第三节 反函数复合函数及隐函数的求导法则
一,反函数的导数反函数的求导法则,
设 在 处有不等于零的导数且其反函数 在相应点处连续,则存在,且或即反函数的导数等于直接函数的导数的倒数,
)( xfy? ),(xf?
)(1 yfx
x
])([ 1 yf
,)(1 xf])([
1 yf
.])([ 1)( 1 yfxf
证明,的反函数 当的自变量 取得增量 时,因变量 取得相应的增量,当 时,必有 事实上,
如果则 但 是一一对应的,故则 与 的假设矛盾,所以当 时,有 又 在相应点处连续,所以 时,
由 得
)( xfy? ).(1 yfx )(1 yfx
y?y
x?
x
0y,0x
,0)()( 11 yfyyfx
),()( 11 yfyyf )(xf
,yyy 0y 0y
0y
.1
x
yy
x
)(1 yfx
0y
,0x 0)( xf )(
1
l i m
1])([
0
1
xf
x
yyf
x
例 1 设 求解 设 为直接函数,则 为其反函数,
在 内单调,可导,且在对应的区间内有又所以同理
,a r c s in xy?,y?
yx sin? xy a r c s i n?
)2,2(yIyx sin?,0c o s)( s i n yy
xy a r c s i n?
.c o s1)( s in 1)( a r c s in yyx
,1s i n1c o s 22 xyy
.
1
1)( a r c s in
2x
x
.
1
1)( a r c c o s
2x
x
例 2 设 求解 设 为直接函数,则 为其反函数,
在 内单调,可导,且在对应的区间内有又 所以同理可得,
,a rc ta n xy?
xy a rc ta n?
.y?
yx tan?
yx tan? )
2,2(
yI
.0s ec)( t an 2 yy xy a rc ta n?
),(xI,
s e c
1
)( t a n
1)( a r c t a n
2 yyx
,1t an1s ec 222 xyy,
1
1)( a r c t a n
2xx
.1 1)c o t( 2xxa r c
二,复合函数的求导复合函数求导法则,
设 即 是 的一个复合函数,如果 在 处有导数在对应点 处有导数则 在 处的导数存在,且或如果 则 的导数为
),(),( xuufy y
x
) ],([ xfy )( xu
x
)(),( ufyxdxdu ),(ufdudyu
)]([ xfy
x
dx
du
du
dyxuf
dx
dy )()(?,uyy ux
),(),(),( xvvuufy ) ] }([{ xfy
.dxdvdvdududydxdy
例 1 设 求解 设,则例 2 求 的导数,
解 设 则
,)21( 30xy,
dx
dy
xuuy 21,30
230)21()( 2930 uxuy xu
2929 )21(6060 xu
nxy c o s?
,,c o s nxuuy
xu nxuy )()( co s
.s ins in nxnnu
例 3 设,求解 设,则例 4 设,求解
xy t a nln?,
dx
dy
xuuy t a n,ln
xu xuy )( t an)( l n
.c o ss i n 1s e c1 2 xxxu
3xey?
.dxdy
dx
du
du
dy
dx
dy
,33 33 22 xx exxe ).( 3xu?
例 5 设,求解例 6 求 的导数,
解
21
2s i n
x
xy
,dx
dy
)1 2(1 2c o s 22 xxxxy
.1 2c o s)1( 22)1( 4)1(21 2c o s 222
2
22
22
2 x
x
x
x
x
xx
x
x
22
2 xa
xy
])([21 2222 xaxxaxy
)(
2
1[
2
1 22
22
22
xa
xa
xxa
.
2
2)]2(
2
[21
22
22
22
22
xa
xax
xa
xxa
例 7 设,求解例 8 设,求解
)l n ( 22 axxy,y?
)(1 22
22
axx
axx
y
.1]
2
)(1[1
2222
22
22 axax
ax
axx?
xey
1sin
,y?
)1( s in)(
1s i n1s i n
xeey xx
.1c o s1)1(1c o s
1s i n
2
1s i n
xexxxe
xx
例 9 设,求解 则则
x
exy x
a r c c o s
)1(ln ).0(y?
],a r c c o sln)1[ l n (21 xxxy
)]
1
1(
a r c c o s
11
1
1[
2
1
2xxx
y
)
a r c c o s1
11
1
1(
2
1
2 xxx?
.1)0(y
例 10 设,求解 设则所以
)( a r ct an 2xfy?,y?
,,a r c t a n 2xvvu
).(ufy?
dx
dv
dv
du
du
dy
dx
dy
xvuf 21 1)( 2
).( a r c t a n1 2 24 xfxx
三,隐函数的导数显函数,等号左边是因变量,右边是含有自变量的代数式,
隐函数,非显函数,形如如,为显函数,而 为隐函数,
将隐函数化为显函数称为隐函数的显化,但不是所有隐函数都可以显化,
如,就不可以显化,
不用显化直接由方程求隐函数的导数称为隐函数的求导,
.0),(?yxF
)( xfy? 0s i n23 yyx
032 73 xxyy
例 1 由方程 确定 是 的函数,求解 方程两边对 求导,有所以
yxy ln? y x,y?
x
yyxyy 1ln
.ln xy yyy
例 2 由 确定 是 的函数,求其曲线上点 处的切线方程,
解 方程两边对 求导,有所以所以切线方程为即
422 yxyx y x
)2,2(?
x
.022 yyyxyx
.22 yx yxy,1|
2
2
y
xdx
dyk
切
)2(1)2( xy
.4 xy
例 3 设 其中 为可微函数,求解
,)()( 22 xyxfxfy )(xf
.dxdy
.)()(2 )()(2
2
yfxxyf
yfxfyxy
四,对数求导法
1.幂指函数的求导法设 两边取对数方程两边对 求导,有所以或 则
,)()( )( xvxuxf? ),(ln)(ln xuxvy?
x ).(
)(
)()(ln)(1 xu
xu
xvxuxvy
y
).ln( uuvuvuy v
,ln uvv euy
)ln()( lnln uveey uvuv
).ln( uuvuvu v
例 1 设 求解 (1)两边取对数,有两边对 求导,有所以
(2) 则
,)( ln xxy?,y?
.lnlnln xxy?
x,
ln
1lnln1
xxyy
).ln 1ln( ln)( ln)ln 1ln( ln xxxxxyy x
,)( l n lnln xxx exy
)1ln 1ln( l n)( l n)lnln(lnln xxxxxxxey xxx
).ln 1ln( l n)( l n xxx x
2.乘积函数的求导法设,两边取对数,有两边对 求导,有所以
)()()()( 21 xfxfxfxf n
).(ln)(ln)(lnln 21 xfxfxfy n
x
.)( )()( )()( )(1
2
2
1
1
xf
xf
xf
xf
xf
xfy
y n
n
].
)(
)(
)(
)(
)(
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2
2
1
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xf
xf
xf
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n
n
例 1 求 的导数,
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)2)(1(
xx
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),41312111(211 xxxxyy
.)41312111(2 xxxxyy
,)2()1()1( 23 xxxy,| 0 xy
.22| 0xy
本节的学习到此结束
一,反函数的导数反函数的求导法则,
设 在 处有不等于零的导数且其反函数 在相应点处连续,则存在,且或即反函数的导数等于直接函数的导数的倒数,
)( xfy? ),(xf?
)(1 yfx
x
])([ 1 yf
,)(1 xf])([
1 yf
.])([ 1)( 1 yfxf
证明,的反函数 当的自变量 取得增量 时,因变量 取得相应的增量,当 时,必有 事实上,
如果则 但 是一一对应的,故则 与 的假设矛盾,所以当 时,有 又 在相应点处连续,所以 时,
由 得
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例 1 设 求解 设 为直接函数,则 为其反函数,
在 内单调,可导,且在对应的区间内有又所以同理
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例 2 设 求解 设 为直接函数,则 为其反函数,
在 内单调,可导,且在对应的区间内有又 所以同理可得,
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二,复合函数的求导复合函数求导法则,
设 即 是 的一个复合函数,如果 在 处有导数在对应点 处有导数则 在 处的导数存在,且或如果 则 的导数为
),(),( xuufy y
x
) ],([ xfy )( xu
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例 1 设 求解 设,则例 2 求 的导数,
解 设 则
,)21( 30xy,
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2929 )21(6060 xu
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例 3 设,求解 设,则例 4 设,求解
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例 5 设,求解例 6 求 的导数,
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例 7 设,求解例 8 设,求解
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例 9 设,求解 则则
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三,隐函数的导数显函数,等号左边是因变量,右边是含有自变量的代数式,
隐函数,非显函数,形如如,为显函数,而 为隐函数,
将隐函数化为显函数称为隐函数的显化,但不是所有隐函数都可以显化,
如,就不可以显化,
不用显化直接由方程求隐函数的导数称为隐函数的求导,
.0),(?yxF
)( xfy? 0s i n23 yyx
032 73 xxyy
例 1 由方程 确定 是 的函数,求解 方程两边对 求导,有所以
yxy ln? y x,y?
x
yyxyy 1ln
.ln xy yyy
例 2 由 确定 是 的函数,求其曲线上点 处的切线方程,
解 方程两边对 求导,有所以所以切线方程为即
422 yxyx y x
)2,2(?
x
.022 yyyxyx
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例 3 设 其中 为可微函数,求解
,)()( 22 xyxfxfy )(xf
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2
yfxxyf
yfxfyxy
四,对数求导法
1.幂指函数的求导法设 两边取对数方程两边对 求导,有所以或 则
,)()( )( xvxuxf? ),(ln)(ln xuxvy?
x ).(
)(
)()(ln)(1 xu
xu
xvxuxvy
y
).ln( uuvuvuy v
,ln uvv euy
)ln()( lnln uveey uvuv
).ln( uuvuvu v
例 1 设 求解 (1)两边取对数,有两边对 求导,有所以
(2) 则
,)( ln xxy?,y?
.lnlnln xxy?
x,
ln
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).ln 1ln( ln)( ln)ln 1ln( ln xxxxxyy x
,)( l n lnln xxx exy
)1ln 1ln( l n)( l n)lnln(lnln xxxxxxxey xxx
).ln 1ln( l n)( l n xxx x
2.乘积函数的求导法设,两边取对数,有两边对 求导,有所以
)()()()( 21 xfxfxfxf n
).(ln)(ln)(lnln 21 xfxfxfy n
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例 1 求 的导数,
解则所以例 2 设 求解
)4)(3(
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本节的学习到此结束
