第八节 无穷小的比较
两个无穷小的商不一定是无穷小,可以是无穷小,无穷大,常数,由此产生了无穷小的比较.

一,定义
设.
1.如果,称是比高阶的无穷小,记作.
2.如果,称是比低阶的无穷小.
3.如果,称与是同阶的无穷小.
4.如果,称是的阶无穷小.
5.如果,称与是等价无穷小,记作.
如:,则当时,.
,则当时,与是同阶无穷小,且.
,当时,是的高阶无穷小.
二,性质
定理 与是等价无穷小
证明 :,只须证是的高阶无穷小,即.
:只须证.
定理 设,且存在,则.
注意 (1)此结论在求极限时非常有用.但要注意:当无穷小量是乘积因子时可用其等价无穷小代替,在加减时要特别注意.
(2)当时,常见的等价无穷小为

,.
例1 .
例2 
例3 
例4 
例5 设求.
解 由

得.
例6 .
事实上,
但.(或原式)