第七章 空间解析几何与向量代数
第一节 空间直角坐标系
第二节 向量及向量的加法与数乘
第三节 向量的坐标
第四节 数量积 向量积 混合积
第五节 空间曲面及其方程
第六节 平面及其方程
第七节 空间曲线极其方程第一节 空间直角坐标系一,点的坐标二,两点间的距离公式设 为空间两点,则特别地,设,则
),,(),,,( 22221111 zyxMzyxM
21221221221 )()()( zzyyxxMM
),,( zyxM
222 zyxOM
例 在 轴上求与两点 和 等距离的点,
解,设,则 即解得,
z )7,1,4(?A )2,5,3(?B
),0,0( zM BMAM?
222222 )2()50()30()7()10()40( zz
9
14?z
第二节向量及向量的加法与数乘一,向量以 为始点,为终点的向量,记为 =
以 为起点,为终点的向量,成为点 的向径,记为
自由向量,不考虑起点的向量,以后所指的狭昂了均是自由向量,
向量的模,
1M 2M 21MM a
O M M OMr?
aMM,21
单位向量,
零向量,,(方向任意 )
平行向量,与 的方向相同或相反,
负向量,
1?a
00?0
aba?// b
.;
:
方向相反与 a
aa
a
二,向量的加法
1,三角形法则,
对于有限个向量,也成立,如下图
2,平行四边形法则,
性质,
① 交换律 ;
② 结合律,
向量的减法
bac
naaa,,,21?
abba
)()( cbacba
)(^ baba
三,向量的数乘
定义 设,则Ra,
.00,0)3(;,0;,0)2(;)1(
a
aaaa
aa
a
时当反向与时当同向与时当
当 时,
的单位向量 与 同向的单位向量,则或
1 aaaa )1(;1
0?a 0a a
a
aa?0
0aaa?
性质,
① 结合律
② 分配律
③
aaa )()()(
babaaaa )(;)(
)0(),!(,// aRabba
例 证明,三角形两边中点的连线平行于第三边,且长度为第三边的一半,
证明,设 则,
又 则,
所以,且
bACaAB,
cbABACBC
bACAFaABAE 2121,2121
BCababAEAFEF 21)(212121
BCEF // BCEF 21?
第三节 向量的坐标一,投影及其性质
1,有向线段的值有向线段 的值显然有
①
① (不论 在轴 上的位置如何 )
.,;,
反向与轴同向与轴
UABAB
UABAB
ABAB
BCABAC
0UABAB
CBA,,U
2,向量的夹角设非零向量,则 称为 与 的夹角,
3,向量在轴上的投影
① 点在轴上的投影为 在轴 上的投影,
② 向量 在轴 上的投影其中 为投影轴
ba,)0(),,( ^ ba a b
AB u
A? A u
BAABjuPr
u
4,性质
性质 1 (投影定理 )
其中 为 与轴 的夹角,
性质 2 向量和的投影等于各向量的投影之和,即
性质 3 数乘的投影等于投影的数乘,即
c o sPr ABABj u
AB u
n
i
i
n
i
i ajaj
11
Pr)(Pr
ajaj Pr)(Pr
二,向量的坐标
设则向量 称为 分别在 轴,轴,轴上的分向量,而称为 分别在 轴,轴,轴上的投影
2122221111 ),,,(),,,( MMazyxMzyxM?
21212111121 RRQQPPRMQMPMMM
222121,,RRQQPP 21MMa?
122112211221,,zzRRayyQQaxxPPa zyx
x y z
21MMa?
x y z
令 --坐标单位向量,则故或称为向量 (关于坐标单位向量 )的分解式,
000,,OzkOyjOxi
iaixxPP x )( 1221
jajyyQQ y )( 1221
kakzzRR z )( 1221
kajaiaa zyx
kzzjyyixxMM )()()( 12121221
a
而 称为向量 坐标,记为
=
称为向量 的坐标表达式,(注意与点的坐标的表示的区别 )
显然,以 为起点,以 为终点的向量点 的向径
zyx aaa,,a
},,{ zyx aaaa
a
),,( 1111 zyxM ),,( 2222 zyxM
},,{ 12121221 zzyyxxMM
),,( zyxM
},,{ zyxOM?
三,向量坐标表达式的应用
1,向量的加法设 =,,则
2,向量的数乘设 =,,则
=,
3.,(对应的坐标成比例 ).
},,{ zyx aaaa },,{ zyx bbbb?
},,{ zzyyxx babababa
},,{ zyx aaaa R
},,{ zyx aaaa?
z
z
y
y
x
x
b
a
b
a
b
aabba//
4,定比分点的坐标则 点的坐标满足即故
1MBAM M
MBAM
},,{},,{ 222111 zzyyxxzzyyxx
).(
),(
),(
21
21
21
zzzz
yyyy
xxxx
解得特别地,当 时,为 的中点,则点 的坐标为
.
1
,
1
,
1
21
21
21
zz
z
yy
y
xx
x
1 M MAB
2,2,2
212121 zzzyyyxxx
5,向量的模设 =,则
6,向量的方向余弦设 = 与三条坐标轴的正向的夹角分别为
----称为向量 的方向角,其中,则称为向量 的方向余弦,
},,{ zyx aaaa
222 )()()( zyx aaaa
},,{ zyx aaaa
,,a,,0
c o s,c o s,c o s a
由投影定理知,
当 (即 ) 时,有
c o s,c o s,c o s aaaaaa zyx
222 )()()( zyx aaaa 0? 0?a
.c o s;c o s;c o s
222
222
222
zyx
zz
zyx
yy
zyx
xx
aaa
a
a
a
aaa
a
a
a
aaa
a
a
a
且显然
1co sco sco s 222
}c o s,c o s,{ c o s0a
例 设,求 的模、方向余弦、方向角,
解,
=,则的模为,
的方向余弦为,
的方向角为,
)0,3,1(),2,2,2( 21 MM 21MM
21MM }2,1,1{
21MM 2)2(1)1( 222
21MM
21MM 2 2c o s,21c o s,21c o s
21MM 43,3,32
例 设,求 使得,
解,
}4,,2{},2,3,1{ yba y ba//
642321 yyba//
例 设,且与 轴和 轴的夹角均为,求向量的表达式,
解,
方法一,设 =,则
8?a Ox 3?Oy
},,{ zyx aaaa;43c o sc o s aaa x
43c o sc o s aaa y
c o saa z?
因为,故,
所以,
则所以
1co sco sco s 222
2
1cos 2
2
2c o s
.24za
}.24,4,4{a
方法二,由,
得,
所以故
1co sco sco s 222
2
2c o s
}.2 2,21,21{}c o s,c o s,{ c o s0a
}.24,4,4{}2 2,21,21{80 aaa
第四节 数量积 向量积 混合积
一,数量积
1.定义及其性质向量 与 的数量积,记为,定义为由数量积的定义,有
a b ba?
).,co s ( ^ bababa
(1),所以
(2) 或
(3),所以
(4)
ajbbjaba ba PrPr
a
babj
b
baaj
ab
Pr,Pr
2aaa,aaa
)0,0(,),c o s (
^
ba
ba
baba,a r c c o s),( ^
ba
baba
.02),( ^ bababa?
运算规律,
(1)交换律,;
(2)分配律,;
(3)
abba
cabacba )(
).()()( bababa
2.数量积的坐标表达式设,则即两向量的数量积等于对应的坐标分量乘积之和,
},,{},,,{ zyxzyx bbbbaaaa
zzyyxx babababa
由 1.之 (3),有上式是求 的基本方法,
由 1.之 (4),有
222222
^
),c o s (
zyxzyx
zzyyxx
bbbaaa
bababa
ba
),( ^ba
.002),( ^ zzyyxx babababababa?
例 1 设求解,
,3),(,1,2,3,32 ^ bababaBbaA
.BA?
22 376)3()32( bbaababaBA
2^2 3),co s (76 bbabaa
28132112726 22
例 2 设,求
(1) ; (2) ; (3)
解 (1)
(2) 所以
(3)
kjibkjia 22,4
)4()3( ba? ),( ^ba,Pr aj
b
)(12)4()3( baba
1 0 8]2)4()2(111[12
,
2
2
318
9),( ^
ba
baba,43),( ^ba
.3
3
9Pr
b
baaj
b
例 3 设,求 是的条件,
解,
即解得
}5,4,{},1,2,3{ pba ba?
0 baba
.0)5(1)4()2(3p
.1p
二,向量积
1.定义及其性质向量 与 的向量积,记为,定义为
(1)
(2),且 构成右手系,
显然有,①
② 或
③ 等于以 为邻边的平行四边形的面积,,
ba?a b
);,s i n ( ^ bababa
bbaaba,baba?,,;0 aa
0),(// ^ baba ;0 ba?
ba?
ab
ba,
运算规律,
(1) ;
(2)
(3)
abba;)(;)( acabacbcabacba
).()()( bababa
例 1 设,求,
解,所以
32),(,2,3 ^ baba )()( baba
)(2)()( bababa
babababa 2)(2)()(
36),s i n (2 ^ baba
例 2 设,求同时垂直于 与 的单位向量,
解,,则故所求单位向量
)3,1,2(),0,1,2(),2,2,3(),4,0,1( DCBA
AB CD
}2,2,2{AB }3,2,4{?CD
}4,14,10{
324
222
kji
CDAB
}.
78
2,
78
7,
78
5{
782
}4,14,10{0
CDAB
CDABC
例 3 求以 与 为边所作平行四边形的对角线长及面积,
解 对角线,
所以故所求的平行四边形的面积为
jia kjb 2
},1,3,1{},1,1,1{ 21 balbal
.11,3 21 ll
.62
120
011
kji
kji
baA
三,混合积向量 的混合积,记为,规定为设,
则
cba,,],,[ cba
.)(],,[ cbacba
},,{},,,{},,,{ zyxzyxzyx ccccbbbbaaaa
.],,[
zyx
zyx
zyx
ccc
bbb
aaa
cba?
几何意义,
(1)如果 构成右手系,
则,
(2)如果 构成左手系,
则,
cba,,
平行六面体Vcba?],,[
cba,,
平行六面体Vcba],,[
例 向量 共面,
证明,
向量 共面
cba,,0
zyx
zyx
zyx
ccc
bbb
aaa
cba,,0 平行六面体V
0],,[ cba
.0
zyx
zyx
zyx
ccc
bbb
aaa
第五节 空间曲面及其方程
一,曲面方程如果空间曲面 与三元方程
(*)
有
(1)曲面 上任一点的坐标 满足方程
(*);
(2)不在曲面 上的点的坐标不满足方程 (*),
则方程 (*)称为空间曲面 的方程,曲面 称为方程 (*)的图形,
S
0),,(?zyxF
),,( zyxS
S
S S
二,球面的标准方程及一般方程
1.标准方程与定点 的距离为常数 的曲面称为球面,点 称为球面的球心,常数 称为球面的半径,
设 为球面上的任一点,则即
),,( 0000 zyxM R
),,( 0000 zyxM
R
),,( zyxM,0 RMM?
.)()()( 202020 Rzzyyxx
故球心在,求半径为 的球面方程为特别地,如果球心在原点,则球面方程为
),,( 0000 zyxM R
.)()()( 2202020 Rzzyyxx
)0,0,0(O
.2222 Rzyx
2.球面的一般方程三元二次方程称为球面的一般方程,其特点是,平方项前的系数均相等,且缺少混合项,
)0(,0222 AGCzEyDxAzAyAx
例 方程 表示怎样的空间曲面?
解 配方后,有所以该方程表示球心在点,球半径为 的球面,
042222 yxzyx
,)5()2()1( 2222 zyx
)0,2,1(0?M
5
三,旋转曲面及其方程平面上的一条曲线绕该平面上的一条定直线旋转一周所得的空间曲面称为旋转曲面,定直线称为旋转曲面的轴
问题,设 坐标面上的一已知曲线 的方程,
将其绕 轴旋转一周,得一旋转曲面,求旋转曲面的方程,
解 旋转曲面的方程为如果绕 轴旋转,所得旋转曲面方程为
yoz C
.0),(?zyf
z
.0),( 22 zyxf
y
.0),( 22 zxyf
注,由此得坐标面上的曲线绕相关坐标轴旋转一周所得旋转曲面方程的求法,
如 面上的曲线,,绕 轴旋转,所得旋转曲面方程,可用下面的方法得到,
旋转轴为 轴,则在 中 保持不变,此时变量 用 代替,从而得到旋转曲面的方程为
xoy 0),(,?yxfC x
0),(?yxfx x
22 zyy
.0),( 22 zyxf
例 将 面上的双曲线
(1)绕 轴旋转所得的旋转曲面的方程为即
(2)绕 轴旋转所得的旋转曲面的方程为即
xoz 1
2
2
2
2
c
z
a
x
x
,1)( 2
222
2
2
c zyax,1
2
22
2
2
c
zy
a
x
z
.1)( 2
2
2
222
cza yx
.1222 22 cza yx
四,柱面及其方程平行于定直线并沿定曲线 移动的动直线 形成的轨迹,称为柱面,定曲线称为柱面的准线,动直线 称为柱面的母线,
C
l
C
C
l
问题,设柱面的准线为 面上的曲线,,母线平行于 轴,求该柱面方程,
解 所求柱面方程为由此可得,
(1)缺少一个变量的三元方程在空间直角坐标系下表示一个柱面,如,
xoy
0),(,?yxfC z
.0),(?yxf
1.方程 表示以 坐标面上的曲线,为准线,母线平行于 轴的柱面,
2.方程 表示以 坐标面上的曲线,为准线,母线平行于 轴的柱面,
0),(?yxF xoy
0),(,?yxFC z
0),(?zyF yoz
0),(,?zyFC x
3.方程 表示以 坐标面上的曲线,为准线,母线平行于 轴的柱面,
(2)二员方程 在平面直角坐标系下表示一条曲线 ;但在空间直角坐标系下表示一个柱面
0),(?zxF xoz
0),(,?zxFC y
0),(?yxF
例 (1)方程 在平面直角坐标系下表示一个圆 ;但在空间直角坐标系下表示以 坐标面上的圆 为准线,
母线平行于 轴的柱面 (圆柱面 ),
(2)方程 在平面直角坐标系下表示一条直线 ;但在空间直角坐标系下表示以 坐标面上的直线 为准线,母线平行于 轴的柱面 (即平面 ),
222 Ryx
xoy
z
222 Ryx
1 yx
xoy
1 yx z
第六节 平面及其方程
一,平面的点法式方程
⒈ 平面的法向量与平面垂直的非零向量,称为平面的法向量,一般记为,显然平面的法向量不惟一,
n
2.平面的点法式方程设平面 的法向量为,且平面过点,求平面 的方程,
解 设,则又,故所求平面的方程为上式即为平面 的点法式方程,
},,{ CBAn?
),,( 0000 zyxM?
),,( zyxM,000 nMMnMM
},,{ 0000 zzyyxxMM
.0)()()( 000 zzCyyBxxA
例 求过点 的平面方程,
解,故可取平面 的法向量,
故所求平面的方程为即
)3,2,0(),2,3,1(),4,1,2( 321 MMM
}1,3,2{,}6,4,3{ 3121 MMMM
}1,9,14{
132
6433121
kji
MMMMn
.0)4)(1()1(9)2(14 zyx
.015914 zyx
二,平面的一般方程
1.三元一次方程称为平面的一般方程,其中 为平面的法向量,
0 DCzByAx
},,{ CBAn?
2.特殊平面方程
(1)当 时,方程 表示过原点的一个平面,
(2)当 时,方程 表示平行于轴的一个平面,
( 时,平面平行于 轴 ;当 时,平面平行 于轴 ).
(3)当 时,方程 表示平行于 坐标面的平面,
(,平面平行于 坐标面 ;当 时,平面平行于坐标面 ).
0?D 0 CzByAx
0?A 0 DCzBy x
0?B 0?Cy z
0 BA 0 DCz xoy
0 CA xoz 0 CB yoz
3.平面的截矩式方程旗子 分别是平面在 轴上的截距,
1 czbyax
cba,,zyx,,
例 求过轴和点的平面方程,
解,
方法一,平面过 轴,故,设平面方程为又平面过点,则解得,故所求平面方程为
0 DAx
.0 CzBy
)1,3,4(,03 CB
BC 3
.03 zy
方法二,
平面过 轴,则平面 过,则平面的法向量,故可取所求平面方程为即
)0,0,1(),0,0,0(?x
}1,3,3{, nin
}3,1,0{
133
001
kji
n
0)0()3()0(1)0(0 zyx
.03 zy
三,两平面的夹角两平面的法向量的夹角 (指锐角 )称为两平面的夹角,记为,
设平面,
故又设平面,
故
)20(
1?,0
1111 DzCyBxA
}.,,{ 111 CBAn?
2? 02222 DzCyBxA
}.,,{ 222 CBAn?
则由得平面 与平面 的夹角由此有
(1)平面
(2)平面
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
21
21c o s
CBACBA
CCBBAA
nn
nn
1? 2?
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121a r c c o s
CBACBA
CCBBAA
002 2221212121 CCBBAAnnnn
2?1?
2
1
2
1
2
1
2121 0//0 C
C
B
B
A
Annnn
//1? 2?
例 平面 过点 及,且垂直于平面,,求平面的方程,
解 平面 的法向量,向量
.则平面 的法向量,且
.故可取则所求平面的方程即
)1,1,1(1M )1,1,0(2?M
0:0 zyx
0? }1,1,1{0?n
}2,0,1{21MM
0nn?
21MMn?
}1,1,2{
201
111210
kji
MMnn
0)1(1)1(1)1(2 zyx
.02 zyx
四,点到平面的距离设点,平面,
则点 到平面 的距离 为
),,( 0000 zyxM,0, DCzByAx
0M
d?
.
222
000
CBA
DCzByAxd
第七节 空间曲线及其方程
一,空间曲线的一般方程设曲线 为曲面 与曲面的交线,则曲线 的一般方程为
0),,(:1 zyxFC
0),,(:2 zyxG C
.0),,(
,0),,(
zyxG
zyxF
例 方程组表示怎样的曲线?
解 表示上半球面与圆柱面的交线,
222
222
)
2
()
2
(
,
a
y
a
x
yxaz
二,空间曲线的参数方程方程组称为曲线 的参数方程,
).(
),(
),(
tzz
tyy
txx
C
三,空间曲线在坐标面上的投影设曲线 的一般方程为
(1)消去 得,,它表示曲线 关于坐标面的投影柱面,则曲线 在 坐标面上的投影方程为即投影柱面与坐标面的交线,
C
.0),,(
,0),,(
zyxG
zyxF
0),(?yxH
xoy
z C
C xoy
0
,0),(
z
yxH
(2)消去 得,,它表示曲线关于 坐标面的投影柱面,则曲线 在坐标面上的投影方程为
(3)消去 得,,它表示曲线关于 坐标面的投影柱面,则曲线 在坐标面上的投影方程为
0),(?zyR
yoz
Cx
C
yoz
0
,0),(
x
zyR
0),(?zxS
xoz
0
,0),(
y
zxS
y C
C xoz
例 设一立体由上半球面及锥面 所围成,求其在坐标面上的投影,
解 所求投影区域,
224 yxz
)(3 22 yxz xoy
.0
,122
z
yx
D
第一节 空间直角坐标系
第二节 向量及向量的加法与数乘
第三节 向量的坐标
第四节 数量积 向量积 混合积
第五节 空间曲面及其方程
第六节 平面及其方程
第七节 空间曲线极其方程第一节 空间直角坐标系一,点的坐标二,两点间的距离公式设 为空间两点,则特别地,设,则
),,(),,,( 22221111 zyxMzyxM
21221221221 )()()( zzyyxxMM
),,( zyxM
222 zyxOM
例 在 轴上求与两点 和 等距离的点,
解,设,则 即解得,
z )7,1,4(?A )2,5,3(?B
),0,0( zM BMAM?
222222 )2()50()30()7()10()40( zz
9
14?z
第二节向量及向量的加法与数乘一,向量以 为始点,为终点的向量,记为 =
以 为起点,为终点的向量,成为点 的向径,记为
自由向量,不考虑起点的向量,以后所指的狭昂了均是自由向量,
向量的模,
1M 2M 21MM a
O M M OMr?
aMM,21
单位向量,
零向量,,(方向任意 )
平行向量,与 的方向相同或相反,
负向量,
1?a
00?0
aba?// b
.;
:
方向相反与 a
aa
a
二,向量的加法
1,三角形法则,
对于有限个向量,也成立,如下图
2,平行四边形法则,
性质,
① 交换律 ;
② 结合律,
向量的减法
bac
naaa,,,21?
abba
)()( cbacba
)(^ baba
三,向量的数乘
定义 设,则Ra,
.00,0)3(;,0;,0)2(;)1(
a
aaaa
aa
a
时当反向与时当同向与时当
当 时,
的单位向量 与 同向的单位向量,则或
1 aaaa )1(;1
0?a 0a a
a
aa?0
0aaa?
性质,
① 结合律
② 分配律
③
aaa )()()(
babaaaa )(;)(
)0(),!(,// aRabba
例 证明,三角形两边中点的连线平行于第三边,且长度为第三边的一半,
证明,设 则,
又 则,
所以,且
bACaAB,
cbABACBC
bACAFaABAE 2121,2121
BCababAEAFEF 21)(212121
BCEF // BCEF 21?
第三节 向量的坐标一,投影及其性质
1,有向线段的值有向线段 的值显然有
①
① (不论 在轴 上的位置如何 )
.,;,
反向与轴同向与轴
UABAB
UABAB
ABAB
BCABAC
0UABAB
CBA,,U
2,向量的夹角设非零向量,则 称为 与 的夹角,
3,向量在轴上的投影
① 点在轴上的投影为 在轴 上的投影,
② 向量 在轴 上的投影其中 为投影轴
ba,)0(),,( ^ ba a b
AB u
A? A u
BAABjuPr
u
4,性质
性质 1 (投影定理 )
其中 为 与轴 的夹角,
性质 2 向量和的投影等于各向量的投影之和,即
性质 3 数乘的投影等于投影的数乘,即
c o sPr ABABj u
AB u
n
i
i
n
i
i ajaj
11
Pr)(Pr
ajaj Pr)(Pr
二,向量的坐标
设则向量 称为 分别在 轴,轴,轴上的分向量,而称为 分别在 轴,轴,轴上的投影
2122221111 ),,,(),,,( MMazyxMzyxM?
21212111121 RRQQPPRMQMPMMM
222121,,RRQQPP 21MMa?
122112211221,,zzRRayyQQaxxPPa zyx
x y z
21MMa?
x y z
令 --坐标单位向量,则故或称为向量 (关于坐标单位向量 )的分解式,
000,,OzkOyjOxi
iaixxPP x )( 1221
jajyyQQ y )( 1221
kakzzRR z )( 1221
kajaiaa zyx
kzzjyyixxMM )()()( 12121221
a
而 称为向量 坐标,记为
=
称为向量 的坐标表达式,(注意与点的坐标的表示的区别 )
显然,以 为起点,以 为终点的向量点 的向径
zyx aaa,,a
},,{ zyx aaaa
a
),,( 1111 zyxM ),,( 2222 zyxM
},,{ 12121221 zzyyxxMM
),,( zyxM
},,{ zyxOM?
三,向量坐标表达式的应用
1,向量的加法设 =,,则
2,向量的数乘设 =,,则
=,
3.,(对应的坐标成比例 ).
},,{ zyx aaaa },,{ zyx bbbb?
},,{ zzyyxx babababa
},,{ zyx aaaa R
},,{ zyx aaaa?
z
z
y
y
x
x
b
a
b
a
b
aabba//
4,定比分点的坐标则 点的坐标满足即故
1MBAM M
MBAM
},,{},,{ 222111 zzyyxxzzyyxx
).(
),(
),(
21
21
21
zzzz
yyyy
xxxx
解得特别地,当 时,为 的中点,则点 的坐标为
.
1
,
1
,
1
21
21
21
zz
z
yy
y
xx
x
1 M MAB
2,2,2
212121 zzzyyyxxx
5,向量的模设 =,则
6,向量的方向余弦设 = 与三条坐标轴的正向的夹角分别为
----称为向量 的方向角,其中,则称为向量 的方向余弦,
},,{ zyx aaaa
222 )()()( zyx aaaa
},,{ zyx aaaa
,,a,,0
c o s,c o s,c o s a
由投影定理知,
当 (即 ) 时,有
c o s,c o s,c o s aaaaaa zyx
222 )()()( zyx aaaa 0? 0?a
.c o s;c o s;c o s
222
222
222
zyx
zz
zyx
yy
zyx
xx
aaa
a
a
a
aaa
a
a
a
aaa
a
a
a
且显然
1co sco sco s 222
}c o s,c o s,{ c o s0a
例 设,求 的模、方向余弦、方向角,
解,
=,则的模为,
的方向余弦为,
的方向角为,
)0,3,1(),2,2,2( 21 MM 21MM
21MM }2,1,1{
21MM 2)2(1)1( 222
21MM
21MM 2 2c o s,21c o s,21c o s
21MM 43,3,32
例 设,求 使得,
解,
}4,,2{},2,3,1{ yba y ba//
642321 yyba//
例 设,且与 轴和 轴的夹角均为,求向量的表达式,
解,
方法一,设 =,则
8?a Ox 3?Oy
},,{ zyx aaaa;43c o sc o s aaa x
43c o sc o s aaa y
c o saa z?
因为,故,
所以,
则所以
1co sco sco s 222
2
1cos 2
2
2c o s
.24za
}.24,4,4{a
方法二,由,
得,
所以故
1co sco sco s 222
2
2c o s
}.2 2,21,21{}c o s,c o s,{ c o s0a
}.24,4,4{}2 2,21,21{80 aaa
第四节 数量积 向量积 混合积
一,数量积
1.定义及其性质向量 与 的数量积,记为,定义为由数量积的定义,有
a b ba?
).,co s ( ^ bababa
(1),所以
(2) 或
(3),所以
(4)
ajbbjaba ba PrPr
a
babj
b
baaj
ab
Pr,Pr
2aaa,aaa
)0,0(,),c o s (
^
ba
ba
baba,a r c c o s),( ^
ba
baba
.02),( ^ bababa?
运算规律,
(1)交换律,;
(2)分配律,;
(3)
abba
cabacba )(
).()()( bababa
2.数量积的坐标表达式设,则即两向量的数量积等于对应的坐标分量乘积之和,
},,{},,,{ zyxzyx bbbbaaaa
zzyyxx babababa
由 1.之 (3),有上式是求 的基本方法,
由 1.之 (4),有
222222
^
),c o s (
zyxzyx
zzyyxx
bbbaaa
bababa
ba
),( ^ba
.002),( ^ zzyyxx babababababa?
例 1 设求解,
,3),(,1,2,3,32 ^ bababaBbaA
.BA?
22 376)3()32( bbaababaBA
2^2 3),co s (76 bbabaa
28132112726 22
例 2 设,求
(1) ; (2) ; (3)
解 (1)
(2) 所以
(3)
kjibkjia 22,4
)4()3( ba? ),( ^ba,Pr aj
b
)(12)4()3( baba
1 0 8]2)4()2(111[12
,
2
2
318
9),( ^
ba
baba,43),( ^ba
.3
3
9Pr
b
baaj
b
例 3 设,求 是的条件,
解,
即解得
}5,4,{},1,2,3{ pba ba?
0 baba
.0)5(1)4()2(3p
.1p
二,向量积
1.定义及其性质向量 与 的向量积,记为,定义为
(1)
(2),且 构成右手系,
显然有,①
② 或
③ 等于以 为邻边的平行四边形的面积,,
ba?a b
);,s i n ( ^ bababa
bbaaba,baba?,,;0 aa
0),(// ^ baba ;0 ba?
ba?
ab
ba,
运算规律,
(1) ;
(2)
(3)
abba;)(;)( acabacbcabacba
).()()( bababa
例 1 设,求,
解,所以
32),(,2,3 ^ baba )()( baba
)(2)()( bababa
babababa 2)(2)()(
36),s i n (2 ^ baba
例 2 设,求同时垂直于 与 的单位向量,
解,,则故所求单位向量
)3,1,2(),0,1,2(),2,2,3(),4,0,1( DCBA
AB CD
}2,2,2{AB }3,2,4{?CD
}4,14,10{
324
222
kji
CDAB
}.
78
2,
78
7,
78
5{
782
}4,14,10{0
CDAB
CDABC
例 3 求以 与 为边所作平行四边形的对角线长及面积,
解 对角线,
所以故所求的平行四边形的面积为
jia kjb 2
},1,3,1{},1,1,1{ 21 balbal
.11,3 21 ll
.62
120
011
kji
kji
baA
三,混合积向量 的混合积,记为,规定为设,
则
cba,,],,[ cba
.)(],,[ cbacba
},,{},,,{},,,{ zyxzyxzyx ccccbbbbaaaa
.],,[
zyx
zyx
zyx
ccc
bbb
aaa
cba?
几何意义,
(1)如果 构成右手系,
则,
(2)如果 构成左手系,
则,
cba,,
平行六面体Vcba?],,[
cba,,
平行六面体Vcba],,[
例 向量 共面,
证明,
向量 共面
cba,,0
zyx
zyx
zyx
ccc
bbb
aaa
cba,,0 平行六面体V
0],,[ cba
.0
zyx
zyx
zyx
ccc
bbb
aaa
第五节 空间曲面及其方程
一,曲面方程如果空间曲面 与三元方程
(*)
有
(1)曲面 上任一点的坐标 满足方程
(*);
(2)不在曲面 上的点的坐标不满足方程 (*),
则方程 (*)称为空间曲面 的方程,曲面 称为方程 (*)的图形,
S
0),,(?zyxF
),,( zyxS
S
S S
二,球面的标准方程及一般方程
1.标准方程与定点 的距离为常数 的曲面称为球面,点 称为球面的球心,常数 称为球面的半径,
设 为球面上的任一点,则即
),,( 0000 zyxM R
),,( 0000 zyxM
R
),,( zyxM,0 RMM?
.)()()( 202020 Rzzyyxx
故球心在,求半径为 的球面方程为特别地,如果球心在原点,则球面方程为
),,( 0000 zyxM R
.)()()( 2202020 Rzzyyxx
)0,0,0(O
.2222 Rzyx
2.球面的一般方程三元二次方程称为球面的一般方程,其特点是,平方项前的系数均相等,且缺少混合项,
)0(,0222 AGCzEyDxAzAyAx
例 方程 表示怎样的空间曲面?
解 配方后,有所以该方程表示球心在点,球半径为 的球面,
042222 yxzyx
,)5()2()1( 2222 zyx
)0,2,1(0?M
5
三,旋转曲面及其方程平面上的一条曲线绕该平面上的一条定直线旋转一周所得的空间曲面称为旋转曲面,定直线称为旋转曲面的轴
问题,设 坐标面上的一已知曲线 的方程,
将其绕 轴旋转一周,得一旋转曲面,求旋转曲面的方程,
解 旋转曲面的方程为如果绕 轴旋转,所得旋转曲面方程为
yoz C
.0),(?zyf
z
.0),( 22 zyxf
y
.0),( 22 zxyf
注,由此得坐标面上的曲线绕相关坐标轴旋转一周所得旋转曲面方程的求法,
如 面上的曲线,,绕 轴旋转,所得旋转曲面方程,可用下面的方法得到,
旋转轴为 轴,则在 中 保持不变,此时变量 用 代替,从而得到旋转曲面的方程为
xoy 0),(,?yxfC x
0),(?yxfx x
22 zyy
.0),( 22 zyxf
例 将 面上的双曲线
(1)绕 轴旋转所得的旋转曲面的方程为即
(2)绕 轴旋转所得的旋转曲面的方程为即
xoz 1
2
2
2
2
c
z
a
x
x
,1)( 2
222
2
2
c zyax,1
2
22
2
2
c
zy
a
x
z
.1)( 2
2
2
222
cza yx
.1222 22 cza yx
四,柱面及其方程平行于定直线并沿定曲线 移动的动直线 形成的轨迹,称为柱面,定曲线称为柱面的准线,动直线 称为柱面的母线,
C
l
C
C
l
问题,设柱面的准线为 面上的曲线,,母线平行于 轴,求该柱面方程,
解 所求柱面方程为由此可得,
(1)缺少一个变量的三元方程在空间直角坐标系下表示一个柱面,如,
xoy
0),(,?yxfC z
.0),(?yxf
1.方程 表示以 坐标面上的曲线,为准线,母线平行于 轴的柱面,
2.方程 表示以 坐标面上的曲线,为准线,母线平行于 轴的柱面,
0),(?yxF xoy
0),(,?yxFC z
0),(?zyF yoz
0),(,?zyFC x
3.方程 表示以 坐标面上的曲线,为准线,母线平行于 轴的柱面,
(2)二员方程 在平面直角坐标系下表示一条曲线 ;但在空间直角坐标系下表示一个柱面
0),(?zxF xoz
0),(,?zxFC y
0),(?yxF
例 (1)方程 在平面直角坐标系下表示一个圆 ;但在空间直角坐标系下表示以 坐标面上的圆 为准线,
母线平行于 轴的柱面 (圆柱面 ),
(2)方程 在平面直角坐标系下表示一条直线 ;但在空间直角坐标系下表示以 坐标面上的直线 为准线,母线平行于 轴的柱面 (即平面 ),
222 Ryx
xoy
z
222 Ryx
1 yx
xoy
1 yx z
第六节 平面及其方程
一,平面的点法式方程
⒈ 平面的法向量与平面垂直的非零向量,称为平面的法向量,一般记为,显然平面的法向量不惟一,
n
2.平面的点法式方程设平面 的法向量为,且平面过点,求平面 的方程,
解 设,则又,故所求平面的方程为上式即为平面 的点法式方程,
},,{ CBAn?
),,( 0000 zyxM?
),,( zyxM,000 nMMnMM
},,{ 0000 zzyyxxMM
.0)()()( 000 zzCyyBxxA
例 求过点 的平面方程,
解,故可取平面 的法向量,
故所求平面的方程为即
)3,2,0(),2,3,1(),4,1,2( 321 MMM
}1,3,2{,}6,4,3{ 3121 MMMM
}1,9,14{
132
6433121
kji
MMMMn
.0)4)(1()1(9)2(14 zyx
.015914 zyx
二,平面的一般方程
1.三元一次方程称为平面的一般方程,其中 为平面的法向量,
0 DCzByAx
},,{ CBAn?
2.特殊平面方程
(1)当 时,方程 表示过原点的一个平面,
(2)当 时,方程 表示平行于轴的一个平面,
( 时,平面平行于 轴 ;当 时,平面平行 于轴 ).
(3)当 时,方程 表示平行于 坐标面的平面,
(,平面平行于 坐标面 ;当 时,平面平行于坐标面 ).
0?D 0 CzByAx
0?A 0 DCzBy x
0?B 0?Cy z
0 BA 0 DCz xoy
0 CA xoz 0 CB yoz
3.平面的截矩式方程旗子 分别是平面在 轴上的截距,
1 czbyax
cba,,zyx,,
例 求过轴和点的平面方程,
解,
方法一,平面过 轴,故,设平面方程为又平面过点,则解得,故所求平面方程为
0 DAx
.0 CzBy
)1,3,4(,03 CB
BC 3
.03 zy
方法二,
平面过 轴,则平面 过,则平面的法向量,故可取所求平面方程为即
)0,0,1(),0,0,0(?x
}1,3,3{, nin
}3,1,0{
133
001
kji
n
0)0()3()0(1)0(0 zyx
.03 zy
三,两平面的夹角两平面的法向量的夹角 (指锐角 )称为两平面的夹角,记为,
设平面,
故又设平面,
故
)20(
1?,0
1111 DzCyBxA
}.,,{ 111 CBAn?
2? 02222 DzCyBxA
}.,,{ 222 CBAn?
则由得平面 与平面 的夹角由此有
(1)平面
(2)平面
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
21
21c o s
CBACBA
CCBBAA
nn
nn
1? 2?
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121a r c c o s
CBACBA
CCBBAA
002 2221212121 CCBBAAnnnn
2?1?
2
1
2
1
2
1
2121 0//0 C
C
B
B
A
Annnn
//1? 2?
例 平面 过点 及,且垂直于平面,,求平面的方程,
解 平面 的法向量,向量
.则平面 的法向量,且
.故可取则所求平面的方程即
)1,1,1(1M )1,1,0(2?M
0:0 zyx
0? }1,1,1{0?n
}2,0,1{21MM
0nn?
21MMn?
}1,1,2{
201
111210
kji
MMnn
0)1(1)1(1)1(2 zyx
.02 zyx
四,点到平面的距离设点,平面,
则点 到平面 的距离 为
),,( 0000 zyxM,0, DCzByAx
0M
d?
.
222
000
CBA
DCzByAxd
第七节 空间曲线及其方程
一,空间曲线的一般方程设曲线 为曲面 与曲面的交线,则曲线 的一般方程为
0),,(:1 zyxFC
0),,(:2 zyxG C
.0),,(
,0),,(
zyxG
zyxF
例 方程组表示怎样的曲线?
解 表示上半球面与圆柱面的交线,
222
222
)
2
()
2
(
,
a
y
a
x
yxaz
二,空间曲线的参数方程方程组称为曲线 的参数方程,
).(
),(
),(
tzz
tyy
txx
C
三,空间曲线在坐标面上的投影设曲线 的一般方程为
(1)消去 得,,它表示曲线 关于坐标面的投影柱面,则曲线 在 坐标面上的投影方程为即投影柱面与坐标面的交线,
C
.0),,(
,0),,(
zyxG
zyxF
0),(?yxH
xoy
z C
C xoy
0
,0),(
z
yxH
(2)消去 得,,它表示曲线关于 坐标面的投影柱面,则曲线 在坐标面上的投影方程为
(3)消去 得,,它表示曲线关于 坐标面的投影柱面,则曲线 在坐标面上的投影方程为
0),(?zyR
yoz
Cx
C
yoz
0
,0),(
x
zyR
0),(?zxS
xoz
0
,0),(
y
zxS
y C
C xoz
例 设一立体由上半球面及锥面 所围成,求其在坐标面上的投影,
解 所求投影区域,
224 yxz
)(3 22 yxz xoy
.0
,122
z
yx
D
