第五节 无穷小与无穷大
一,无穷小
1.定义
如果在自变量的某一变化过程中,的极限为零,则称在自变量的变化过程中为无穷小.由此
定义 设在(或)时有定义.(或),当(或)时,有
,
则称当(或)时为无穷小,记作
(或.
如,则当时为无穷小.
,则当时为无穷小.
注意:区别无穷小与很小的数:无穷小是函数当(或)时与数0无限接近,的函数值可能等于0也可能不等于0;很小的数是一个确定的数,它不能小于任意给定的正数.
2.无穷小与极限的关系
定理 其中.
3.无穷小的性质
性质1 有限个无穷小的和还是无穷小.
证明 设,,即,
,当时,有;
,当时,有.
取,则当时,有
.#
性质2 有界函数与无穷小的乘积还是无穷小.
如,则.
证明 设在内有界,即.,则
,当时,有.
取,则当时,有
.#
由性质2可得
(1)常数与无穷小的乘积还是无穷小.
(2)有限个无穷小的乘积还是无穷小.
但请注意:
(1)无限个无穷小的和不一定是无穷小.
(2)无限个无穷小的乘积不一定是无穷小.
二.无穷大
1.定义
如果当(或)时,可以无限增大,则称当(或)时为无穷大.即
定义 设在(或)时有定义,(或),当(或)时,有
,
则称当(或)时为无穷大,记作.
注:(1)区别无穷大和很大的数.
(2)无穷大并不表示函数的极限存在,仅表示函数的性态(或变化趋势).
(3)若改为,则称当(或)时为正无穷大,记作
.
若改为则称当(或)为负无穷大,记作
.
(4) ,则在(或)时为无界函数;但反之不然.
如在内无界(取则),但当时不是无穷大.(取,则).
(5)几何上,表示直线是曲线的铅直渐进线.
(6),令,则.
2.无穷大与无穷小的关系
当时,.即无穷大的倒数是无穷小,无穷小的倒数是无穷大.
一,无穷小
1.定义
如果在自变量的某一变化过程中,的极限为零,则称在自变量的变化过程中为无穷小.由此
定义 设在(或)时有定义.(或),当(或)时,有
,
则称当(或)时为无穷小,记作
(或.
如,则当时为无穷小.
,则当时为无穷小.
注意:区别无穷小与很小的数:无穷小是函数当(或)时与数0无限接近,的函数值可能等于0也可能不等于0;很小的数是一个确定的数,它不能小于任意给定的正数.
2.无穷小与极限的关系
定理 其中.
3.无穷小的性质
性质1 有限个无穷小的和还是无穷小.
证明 设,,即,
,当时,有;
,当时,有.
取,则当时,有
.#
性质2 有界函数与无穷小的乘积还是无穷小.
如,则.
证明 设在内有界,即.,则
,当时,有.
取,则当时,有
.#
由性质2可得
(1)常数与无穷小的乘积还是无穷小.
(2)有限个无穷小的乘积还是无穷小.
但请注意:
(1)无限个无穷小的和不一定是无穷小.
(2)无限个无穷小的乘积不一定是无穷小.
二.无穷大
1.定义
如果当(或)时,可以无限增大,则称当(或)时为无穷大.即
定义 设在(或)时有定义,(或),当(或)时,有
,
则称当(或)时为无穷大,记作.
注:(1)区别无穷大和很大的数.
(2)无穷大并不表示函数的极限存在,仅表示函数的性态(或变化趋势).
(3)若改为,则称当(或)时为正无穷大,记作
.
若改为则称当(或)为负无穷大,记作
.
(4) ,则在(或)时为无界函数;但反之不然.
如在内无界(取则),但当时不是无穷大.(取,则).
(5)几何上,表示直线是曲线的铅直渐进线.
(6),令,则.
2.无穷大与无穷小的关系
当时,.即无穷大的倒数是无穷小,无穷小的倒数是无穷大.
