第七节 极限存在准则 两个重要极限
一,极限存在准则
1.两边夹定理定理 设 满足
⑴
⑵
则
}{},{},{ nnn zyx;nnn zxy;limlim Azy nnnn
.lim Ax nn
对于函数极限,类似地有
定理 设 满足
⑴
⑵
则
)(),(),( xhxgxf
);()()( xhxfxg );()( 0 0 MxxUx 或
.)(l i m)(l i m
)()( 00
Axhxg
x
xx
x
xx

.)(l i m
)( 0
Axf
x xx

例 1 设 求解,且所以 又所以
2.定理 单调有界数列必有极限,
注意 该定理可分解为两部分,
(1)单调增加有上界的数列必有极限 ;
(2)单调减少有下界的数列必有极限,
,333
1
nnx
,)321(
1
nnnnx
.lim nn x
nnn
nx
1
)1)32()31[(3,31)32()31(1 nn
,13lim
1

n
n
.3lim nn x
例 2 求解,
方法一,设则 显然故 有上界,下证 单调增加,
故 存在,设 在 的两边取极限,有解得 或 所以
.222l i mn
,222,,22,2 21 nxxx
,2 1 nn xx,2,,2222,2 121 nn xxxx?
}{ nx }{ nx
)0(,02 )2(222
11
11
11
2
11
111

n
nn
nn
nn
nn
nnnn xxx
xx
xx
xxxxxx
nn xlim,lim Ax nn 12 nn xx
,2 AA?
2?A,舍去 )(0?A,2lim?
nn x
例 2 求解,
方法二,则
.222l i mn
,2 2
12
n
n
nx
nn xlim
n
n
n
n t
n
2
12
2
12
2l i m

t
t 2lim1
.2?
二,两个重要极限
1,
注意 ⑴ 与 的区别 ( 另一个
⑵令 则该极限变形为
⑶ 一般地,有 (常用情形 )
其中
)00(1s i nl i m 0 型 x xx
0s i nl im x xx
);x
0?x
,1xt?,11s i nlim?
t
t
t
1)( )(s inl im?xf xf,0)(lim?xf
例 3
例 4
例 5
例 6
.11s ins inlims ins inlim 00 xxxxx xxx xx
.21 )1s i n ()1(lim1 )1s i n ()1(lim1 )1s i n (lim
111

x
xx
x
xx
x
x
xxx
x
x
x
xxxx
xxxx
xxx
x
xxx s inc o s1
1lim2
c o ss in1
)c o ss in1(lim
c o ss in1
lim
2
0
2
0
2
0

.
3
4
1
2
1
1
2
s in2
s in2
1
lim2
2
20

x
x
x
xx
.
2
1
02
10
c o s
2
1
s in
li m
c o s2
s in
li m

x
x
x
x
xx
xx
xx
2,型,
注意 ⑴ 等价形式,令则 所以
⑵ 型,
⑶一般形式

1,)11(l im ex x
x
,,1 xxt
,0?t,)1(l im 1
0 et
t
t
"",1)11(lim 0
0

x
x x
).0)(( lim,))(11lim ( )( xfexf xf
例 7 求解,
方法一,
方法二,
.)11(l im x
x x

)1()()11(lim)11(lim)11(lim

x
x
x
x
x
x xxx
.})11{(l im 11 ex xx
t
t
xtx
x
x
x txx

)
11(l im)11(l im)11(l im
.})11{(l i m 11 et tt
例 8
注意 对 型,可用下面简便方法计算,
设则
12
2
1
22
2
)
1
1(lim)
2
1
1
1(lim)
1
1
(lim
2
22?

t
t
x
t
x
x
x
x txx
x
.1)11(})11{(lim 222 eett tt
"1"?
,)(lim,1)(lim xvxu
.)(l i m )()1)(l i m ()( xvxuxv exu
例 9
例 10
)11(l i m
2
2)111(lim xxxx
x
xe
xx

.1)
11(l i m
eee xx
)1
1
1(l i m
2
2
2
2
2
2)
1
1(lim

xxxx
x
xe
x
x
.21
2l i m
2
2
ee x
x
x
本节的学习到此结束