第四节 定积分的换元法
定理 设 在 上连续,满足,
(1) ;
(2) 在 (或 )上单调且具有连续导数,则
—— 换元公式,
)(xf ],[ ba )(tx
ba )(,)(
],[ ],[)(tx
dtttfdxxf
txb
a
)()]([)(
)(
注意,
1)用 引进新的积分变量后,定积分的上下限也要作相应的改变,上限 ;
下限,
2) 用 引进新的积分变量后,对新的积分变量 运用 Newton--Leibniz公式即可,
而不必回到积分变量 再利用 Newton—
Leibniz公式,
)(tx
)(tx
bxt
axt
t
x
3)换元公式也可倒过来使用,即
—— 凑微分法,
注意此时引进新的积分变量后,定积分的上下限要作相应的改变,
4)总之,对于定积分,如果引进新的积分变量,
积分上下限要相应地改变 ;如果没有引进新的积分变量,积分上下限不变,
dxxftdtfdtttf
txb
a
b
a
)()()]([)()]([
)(
例 1 求解,
(没有引进新的积分变量,积分上下限不变 ),
或
(引进新的积分变量,积分上下限要相应地改变 ),
.s i nc o s
2
0
5?
xd xx
.
6
1c o s
6
1c o sc o ss i nc o s 2
0
6
2
0
5
2
0
5
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6
1c o sc o ss i nc o s 1
0
5
0
1
5
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0
5
2
0
5
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xt
例 2 求解,
.s i ns i n
0
53 dxxx
2
2
32
0
2
3
c o ss i nc o ss i n x d xxx d xx
0
3
0
53 c o ss ins ins in dxxxdxxx
.54s i n52s i n52
2
2
5
2
0
2
5
xx
例 3 求解,
).0(,
0
22 adxxa
a
2
0
22
0
22
s i n
0
22 )2c o s1(
2
c o s
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taxa
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2
1
2
(
2
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2
2
0
22
0
2
0
2?
tat d tdta
.4)02(2
22 aa
例 4 求解 令,则,当 时,
当 时,.所以注,从以上各例看出,定积分的解题思路与不定积分是一致的,
.12 2
4
0
dxxx
12 xt td tdxtx,
2
12 0?x ;1?t
4?x 3?t
)33(21)3(2112 2 3131
33
1
2
4
0
ttdttdxxx
.322)]13(3)127(31[21
下面证明奇函数与偶函数在对称区间上的定积分的一个性质,
定理 设 在 上连续,如果
(1) 为奇函数,则
(2) 为偶函数,则
],[ aa?)(xf;0)(
a
a
dxxf)(xf
.)(2)(
0
aa
a
dxxfdxxf
)(xf
证明,而所以
(1)如果 为奇函数,则,所以
(2)如果 为偶函数,则,
所以
a
a
a
a
dxxfdxxfdxxf
0
0
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,)()())(()(
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00
aa
a
tx
a
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a
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0
aa
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aaa
a
dxxfdxxfdxxf
)(2)()( xfxfxf)(xf
例 5 求解注,在对称区间上的定积分,首先要考虑被积函数 (或被积函数的一部分 )的奇偶性,
1
1
2
2345
1
257 dx
x
xxxx
dxx xxdxx xxdxx xxxx
1
1
2
241
1
2
351
1
2
2345
1
2
1
57
1
257
)a r c t a n231(2)12(21 220 10103
1
0
2
2
1
0
2
24
xxdxxxdxx xx
.323 32)231(2)4231(2
下面一个结论对定积分的计算和证明也较有用,
例 6 设 在 上连续,证明
(1)
(2)
]1,0[)(xf;)( c o s)( s i n
2
0
2
0
dxxfdxxf
.)( s in2)( s in
00
dxxfdxxxf
证明 (1)
(2)
所以即
.)( c o s)( c o s))(( c o s)( s i n
2
0
2
0
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22
0
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0
0
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0000
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00
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00
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本节的学习到此结束
定理 设 在 上连续,满足,
(1) ;
(2) 在 (或 )上单调且具有连续导数,则
—— 换元公式,
)(xf ],[ ba )(tx
ba )(,)(
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a
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注意,
1)用 引进新的积分变量后,定积分的上下限也要作相应的改变,上限 ;
下限,
2) 用 引进新的积分变量后,对新的积分变量 运用 Newton--Leibniz公式即可,
而不必回到积分变量 再利用 Newton—
Leibniz公式,
)(tx
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axt
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3)换元公式也可倒过来使用,即
—— 凑微分法,
注意此时引进新的积分变量后,定积分的上下限要作相应的改变,
4)总之,对于定积分,如果引进新的积分变量,
积分上下限要相应地改变 ;如果没有引进新的积分变量,积分上下限不变,
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例 1 求解,
(没有引进新的积分变量,积分上下限不变 ),
或
(引进新的积分变量,积分上下限要相应地改变 ),
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例 2 求解,
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例 4 求解 令,则,当 时,
当 时,.所以注,从以上各例看出,定积分的解题思路与不定积分是一致的,
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下面证明奇函数与偶函数在对称区间上的定积分的一个性质,
定理 设 在 上连续,如果
(1) 为奇函数,则
(2) 为偶函数,则
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(1)如果 为奇函数,则,所以
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例 5 求解注,在对称区间上的定积分,首先要考虑被积函数 (或被积函数的一部分 )的奇偶性,
1
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1
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1
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下面一个结论对定积分的计算和证明也较有用,
例 6 设 在 上连续,证明
(1)
(2)
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证明 (1)
(2)
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本节的学习到此结束
