第三节 数列极限
一,数列
1.数列
无限多个数有次序地排成一列
称为数列,记为.数列中的每一个数称为数列的项,第项称为数列的一般项.数列也可看作自然数的函数:
.
在几何上,数列也可看作数轴上的一系列点.
2.子数列
设数列.在中第一次抽取,第二次抽取第次抽取得新数列
,
称为数列的子(数)列.
二,数列的极限:
1.引例:刘徽的割圆术.
2.数列极限的定义
设数列.观察当无限增大时,数列的项的变化趋势.具体写出来是:
当无限增大(即要多大就有多大)时,一般项无限接近(要多近就有多近)于常数,此时称数列的极限为零,或数列收敛于零.由此有
定义(描述性定义)
当无限增大时,数列与常数无限接近,称数为数列的极限,或称数列收敛于.记作,或.
下面我们对数列来具体分析:
要使与的距离小于,即
.
则,取,当时,,即从第11项开始,所有项与的距离小于.
取,要使,则.取,则当时,,即从第101项开始,所有项与的距离小于.
…………………………………………
,要使.取则当时,.即从项开始,所有项与的距离小于.
用精确的数学语言,有
定义 给定数列和常数:,当时,有
成立,则称常数为数列的极限,或称数列收敛于常数,记为
,或.
如果数列没有极限,则称数列是发散的.
注意 (1)反映了数列中项与常数的接近程度.由于可以任意小,此时反映了与常数无限接近(要多近就有多近),不是越来越近.
(2)反映了数列中与常数接近的项的范围,即从项开始,所有项与的距离小于.因此是的函数.一般地,越小,则越大.
(3) 主要是对于给定的,能够找到一个,使得与的距离小于,而前项是否与的距离小于没有任何影响.
(4) 是否存在才是关键,不必找最小的.
(5) 的几何意义:
由定义,,当时,有
,
即全部落在的邻域内.
例 证明.
分析:由注(3)的思路:从不等式解出,从而确定.
证明 ,要使
则.取,则当时,有
所以.
有时,由解出是非常麻烦.由注(4)可知,此时可将不等式适当放大(不能太大),即
由解出,从而确定.则当时,有
故
注:这里的适当放大意思是放大后还可小于.
例2 证明.
证明 ,要使
此时直接解出很难.将适当放大,
所以,取即可.
或如下放大:
则.取即可.
三,收敛数列的性质
定理1(极限唯一性定理) 如果数列,则其极限必唯一.
证明 设..取.
由则,当时,有.
由,则,当时,有.
取,则当时,有
解得
矛盾.
定理2 收敛数列必有界.但有界数列不一定收敛.
证明 设则给定,当时,有.则
,
取.则对任意的,有
即数列必有界.
反之,数列是有界的(因为),但不存在(为什么?见下面的解释).
定理3(数列与子数列关于收敛的关系) 如果则其任一子数列必收敛,且
注(1)逆否命题:如果数列的某一子数列发散或某两个(或两个以上)子数列收敛,但极限不同,则数列必发散.
例3 证明数列是发散的.
证明 取两个子列:
奇子列:,显然.又
偶子列,,显然.
因为,所以不存在.
(2)如果数列的奇子列与偶子列均收敛于同一极限,则数列必收敛.
一,数列
1.数列
无限多个数有次序地排成一列
称为数列,记为.数列中的每一个数称为数列的项,第项称为数列的一般项.数列也可看作自然数的函数:
.
在几何上,数列也可看作数轴上的一系列点.
2.子数列
设数列.在中第一次抽取,第二次抽取第次抽取得新数列
,
称为数列的子(数)列.
二,数列的极限:
1.引例:刘徽的割圆术.
2.数列极限的定义
设数列.观察当无限增大时,数列的项的变化趋势.具体写出来是:
当无限增大(即要多大就有多大)时,一般项无限接近(要多近就有多近)于常数,此时称数列的极限为零,或数列收敛于零.由此有
定义(描述性定义)
当无限增大时,数列与常数无限接近,称数为数列的极限,或称数列收敛于.记作,或.
下面我们对数列来具体分析:
要使与的距离小于,即
.
则,取,当时,,即从第11项开始,所有项与的距离小于.
取,要使,则.取,则当时,,即从第101项开始,所有项与的距离小于.
…………………………………………
,要使.取则当时,.即从项开始,所有项与的距离小于.
用精确的数学语言,有
定义 给定数列和常数:,当时,有
成立,则称常数为数列的极限,或称数列收敛于常数,记为
,或.
如果数列没有极限,则称数列是发散的.
注意 (1)反映了数列中项与常数的接近程度.由于可以任意小,此时反映了与常数无限接近(要多近就有多近),不是越来越近.
(2)反映了数列中与常数接近的项的范围,即从项开始,所有项与的距离小于.因此是的函数.一般地,越小,则越大.
(3) 主要是对于给定的,能够找到一个,使得与的距离小于,而前项是否与的距离小于没有任何影响.
(4) 是否存在才是关键,不必找最小的.
(5) 的几何意义:
由定义,,当时,有
,
即全部落在的邻域内.
例 证明.
分析:由注(3)的思路:从不等式解出,从而确定.
证明 ,要使
则.取,则当时,有
所以.
有时,由解出是非常麻烦.由注(4)可知,此时可将不等式适当放大(不能太大),即
由解出,从而确定.则当时,有
故
注:这里的适当放大意思是放大后还可小于.
例2 证明.
证明 ,要使
此时直接解出很难.将适当放大,
所以,取即可.
或如下放大:
则.取即可.
三,收敛数列的性质
定理1(极限唯一性定理) 如果数列,则其极限必唯一.
证明 设..取.
由则,当时,有.
由,则,当时,有.
取,则当时,有
解得
矛盾.
定理2 收敛数列必有界.但有界数列不一定收敛.
证明 设则给定,当时,有.则
,
取.则对任意的,有
即数列必有界.
反之,数列是有界的(因为),但不存在(为什么?见下面的解释).
定理3(数列与子数列关于收敛的关系) 如果则其任一子数列必收敛,且
注(1)逆否命题:如果数列的某一子数列发散或某两个(或两个以上)子数列收敛,但极限不同,则数列必发散.
例3 证明数列是发散的.
证明 取两个子列:
奇子列:,显然.又
偶子列,,显然.
因为,所以不存在.
(2)如果数列的奇子列与偶子列均收敛于同一极限,则数列必收敛.
