续定积分的换元法
下面一个例子的思路也非常有用,
例 7 设 求解

.0,
c o s1
1
,0,
)(
2
x
x
xxe
xf
x
.)2(
4
1
dxxf

2
0
0
1
2
1
24
1
2
c o s1
1)()2( dttedt
tdttfdxxf
t
xt
.212121t a n212t a n 4200 1 2 eet t
例 8 设 在 上连续,证明其中证明而所以原式等于
],[ BA)(xf
).()()]()([1lim
0
afxfdttfhtfh
x
ah

.BxaA
h
dttfdthtf
dttfhtf
h
x
a
x
a
h
x
a
h

)()(
lim)]()([
1
lim
00
.)()()(

hx
ha
hx
ha
htux
a
dttfduufdthtf
).()()]()([lim
)()(
lim
0
0
0
0
afxfhafhxf
h
dttfdttf
h
x
a
hx
ha
h

例 9 证明证明 方法一,
方法二,
方法三,
.)0(,
1
1
1
1
1
1
2
1
2
x
x
xdx
x
dx
x

1
1
2
2
1
1
2
1
2
)
1
(
)
1
(1
1
1
1
1
1
x
u
t
xx
du
u
u
dt
t
dx
x
.
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
2
1
1
2
xx
x
dx
x
du
u
du
u
#
例 10 设 在 内连续,且证明,(1)如果 为偶函数,则 为偶函数 ;
(2)如果 单调减少,则 单调增加,
证明 (1)
所以为 偶函数,
),()(xf,)()2()(
0

x
dttftxxF
)(xf )(xF
)(xf )(xF

xtux
duufuxdttftxxF
00
))(()2()()2()(

xxfx
duufuxduufux
0
)(
0
)()2()()2(
为偶函数
)(xF
).()()2(
0
xFdttftx
x

(2)
当 时,,即,
所以当 时,,即,
所以总之,.所以 单调增加,
])(2)([])()2([)(
000

xxx
dtttfdttfxdttftxxF

xxxx
dtxfdttfxxfdttfxxfxxfdttf
0000
)()()()()(2)()(
x dtxftf
0
)]()([
0?x )()(],,0[ xftfxt 0)()( xftf
.0)]()([)(
0

x
dtxftfxF
)()(,0 tfxftx0?x 0)()( xftf
.0)]()([)(
0

x
dtxftfxF
),(,0)( xxF )(xF
本节的学习到此结束