第三节Taylor公式由于微分作为近似计算的局限性,引进Taylor公式.
Taylor中值定理 如果在内有直到阶导数,则当时,可表示为的一个次多项式与一个余项之和,即

.
其中
,
,在与之间.
证明 (分析:由于,故只须证明
,
注意到,有阶导数,且
,
从而用次Cauchy中值定理可得结论.)
令,显然在以为端点的区间上满足Cauchy中值定理的条件.由Cauchy中值定理,存在(在与之间),使得
,
即
.
对和在以和为端点的区间上应用Cauchy中值定理,有
,在和之间,
即
.
…………………………………………
经过次,有
,(在与之间),
又,所以
.
注意 (1)次多项式

称为按的幂展开的次Taylor多项式,而

称为按的幂展开的阶Taylor公式.称为Lagrange型余项.
(2)当时,

故
,
所以
——皮亚若余项.
故Taylor公式又可写为
.
(在不需要的精确表达式时,该表达式很有用.见后面的例子).
(3)如果取,此时则Taylor公式变成

或
.
上两式称为Maclaurin公式(即在处的Taylor公式).
例1 求的阶Maclaurin公式.
解 ,所以
,
故的阶Maclaurin公式为

例2 求的阶Maclaurin公式.
解 所以
,
从而
,
其中

例3 求.
解 ,所以
原式