第一节 不定积分一.内容提要
1.原函数与不定积分的概念若对区间上的任一,均有,则称为的一个原函数.
函数的全体原函数称为在区间上的不定积分,记为.
,
1.不定积分的性质
(1). 或 .
(2). 或 .
说明微分运算与积分运算的互逆关系.
(3).,(为不等于零的常数).
(4)..（有限多个也适用）
3．基本积分公式----要熟记.
4.求不定积分方法
(1).直接积分法:直接或将被积函数恒等变换后利用基本积分公式和不定积分的性质求不定积分。
(2).第一类换元法(凑微分法)
（难积） （易积）
.
用凑微分法求积分,关键是将表示成,此时与凑成的微分,且的原函数比较容易求得.所以用凑微分解题要熟悉一些函数的微分形式.
(3).第二类换元法(代换法或变量置换法)
.
（难积） （易积）
用代换法求,关键是作一适当的代换,使得的原函数易求得.
常见的有三角代换(消去根号),倒代换,常用来消去被积函数的分母中的因子.
(4).分部积分法
.
（难积） （易积）
关键是,的选取.原则上要求用分部积分公式后的积分比原积分简单易求.常会出现还原的情况,通过移项得到或得到递推公式.通常应用分部积分的形式:
,,,
,,.
(5).几种特殊类型函数的积分的求法
a）.:关键在于用待定系数法或拼凑法,把有理分式分成部分分式之和.通常首先考虑拼凑法.
注意:有理函数的原函数都是初等函数.
b).:用万能代换（半角代换）可化为有理函数的积分,但这不是最简单的方法.常利用三角恒等变形,换元法或分部积分法求.
c).:将某个根式全作为新积分变量,化为有理函数的积分,计算结果.
几个常见的不能用初等函数表示的不定积分:
,,,,,等.
本章重点是原函数与不定积分的概念,熟记基本积分公式,熟练掌握不定积分的第一、二类换元法和分部积分法.
例题
1.下列等式中正确的是（ ）.
(A). (B)
(C). (D).
解 选(D).
(A)错:.
(B)错:.
(C)错:.
2.设的一个原函数为,则（ ）.
(A). (B). (C). (D).
解 选(C).由原函数与导函数的关系,得
,则.
(B)错.错认为.
3.若,且,则（ ）.
(A). (B).
(C). (D).
解 选(D).
(B)错..
(C)错..
4.若且,则（ ）.
(A). (B). (C). (D)
解 选(C).令,则,而,由,知,所以.
(B)错:令,误认为,由,得,于是,所以,由,得.所以.
5.设的一个原函数为,则（ ）.
(A). (B).
(C). (D).
解 选(A).因为,所以.故
.
6.（ ）.
(A). (B).
(C). (D).
解 选(C)..
7.的原函数是（ ）.
(A). (B).
(C). (D).
解 选(B).因为.
例1..
思路:,所以原式
.
同理求.
例2..
思路:.
(1).,原式
.
(2).,原式.
例3..
方法1 原式
.
方法2 原式
.
方法3 原式
=.
注意:不同方法表面上看得到不同原函数,但它们一定差一个常数.
例4.型积分.
(1).至少有一个奇数
.
(2).均为偶数(倍角公式降次数)
.
例5.,,(常数)
高中积化差公式再记忆一求解.
例6..
方法1 原式
.
方法2 原式
.
例7..
方法1 原式.
方法2 原式
.
方法3 原式.
例8..
解 令,得原式
.
注意:倒代换是一个常用的有效的代换,常用来消去被积函数的分母中的因子.
例9..
思路:熟悉公式.
原式.
例10..
思路:,所以.
原式
.
注意:熟悉公式
,,
……
类似于下面的积分就比较容易求得.
,,.
例11..
思路:熟悉公式,.
方法1 原式
.
方法2 原式
.
注意:方法2中二个不定积分“抵消”不应忘了常数.用类似的方法求.
例12..
是有理函数积分,用待定系数法做较繁.由于有因式,可以作变换.
原式
.
类似地,求,令.
例13..
方法1 原式.
对于,,令,得
.
所以原式.
方法2 令,则原式
.
例14.求分段函数的积分:
设求.
解 去掉绝对值符号,分段计算.
当,.
当,.
当,.
依据在分段点处的连续性,求出各段内原函数中任意常数关系。.
当;
当;
当;
当.
得
,.
所以
例15.设是的一个原函数,当时,,且,又,求.
解 ,由,所以,积分得
,即.
又,所以.从而,所以
.
例16.设由确定,求.
解 令,得,解得,.所以
,.
原式.
习题一.选择题：
1.经过变量代换（ ）.
(A). (B). (C). (D).
2.下列等式正确的是（ ）.
(A). (B)
(C). (D).
3.设,且,则( ).
(A). (B).
(C). (D).
4.如果是的一个原函数,则（ ）.
(A). (B).
(C). (D).
5.若,则（ ）.
(A). (B).
(C). (D).
6.设的一个原函数为,的一个原函数为,则的一个原函数为（ ）.
(A). (B). (C). (D).
7.已知,则（ ）.
(A). (B).
(C). (D).
8.设,则（ ）.
(A). (B).
(C). (D).
9.（ ）.
(A). (B).
(C). (D).
10.若导数是,则有原函数为（ ）.
(A). (B). (C). (D).
二.填空题:
1.设,且,则,
2.设是的一个原函数,则,
3.设,则,
4.,则,
5.设,则,
6.设是的一个原函数,则,
7.设,则,
8.,
9.设,则,
10.设,则,
三.计算题:
1..
2．.
3..
4..
5..
6..
7..
8..
9..
10..
11..
12..
13..
14..
15..
16..
17..
18..
19..
20..
21..
22..
23.设,求.
24.已知的一个原函数为,求.
25.,求.
26.设,且,求.
27.设在上可导,,,求.
28.设的原函数,且,,求.
答案与提示一.选择题:
1.(B) 2.(D) 3.(D) 4.(C) 5.(B) 6.(A) 7.(C) 8.(B) 9.(D) 10.(B)
二.填空题:
1..
2..
3..
4..
5..
6..
7..
8..
9..
10..
三.计算题:
1..提示:.
2..提示:.
3..提示:原式.
4..提示:令.
5..
6..提示:.
7..提示:.
8..
9..提示:.
10..提示:.
11..提示:.
12..提示:：,令.
13...提示:.
14..
15..
16..提示:令.
17..
18..
19...
20..提示:.
21.
22.
23.
24..
25..
26..提示:令,,求得.
27..提示:令.
28..
1.原函数与不定积分的概念若对区间上的任一,均有,则称为的一个原函数.
函数的全体原函数称为在区间上的不定积分,记为.
,
1.不定积分的性质
(1). 或 .
(2). 或 .
说明微分运算与积分运算的互逆关系.
(3).,(为不等于零的常数).
(4)..（有限多个也适用）
3．基本积分公式----要熟记.
4.求不定积分方法
(1).直接积分法:直接或将被积函数恒等变换后利用基本积分公式和不定积分的性质求不定积分。
(2).第一类换元法(凑微分法)
（难积） （易积）
.
用凑微分法求积分,关键是将表示成,此时与凑成的微分,且的原函数比较容易求得.所以用凑微分解题要熟悉一些函数的微分形式.
(3).第二类换元法(代换法或变量置换法)
.
（难积） （易积）
用代换法求,关键是作一适当的代换,使得的原函数易求得.
常见的有三角代换(消去根号),倒代换,常用来消去被积函数的分母中的因子.
(4).分部积分法
.
（难积） （易积）
关键是,的选取.原则上要求用分部积分公式后的积分比原积分简单易求.常会出现还原的情况,通过移项得到或得到递推公式.通常应用分部积分的形式:
,,,
,,.
(5).几种特殊类型函数的积分的求法
a）.:关键在于用待定系数法或拼凑法,把有理分式分成部分分式之和.通常首先考虑拼凑法.
注意:有理函数的原函数都是初等函数.
b).:用万能代换（半角代换）可化为有理函数的积分,但这不是最简单的方法.常利用三角恒等变形,换元法或分部积分法求.
c).:将某个根式全作为新积分变量,化为有理函数的积分,计算结果.
几个常见的不能用初等函数表示的不定积分:
,,,,,等.
本章重点是原函数与不定积分的概念,熟记基本积分公式,熟练掌握不定积分的第一、二类换元法和分部积分法.
例题
1.下列等式中正确的是（ ）.
(A). (B)
(C). (D).
解 选(D).
(A)错:.
(B)错:.
(C)错:.
2.设的一个原函数为,则（ ）.
(A). (B). (C). (D).
解 选(C).由原函数与导函数的关系,得
,则.
(B)错.错认为.
3.若,且,则（ ）.
(A). (B).
(C). (D).
解 选(D).
(B)错..
(C)错..
4.若且,则（ ）.
(A). (B). (C). (D)
解 选(C).令,则,而,由,知,所以.
(B)错:令,误认为,由,得,于是,所以,由,得.所以.
5.设的一个原函数为,则（ ）.
(A). (B).
(C). (D).
解 选(A).因为,所以.故
.
6.（ ）.
(A). (B).
(C). (D).
解 选(C)..
7.的原函数是（ ）.
(A). (B).
(C). (D).
解 选(B).因为.
例1..
思路:,所以原式
.
同理求.
例2..
思路:.
(1).,原式
.
(2).,原式.
例3..
方法1 原式
.
方法2 原式
.
方法3 原式
=.
注意:不同方法表面上看得到不同原函数,但它们一定差一个常数.
例4.型积分.
(1).至少有一个奇数
.
(2).均为偶数(倍角公式降次数)
.
例5.,,(常数)
高中积化差公式再记忆一求解.
例6..
方法1 原式
.
方法2 原式
.
例7..
方法1 原式.
方法2 原式
.
方法3 原式.
例8..
解 令,得原式
.
注意:倒代换是一个常用的有效的代换,常用来消去被积函数的分母中的因子.
例9..
思路:熟悉公式.
原式.
例10..
思路:,所以.
原式
.
注意:熟悉公式
,,
……
类似于下面的积分就比较容易求得.
,,.
例11..
思路:熟悉公式,.
方法1 原式
.
方法2 原式
.
注意:方法2中二个不定积分“抵消”不应忘了常数.用类似的方法求.
例12..
是有理函数积分,用待定系数法做较繁.由于有因式,可以作变换.
原式
.
类似地,求,令.
例13..
方法1 原式.
对于,,令,得
.
所以原式.
方法2 令,则原式
.
例14.求分段函数的积分:
设求.
解 去掉绝对值符号,分段计算.
当,.
当,.
当,.
依据在分段点处的连续性,求出各段内原函数中任意常数关系。.
当;
当;
当;
当.
得
,.
所以
例15.设是的一个原函数,当时,,且,又,求.
解 ,由,所以,积分得
,即.
又,所以.从而,所以
.
例16.设由确定,求.
解 令,得,解得,.所以
,.
原式.
习题一.选择题：
1.经过变量代换（ ）.
(A). (B). (C). (D).
2.下列等式正确的是（ ）.
(A). (B)
(C). (D).
3.设,且,则( ).
(A). (B).
(C). (D).
4.如果是的一个原函数,则（ ）.
(A). (B).
(C). (D).
5.若,则（ ）.
(A). (B).
(C). (D).
6.设的一个原函数为,的一个原函数为,则的一个原函数为（ ）.
(A). (B). (C). (D).
7.已知,则（ ）.
(A). (B).
(C). (D).
8.设,则（ ）.
(A). (B).
(C). (D).
9.（ ）.
(A). (B).
(C). (D).
10.若导数是,则有原函数为（ ）.
(A). (B). (C). (D).
二.填空题:
1.设,且,则,
2.设是的一个原函数,则,
3.设,则,
4.,则,
5.设,则,
6.设是的一个原函数,则,
7.设,则,
8.,
9.设,则,
10.设,则,
三.计算题:
1..
2．.
3..
4..
5..
6..
7..
8..
9..
10..
11..
12..
13..
14..
15..
16..
17..
18..
19..
20..
21..
22..
23.设,求.
24.已知的一个原函数为,求.
25.,求.
26.设,且,求.
27.设在上可导,,,求.
28.设的原函数,且,,求.
答案与提示一.选择题:
1.(B) 2.(D) 3.(D) 4.(C) 5.(B) 6.(A) 7.(C) 8.(B) 9.(D) 10.(B)
二.填空题:
1..
2..
3..
4..
5..
6..
7..
8..
9..
10..
三.计算题:
1..提示:.
2..提示:.
3..提示:原式.
4..提示:令.
5..
6..提示:.
7..提示:.
8..
9..提示:.
10..提示:.
11..提示:.
12..提示:：,令.
13...提示:.
14..
15..
16..提示:令.
17..
18..
19...
20..提示:.
21.
22.
23.
24..
25..
26..提示:令,,求得.
27..提示:令.
28..
