第二节 罗必塔法则
罗必塔法则主要用于解决未定式(型,型)的极限.
一.(型),其中.
定理 设
(1) ;
(2)在内与都存在,且;
(3)存在(或为无穷大).
则有
.
证明 因为当时,的极限与和无关,不妨设==0,所以与在内连续,任意,则与在以为端点的区间上满足Cauchy中值定理的条件,所以
,在与之间.
即
,
从而
.
注意 (1)定理表明:如果未定式型满足罗必塔法则的条件,则未定式的极限可用对分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限.
如果还是型,可再用一次罗必塔法则,直至不是未定式型为止.即
.
(2) 罗必塔法则对时的未定式型也适用.对或的未定式型也适用.即
.
型 型 不是型
.
型 型 不是型
(3)如果不是未定式,则不能用罗必塔法则.
例1 
例2  
 

例3  

注意(4) 在运用罗必塔法则的过程中,如果出现极限不为零的因子,可将其因子的极限先计算;如果出现极限为零的因子.可用其等价无穷小来代替,以简化求极限的计算.
例4  

例5 设,则

例6 (为正整数,

由以上两例得
当时,,.
二.其他未定式
1.型
.
型 型 型即
= 或 .
例7 型

例8 

或
原式
2.型
先通分(或作变换),化成分式后为未定式“”型,即
.
例9 .
例10 

3.幂指函数的未定式:.
未定式,求极限有两种方法(类似于求幂指函数的导数):
方法一:设,两边取对数,有

取极限,有

则
.
方法二:因为,所以
.
例11 求,(型).
解 方法一:令,两边取对数,有

所以
,
故
方法二,
例12 求型,
方法一:令,两边取对数,有


所以.
方法二,.
例13 求,.型.
解 令,两边取对数,得


,
所以.
注意 特别地,对于型,有下面的简单的计算方法:
设,则
.
如上例,有

.
最后指出,罗必塔法则在求未定式极限时也不是万能的.如
例15 求.
解 .
如果用罗必塔法则,有

不存在,原因是不存在,不满足罗必塔法则的条件.