第七节 极限存在准则 两个重要极限
一,极限存在准则
1.两边夹定理
定理 设满足:
(1)
(2)
则.
对于函数极限,类似地有
定理 设满足:
(1)(或;
(2)
则
例1 设,求.
解 ,且,所以,又
,所以.
2.定理 单调有界数列必有极限.
注意 该定理可分解为两部分:
(1)单调增加有上界的数列必有极限;
(2)单调减少有下界的数列必有极限.
例2 求.
解
方法一,设,则.显然
,
故有上界,下证单调增加.

故存在.设,在的两边取极限,有

解得或(舍去),所以.
方法二:,则

二,两个重要极限
1.(型)
注意 (1)与的区别,(另一个);
(2)令,则该极限变形为 .
(3)一般地,有(常用情形)
,
其中.
例3 
例4 
例5


例6 
2.,型.
注意 (1)等价形式:令,则.所以
.
(2),型.
(3)一般形式:

例7 求.
解
方法一

方法二

例8 

注意 对型,可用下面简便方法计算:
设,则
.
例9 
例10