第六节 极限的四则运算
一,运算法则
定理1 设,则
.
注意:(1)运用该公式时与的极限必须同时存在,否则出现错误.
如,但是错误的,虽然结论是正确的.
(2)该结论可推广到有限个函数的情形.即
.
定理2 设,则
.
注意:(1)也必须注意定理的条件.如
是错误的,虽然结论是正确的.
是错误的.结论为.
(2)该结论也可推广到有限个函数的情形.即
.
(3)特殊情形:
,.
定理3 设,则.
注意:定理的条件,否则出现错误.如
是错误的.事实上.
是错误的.事实上,当时,是无界函数,而不是无穷大.
由于数列极限是函数极限的特殊情形,故以上的运算法则对数列极限也是成立的.
二.例题
现在运用极限的运算法则可求一些简单函数的极限.
1.有理函数的极限
(1)有理整函数的极限
设,(),则.
(2)有理分函数的极限
.
则
由于,,由商的极限知
(ⅰ) 当时,.
(ⅱ) 当时, .
(ⅲ) 当时,先分解因式,约去极限为零的公因子,再根据(ⅰ)、(ⅱ)两种情形求极限.
例1
例2 ,(因为)
(3) .
(a)当时
.
(b)当时
.
(c)当时,由(2)有
.
综上有
例3 .
2.杂例
例 .
例
例 .
例 .
例 .
例 .
由以上知不存在.
例 .
例 .
三,极限的比较定理
定理 如果,则.
证明 ,又,所以
.
四,复合函数的极限
定理 设,且,又,则
.
(在定理中,将换成或,而把换成,结论仍成立).
例 .
例 .
因为,且
,
所以原式=0.
例 .
一,运算法则
定理1 设,则
.
注意:(1)运用该公式时与的极限必须同时存在,否则出现错误.
如,但是错误的,虽然结论是正确的.
(2)该结论可推广到有限个函数的情形.即
.
定理2 设,则
.
注意:(1)也必须注意定理的条件.如
是错误的,虽然结论是正确的.
是错误的.结论为.
(2)该结论也可推广到有限个函数的情形.即
.
(3)特殊情形:
,.
定理3 设,则.
注意:定理的条件,否则出现错误.如
是错误的.事实上.
是错误的.事实上,当时,是无界函数,而不是无穷大.
由于数列极限是函数极限的特殊情形,故以上的运算法则对数列极限也是成立的.
二.例题
现在运用极限的运算法则可求一些简单函数的极限.
1.有理函数的极限
(1)有理整函数的极限
设,(),则.
(2)有理分函数的极限
.
则
由于,,由商的极限知
(ⅰ) 当时,.
(ⅱ) 当时, .
(ⅲ) 当时,先分解因式,约去极限为零的公因子,再根据(ⅰ)、(ⅱ)两种情形求极限.
例1
例2 ,(因为)
(3) .
(a)当时
.
(b)当时
.
(c)当时,由(2)有
.
综上有
例3 .
2.杂例
例 .
例
例 .
例 .
例 .
例 .
由以上知不存在.
例 .
例 .
三,极限的比较定理
定理 如果,则.
证明 ,又,所以
.
四,复合函数的极限
定理 设,且,又,则
.
(在定理中,将换成或,而把换成,结论仍成立).
例 .
例 .
因为,且
,
所以原式=0.
例 .
