可将间断点分成以下两大类:
1.第一类间断点
左、右极限都存在的间断点,称为第一类间断点.
(1)可去间断点
如果是的间断点,且,则是的可去间断点.
显然,如果定义,则在处连续.
例 在处无定义,点为的间断点.但
.
如果补充定义,即
则在处连续.
(2)跳跃间断点
如果是的间断点,且,则是的跳跃间断点.
例 讨论在处的连续性.
解 为的分段点,从而
因为,所以为的间断点,且为第一类的跳跃间断点.
2.第二类间断点
函数的不是第一类间断点的任何间断点,称为函数的第二类间断点.
例 ,是其间断点,且
所以是的第二类间断点,也称是的无穷间断点.
例 ,是其间断点,且时,不存在,在内无限振荡,故为的第二类间断点,也称为的振荡间断点.
例 设.求
(1)的间断点,并指出间断点的类型;
(2) 的连续区间.
解 (1)显然为的间断点.又
,
所以为的第一类跳跃间断点.
(2) 的连续区间为
例 讨论的连续性,若有间断点,并指出间断点的类型.
解 ,
当时,.
当时,显然所以
显然在内连续.又
所以为的第一类可去间断点.如果重新定义
则在处连续.
一,函数的连续性
1.函数在一点的连续性
(1)定义 设在内有定义.如果
,
则称在处连续.
由于,故,当时,则.
所以,从而由此有
定义 设在内有定义.如果
(即当时的极限等于该点的函数值)
则称在处连续.
定义(语言) 设在内有定义.,当时,有
则称在处连续.
(2)左连续、右连续
定义 (1)设在上有定义.如果
(或)
则称在处右连续.
(2)设在上有定义.如果
(或)
则称在处左连续.
注意 在处连续在处既左连续又连续.该结论主要用于讨论分段函数在分段点处的连续性.
2.连续函数
如果在开区间内每一点均连续,则称在内连续,称为的连续区间.
如果在开区间内连续,且在处右连续,处左连续,则称在上连续,称为的连续区间.
几何上,连续函数的图形是一条连绵不断的曲线.
例 设,求使得在处连续.
解 在处连续,则
,
,
且 .所以
解得
例 证明在内连续.
证明 ,则
,
所以
,
因为,,所以.又,所以
即在内连续.
二,函数的间断点
设在内有定义.如果满足下列三种条件之一:
(1)在处无定义;
(2)在处有定义,但不存在;
(3) 在处有定义,且存在,但.
则称在处不连续,点称为的不连续点或间断点.
根据在间断点函数的不同性质状态,可将间断点分成以下两大类:
1.第一类间断点
左、右极限都存在的间断点,称为第一类间断点.
(1)可去间断点
如果是的间断点,且,则是的可去间断点.
显然,如果定义,则在处连续.
例 在处无定义,点为的间断点.但
.
如果补充定义,即
则在处连续.
(2)跳跃间断点
如果是的间断点,且,则是的跳跃间断点.
例 讨论在处的连续性.
解 为的分段点,从而
因为,所以为的间断点,且为第一类的跳跃间断点.
2.第二类间断点
函数的不是第一类间断点的任何间断点,称为函数的第二类间断点.
例 ,是其间断点,且
所以是的第二类间断点,也称是的无穷间断点.
例 ,是其间断点,且时,不存在,在内无限振荡,故为的第二类间断点,也称为的振荡间断点.
例 设.求
(1)的间断点,并指出间断点的类型;
(2) 的连续区间.
解 (1)显然为的间断点.又
,
所以为的第一类跳跃间断点.
(2) 的连续区间为
例 讨论的连续性,若有间断点,并指出间断点的类型.
解 ,
当时,.
当时,显然所以
显然在内连续.又
所以为的第一类可去间断点.如果重新定义
则在处连续.
