第一章 函数与极限第一节 函数
一,集合
1.集合:指具有某种特定性质的事物的全体.组成该集合的事物称为集合的元素.
集合的表示方法:
(1)列举法:.
(2)描述法:.
空集:.
2.区间
设,则
(1)开区间:
(2)闭区间:
(3)半开区间:
.
3.邻域:以点为中心的任何开区间称为点的邻域,记作.
点的邻域:.
其中称为的半径,称为的中心.
点的去心邻域
.
二,函数
1.定义 设与是变量,是给定的一个数集.按照一定的法则总有确定的数值与之对应,则称是的函数,记作.其中为函数的定义域,是自变量,是因变量.
处的函数值记为,即.
称为函数的值域.
单值函数与多值函数,如果自变量在定义域内任取一个值时,对应的函数值总是只有一个,这种函数称为单值函数,否则称为多值函数.本书一般指单值函数.
2.定义域的求法
(1)实际问题由实际意义确定:如自由落体运动,则其定义域为.
(2)数学式子由算式有意义的自变量的一切实数值所确定:如,其定义域为.
3.函数的图形
建立直角坐标系后,点的集合:

称为函数的图形.
4.特殊函数
(1)绝对值函数:
.
(2)符号函数:

(3)取整函数:

表示不超过的最大整数.如.图形如下:
(4)分段函数:在自变量的不同范围中,用不同式子表示的同一个函数称为分段函数.如绝对值函数,取整函数,符号函数都是分段函数.两个不同式子的分界点称为分段函数的分段点.
三,函数的基本特性
1.有界性:设的定义域为.数集.如果存在,对,有
 或 ,
则称在数集上有下界(或上界)或有界.否则,称在上无界.
显然在上有界的充分必要条件是在上既有上界也有下界.
2.单调性,设的定义域为.区间.如果
 (或)
则称在区间上单调增加(或单调减少).此时函数称为单调函数().
3.奇偶性:设的定义域关于原点对称(即.如果,有
 (或)
则称为偶(奇)函数.
偶(奇)函数的图形关于轴(原点)对称.
4.周期性:设的定义域为.如果,则称为周期函数.函数的周期是指最小正周期().注意,不是任一周期函数都有最小正周期.如狄里赫来函数

显然任一有理数都是其周期,从而为周期函数,但无最小正周期.
四,反函数
反函数:设函数定义域为,值域为.对,总与对应,这样就确定了一个以为自变量的函数,称为的反函数,记作,也记作 .相对于反函数,原来函数称为直接函数.
注意(1)单值函数的反函数不一定是单值函数;但当直接函数不仅单值且单调时,其反函数必为单值函数.
(2) 和的图形关于直线对称.