习题
一,填空题
1.设 则,
2.若函数 在 处可导,且有则,
3.设 则,
4.设 由方程确定,则,
5.设 则,
,)(l i m Abx bxfbx bx bxfbx s i n)(s i nl i m
)(xf
0x
,41)()2(l im
000
xfhxf
h
h
)( 0xf
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2
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n n
xnnxf?
)(xf
)( xyy? 0)1l n (1 xyyex x
)1,0(dxdy
),()1()( nxxxxf)0()(nf
二,选择题
1.设周期函数 在 内可导,周期为 4,又则曲线 在点处的切线斜率为（ ）,
(A),(B) 0,(C) 1,(D) -2,
2.函数 的不可导点的个数是（ ）,
(A) 3,(B) 2,(C) 1,(D) 0,
),()(xf
,12 )1()1(l i m 0 x xffx )(xfy? ))5(,5( f
2
1
|2|ar ct an)( 23 xxxxxf
3.设则函数 在处 ( ).
(1993年数学四考研题 )
(A) 极限不存在,(B) 极限存在但不连续,
(C) 连续但不可导,(D) 可导,
,0
,
1
s in||
)( 2x
x
xf
.0
,0
x
x
)(xf 0?x
4.设函数 对任意 均满足关系且有 其 中 为非零常数,则（ ）,
(A),在 处可导,且
(B),在 处可导,且
(C),在 处可导,且
(D),在 处不可导,
)(xf x
),()1( xafxf,)0( bf ba,
1?x)(xf,)1( af
)(xf 1?x,)1( bf
)(xf 1?x,)1( abf
)(xf 1?x
5.设函数 在 处可导,则函数在 处不可导的充分条件是 ( ).
（ 2000年数学四考研题）
(A),且
(B),且
(C),且
(D),且
)(xf ax? |)(| xf
ax?
0)(?af ;0)( af
0)(?af ;0)( af
0)(?af ;0)( af
0)(?af,0)( af
三,计算和证明题
1.求下列各函数的导数
⑴ ⑵
⑶ ⑷
⑸ ⑹
2.求下列各函数的二阶导数
⑴ ⑵
⑶ ⑷;c s ct a n c o ts i n xx xxy ;1 xxxy
)c o ss i n ( x xy?,)()()( bax axxbbay? );0,0,0( xba;5 t a nln xy?,xxx xxxy;ln3 xxy? ;xey?;1 yxey,xxy?
3.求下列各函数的微分
⑴ ⑵
⑶ ⑷
4.曲线 的切线与 轴和 轴围成一个图形,记切点的横坐标为,试求切线方程和这个图形的面积 ;当切点沿曲线趋于无穷远时,该面积的变化趋势如何？
(1999年数学三考研题）
);13l n (s i n xy ;
1ta n
xey?
);s i n ( xyy?,xy yx?
xy
1? x y
a
5.设 其中 具有二阶导数,
求 （ 1993年数学三考研题）
6.设函数且 存在,试确定常数
7.设其中 有二阶连续导数,且
⑴ 求 ⑵ 讨论 在 上的连续性,（ 1996年数学四考研题）
)],(s i n [ 2xfy? f
.2
2
dx
yd
,
,)(
2 cbxax
exf x
0
0
x
x
),0(f,,,cba
,0
,
)(
)( x
exg
xf
x
0
0
x
x
当当
)(xg,1)0(?g,1)0(g
);(xf? ),()(xf?
8.设在 处可导,求 的值,
9.设 在点 处可导,且求极限
10.设方程 确定了 是 的函数,
求
,0
,
1)( x
a
e
x
xf
0
,0
x
x
当当
0?x a
)(xf ax?,0)(?af
.)]1(/)1([l im nn nafnaf
yyx? y x
.dxdy
11.设 由所确定,求 （ 1997年数学三考研题）
12.设 求
13.已知 是周期为 5的连续函数,它在的某个邻域内满足关系式,
其中 是当 时比 高阶的无穷小,且在点 处可导,求曲线 在点处的切线方程,（ 2000年数学二考研题）
)( xyy?
.52
,a r c t a n
2 tetyy
tx
.dxdy
,co ss i n)( 44 xxxf ).()( xf n
)(xf 0?x
)(8)s i n1(3)s i n1( xxxfxf
)(x? 0?x x )(xf
1?x )(xfy? ))6(,6( f
14.设 证明 在 处的二阶导数不存在,
15.设 在 的某个邻域内有定义,
为 该邻域内任意两点,且 满足条件,
⑴
⑵
证明,在上述邻域内
|,|s i n)( xxxf? )(xf 0?x
)(xf 0?x yx,
)(xf
,1)()()( yfxfyxf
.1)0(f
.1)( xf
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一,填空题
1.设 则,
2.若函数 在 处可导,且有则,
3.设 则,
4.设 由方程确定,则,
5.设 则,
,)(l i m Abx bxfbx bx bxfbx s i n)(s i nl i m
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,41)()2(l im
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二,选择题
1.设周期函数 在 内可导,周期为 4,又则曲线 在点处的切线斜率为（ ）,
(A),(B) 0,(C) 1,(D) -2,
2.函数 的不可导点的个数是（ ）,
(A) 3,(B) 2,(C) 1,(D) 0,
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2
1
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3.设则函数 在处 ( ).
(1993年数学四考研题 )
(A) 极限不存在,(B) 极限存在但不连续,
(C) 连续但不可导,(D) 可导,
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4.设函数 对任意 均满足关系且有 其 中 为非零常数,则（ ）,
(A),在 处可导,且
(B),在 处可导,且
(C),在 处可导,且
(D),在 处不可导,
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1?x)(xf,)1( af
)(xf 1?x,)1( bf
)(xf 1?x,)1( abf
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5.设函数 在 处可导,则函数在 处不可导的充分条件是 ( ).
（ 2000年数学四考研题）
(A),且
(B),且
(C),且
(D),且
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0)(?af ;0)( af
0)(?af ;0)( af
0)(?af ;0)( af
0)(?af,0)( af
三,计算和证明题
1.求下列各函数的导数
⑴ ⑵
⑶ ⑷
⑸ ⑹
2.求下列各函数的二阶导数
⑴ ⑵
⑶ ⑷;c s ct a n c o ts i n xx xxy ;1 xxxy
)c o ss i n ( x xy?,)()()( bax axxbbay? );0,0,0( xba;5 t a nln xy?,xxx xxxy;ln3 xxy? ;xey?;1 yxey,xxy?
3.求下列各函数的微分
⑴ ⑵
⑶ ⑷
4.曲线 的切线与 轴和 轴围成一个图形,记切点的横坐标为,试求切线方程和这个图形的面积 ;当切点沿曲线趋于无穷远时,该面积的变化趋势如何？
(1999年数学三考研题）
);13l n (s i n xy ;
1ta n
xey?
);s i n ( xyy?,xy yx?
xy
1? x y
a
5.设 其中 具有二阶导数,
求 （ 1993年数学三考研题）
6.设函数且 存在,试确定常数
7.设其中 有二阶连续导数,且
⑴ 求 ⑵ 讨论 在 上的连续性,（ 1996年数学四考研题）
)],(s i n [ 2xfy? f
.2
2
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0
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当当
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8.设在 处可导,求 的值,
9.设 在点 处可导,且求极限
10.设方程 确定了 是 的函数,
求
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当当
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)(xf ax?,0)(?af
.)]1(/)1([l im nn nafnaf
yyx? y x
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11.设 由所确定,求 （ 1997年数学三考研题）
12.设 求
13.已知 是周期为 5的连续函数,它在的某个邻域内满足关系式,
其中 是当 时比 高阶的无穷小,且在点 处可导,求曲线 在点处的切线方程,（ 2000年数学二考研题）
)( xyy?
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2 tetyy
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,co ss i n)( 44 xxxf ).()( xf n
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14.设 证明 在 处的二阶导数不存在,
15.设 在 的某个邻域内有定义,
为 该邻域内任意两点,且 满足条件,
⑴
⑵
证明,在上述邻域内
|,|s i n)( xxxf? )(xf 0?x
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