第三节 Newton--Leibniz公式
一,积分上限的函数及其导数设 在 上连续,,则函数称为积分上限的函数,
)(xf ],[ ba ],[ bax
x
a
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积分上限函数的性质,
定理 如果 在 上连续,则积分上限的函数在上具有导数,且它的导数是
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证明,则在与 之间,
故所以当 时,同理可证 ;当 时,同理可证,
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由定理可得原函数存在定理,
定理 如果 在 上连续,则积分上限函数是 在 上的一个原函数,
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例 1 设 在 内连续,且,
证明 在 内为单调增加函数,
证明分析,要证明 是单调增加函数,只须证
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但 不恒为零,
所以故即 所以 在 内为单调增加函数,
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注意,由 可得如下求导公式,
(1)
即被积函数 中的积分变量 用上限代替,再乘以,
(2)
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例 2 求解,
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例 3 问 为何值时,
在 处连续,
解,
要使 在 处连续,当且仅当
,即所以
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2,Newton—— Leibniz公式 (微积分基本公式 )
定理 如果 是连续函数 在 上的一个原函数,则上式称为 Newton—— Leibniz公式,或称为微积分基本公式,
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).()(|)()( aFbFxFdxxf ba
b
a
证明 和 都是 在 上的原函数,则即令,则,故所以故令,得
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注意,
1)运用 Newton—— Leibniz公式计算时,必须注意 应满足的条件,
在 上连续,
2) 必须是 在 上的原函数,
b
a
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)(xf
)(xf ],[ ba
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例 4 求解,
例 5 下面运算正确吗?
1)
2),无意义,
解 1)错误,因为 在 上不连续,
2)错误,因为 在 上的原函数是
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例 6 求 在 上的定积分,
解 分析,为分段函数,计算 要利用区间可加性,
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本节的学习到此结束
一,积分上限的函数及其导数设 在 上连续,,则函数称为积分上限的函数,
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积分上限函数的性质,
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证明 在 内为单调增加函数,
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2,Newton—— Leibniz公式 (微积分基本公式 )
定理 如果 是连续函数 在 上的一个原函数,则上式称为 Newton—— Leibniz公式,或称为微积分基本公式,
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注意,
1)运用 Newton—— Leibniz公式计算时,必须注意 应满足的条件,
在 上连续,
2) 必须是 在 上的原函数,
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例 4 求解,
例 5 下面运算正确吗?
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例 6 求 在 上的定积分,
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本节的学习到此结束
