第十一节 闭区间上连续函数的性质
一,最值定理设 在区间 上有定义,
有 (或 )
则称 为 在区间 上的最大值 (或最值 ),
)(xf I IxIx
0,
)()( 0xfxf? )()( 0xfxf?
)( 0xf )(xf I
定理 (最值定理 ) 闭区间上的连续函数必有最大值与最小值,即设 在上 连续,则存在使得
],[ ba ],,[,21 ba)(xf
)()( 2 xff
)()( 2 xff
]),[( bax
]),[( bax
注意,
如果 不是闭区间上的连续函数,则结论不一定成立,
如,在 内连续,但 在 内无最值,
如,在 上不连续,在 上既无最大值也无最小值,
)(xf
xy
1? )1,0(
xy
1? )1,0(
.21,3
,1,1
,10,1
)(
xx
x
xx
xfy ]2,0[
)(xf ]2,0[
由最值定理,可得
定理 (有界性定理 ) 闭区间上的连续函数在该区间上有界,即设 在闭区间 上连续,则 使得
例 设 存在,且 在 上连续,
证明,在 上有界,
)(xf ],[ ba,,Mm?
Mxfm )( ] ),,[( bax
)(lim xfx ),[a)(xf
)(xf ),[a
二,介值定理如果 则 称为 的零点,
定理 (零点定理 )
设 在 上连续,且 则使得几何上表示 轴与曲线 至少有一个交点,
,0)( 0?xf 0x )(xf
)(xf ],[ ba,0)()( bfaf
),,( ba,0)(f
x )( xfy?
定理 (介值定理 )
设 在 上连续,则使得证明,分析,要证明只须证方程在 内有根,即证函数 在内有零点,
令 则 在 上连续,不妨设则 由零点定理,
即
)(xf ],[ ba BbfAaf )(,)(
),,( BAC ),( ba,)( Cf
,)( Cf ),,( ba
.)( Cxf?
),( ba CxfxF )()(
),( ba
,)()( CxfxF )(xF ],[ ba,BA?
.BCA
,0)()(..),,( CfFtsba,)( Cf
几何上表示水平直线 与曲线至少有一个交点,
推论 闭区间上的连续函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值,
Cy? xy?
例 1 证明方程 在 内至少有一个根,
分析,实质上是证明函数 在内 至少有一个零点,
证明 令 显然在 上连续,且由零点定理,
即 所以结论真,
注意 要证明方程 在 内有根证明函数 在 内有零点,用闭区间上的连续函数的零点定理是基本方法之一,
14 23 xx )1,0(
14)( 23 xxxf
)1,0(
14)( 23 xxxf ]1,0[
.02)1(,01)0( ff
..),1,0( ts,014)( 23f
.14 23
)()( xgxf? ),( ba?
)()()( xgxfxF ),( ba
例 2 设 在 上连续,且证明,在 上至少存在一点,使得分析,问题归结为证明方程 在 上至少有一根,即 在 上至少有一个零点,
证明,令 显然 在 上连续,又
⑴如果 或 则取 或 1,有
⑵如果 由零点定理,
即
)(xf ]1,0[ ].1,0[,1)(0 xxf
,)(f]1,0[
xxf?)(
xxf?)(
]1,0[
]1,0[
,)()( xxfxF )(xF ]1,0[
.01)1()1(,0)0(0)0()0( fFffF
0)0(?F,0)1(?F 0,)(f
,0)1(,0)0( FF
.0)()(..),1,0( fFts,)(f
例 3 设 在 上连续,
证明证明方法一,用介值定理,
⑴如果 取
⑵如果 不防设 则由介值定理,
)(xf ],[ ba
.2 )()()(..],,[ bfafftsba
),()( bfaf?,ba或
),()( bfaf? ),()( bfaf?
).(2 )()()( bfbfafaf
.2 )()()(..],,[ bfafftsba
方法二,用零点定理,
只须证明函数 在上至少有一个零点,
显然 在 上连续,且
⑴如果 则 取
⑵如果 不防设则 由零点定理,
即注意 由上例可知,零点定理与介值定理的作用是一样的,
2
)()()()( bfafxfxF ],[ ba
)(xF ],[ ba
.2 )()()(,2 )()()( afbfbFbfafaF
),()( bfaf?,0)(,0)( bFaF,ba或
),()( bfaf? ),()( bfaf?
.0)(,0)( bFaF,.),,( tsba
.02 )()()()( bfaffF,2
)()()( bfaff
第一章的学习到此结束
一,最值定理设 在区间 上有定义,
有 (或 )
则称 为 在区间 上的最大值 (或最值 ),
)(xf I IxIx
0,
)()( 0xfxf? )()( 0xfxf?
)( 0xf )(xf I
定理 (最值定理 ) 闭区间上的连续函数必有最大值与最小值,即设 在上 连续,则存在使得
],[ ba ],,[,21 ba)(xf
)()( 2 xff
)()( 2 xff
]),[( bax
]),[( bax
注意,
如果 不是闭区间上的连续函数,则结论不一定成立,
如,在 内连续,但 在 内无最值,
如,在 上不连续,在 上既无最大值也无最小值,
)(xf
xy
1? )1,0(
xy
1? )1,0(
.21,3
,1,1
,10,1
)(
xx
x
xx
xfy ]2,0[
)(xf ]2,0[
由最值定理,可得
定理 (有界性定理 ) 闭区间上的连续函数在该区间上有界,即设 在闭区间 上连续,则 使得
例 设 存在,且 在 上连续,
证明,在 上有界,
)(xf ],[ ba,,Mm?
Mxfm )( ] ),,[( bax
)(lim xfx ),[a)(xf
)(xf ),[a
二,介值定理如果 则 称为 的零点,
定理 (零点定理 )
设 在 上连续,且 则使得几何上表示 轴与曲线 至少有一个交点,
,0)( 0?xf 0x )(xf
)(xf ],[ ba,0)()( bfaf
),,( ba,0)(f
x )( xfy?
定理 (介值定理 )
设 在 上连续,则使得证明,分析,要证明只须证方程在 内有根,即证函数 在内有零点,
令 则 在 上连续,不妨设则 由零点定理,
即
)(xf ],[ ba BbfAaf )(,)(
),,( BAC ),( ba,)( Cf
,)( Cf ),,( ba
.)( Cxf?
),( ba CxfxF )()(
),( ba
,)()( CxfxF )(xF ],[ ba,BA?
.BCA
,0)()(..),,( CfFtsba,)( Cf
几何上表示水平直线 与曲线至少有一个交点,
推论 闭区间上的连续函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值,
Cy? xy?
例 1 证明方程 在 内至少有一个根,
分析,实质上是证明函数 在内 至少有一个零点,
证明 令 显然在 上连续,且由零点定理,
即 所以结论真,
注意 要证明方程 在 内有根证明函数 在 内有零点,用闭区间上的连续函数的零点定理是基本方法之一,
14 23 xx )1,0(
14)( 23 xxxf
)1,0(
14)( 23 xxxf ]1,0[
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..),1,0( ts,014)( 23f
.14 23
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例 2 设 在 上连续,且证明,在 上至少存在一点,使得分析,问题归结为证明方程 在 上至少有一根,即 在 上至少有一个零点,
证明,令 显然 在 上连续,又
⑴如果 或 则取 或 1,有
⑵如果 由零点定理,
即
)(xf ]1,0[ ].1,0[,1)(0 xxf
,)(f]1,0[
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0)0(?F,0)1(?F 0,)(f
,0)1(,0)0( FF
.0)()(..),1,0( fFts,)(f
例 3 设 在 上连续,
证明证明方法一,用介值定理,
⑴如果 取
⑵如果 不防设 则由介值定理,
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方法二,用零点定理,
只须证明函数 在上至少有一个零点,
显然 在 上连续,且
⑴如果 则 取
⑵如果 不防设则 由零点定理,
即注意 由上例可知,零点定理与介值定理的作用是一样的,
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