第八节 无穷小的比较
两个无穷小的商不一定是无穷小,可以是无穷小,
无穷大,常数,由此产生了无穷小的比较,
一,定义设
1.如果,称 是比 高阶的无穷小,记作
2.如果,称 是 比低阶的无穷小,
3.如果,称 与 是同阶的无穷小,
0l i m,0l i m
0lim
).( o?
lim
0lim c
4.如果,称 是 的 阶无穷小,
5.如果,称 与 是等价无穷小,
记作
如,则当 时，
则当 时,与 是同阶 无穷小,且则当 时,是 的高阶无穷小,
0l i m ck k
1lim
.~
,1s inlim0 x xx 0?x,~sin xx
,21c o s1l i m 20 x xx 0?x xcos1? 2x
.21~c o s1 2xx?
,0c o s1lim 0 x xx 0?x xcos1? x
二,性质
定理 与 是等价无穷小证明,只须证 是 的高阶无穷小,即只须证定理 设 且 存在,
则
).( o
,~:""
.0lim
:""?,1lim?
,~,~
lim
.l i ml i m
注意,
⑴ 此结论在求极限时非常有用,但要注意,当无穷小量是乘积因子时可用其等价无穷小代替,在加减时要特别注意,
⑵ 当 时,常见的等价无穷小为0?u
),1l n (~1~~a r cs i n~t a n~s i n~ uea r c t a a n uuuuu u
,21~c o s1 2uu?,1~11 unun
例 1
例 2
例 3
例 4
.l i m
t a n
t a nl i m 2
00
k
k
x
kx
k
x
kx
xx

.1)1(lim)1(lim
1

x
xex
x
x
x
.212 1lim)2 11ln (lim]2ln)12[ ln (lim xxxxxxx xxx
.1s ins inlims in )1(lims inlim 0
s i n
0
s i n
0

xx
xx
xx
ee
xx
ee
x
xxx
x
xx
x
例 5 设 求解,由得
例 6
事实上,
但 (或原式等于
,2)1l n ( 1t a n)(1lim
0

x
xxf
x ).(lim0 xfx?
x
xxf
x
xxf
xx
t a n)(
2
1
l i m
)1l n (
1t a n)(1
l i m
00

2)(lim21t a n)(lim21
00

xfx xxf
xx
.4)(l i m0 xfx
0l ims i nl im 3030 x xxx xx xx
.61s i nl i m 30 x xxx
.12lims i n2lim 00 x xxx xx xx
)112)s i n2(lim 0 x xx
本节的学习到此结束