浙江理工大学：高等数学：导数与微分-习题

习题一.填空题
1.设
,则
,
2.若函数
在
处可导,且有
,则
,
3.设
,则
,
4.设
由方程
确定,则
,
5.设
,则
,
二.选择题
1.设周期函数
在
内可导,周期为4,又
,则曲线
在点
处的切线斜率为（ ）.
(A).
(B).
(C).
(D).

2.函数
的不可导点的个数是（ ）.
(A).
(B).
(C).
(D).

3.设

则函数
在
处（ ）.
（1993年数学四考研题）
(A).极限不存在 (B).极限存在但不连续
(C).连续但不可导 (D).可导
4.设函数
对任意
均满足关系
,且有
,其中
为非零常数,则（ ）.
(A).
在
处可导,且
(B).
在
处可导,且

(C).
在
处可导,且
(D).
在
处不可导
5.设函数
在
处可导,则函数
在
处不可导的充分条件是
（ ）,（2000年数学四考研题）
(A).
且
(B).
且

(C).
且
(D).
且

三.计算和证明题
1.求下列各函数的导数
(1).
; (2).
;
(3).
; (4).
,
;
(5).
; (6).
.
2.求下列各函数的二阶导数
(1).
; (2).
;
(3).
; (4).
.
3.求下列各函数的微分
(1).
; (2).
;
(3).
; (4).
.
4.曲线
的切线与
轴和
轴围成一个图形,记切点的横坐标为
.试求切线方程和这个图形的面积;当切点沿曲线趋于无穷远时,该面积的变化趋势如何？
（1999年数学三考研题）
5.设
,其中
具有二阶导数,求
.
（1993年数学三考研题）
6.设函数

且
存在.试确定常数
.
7.设

,其中
有二阶连续导数,且
,
.
(1).求
; (2).讨论
在
上的连续性.。
（1996年数学四考研题）
8.设

在
处可导,求
的值.
9.设
在点
处可导,且
,求极限
.
10.设方程
确定了
是
的函数,求
.
11.设
由
所确定,求
.
（1997年数学三考研题）
12.设
,求
.
13.已知
是周期为5的连续函数,它在
的某个邻域内满足关系式:

,
其中
是当
时比
高阶的无穷小,且
在点
处可导,求曲线
在点
处的切线方程.
（2000年数学二考研题）
14.设
,证明
在
处的二阶导数不存在.
15.设
在
的某个邻域内有定义,
为该邻域内任意两点,且
满足条件,(1).
; (2).
.
证明:在上述邻域内
.
答案一.
1.
,2.
,3.
,4.
,5.
.
二.
1.(D),2.(B),3.(C),4.(C),5.(B).
三.
1.(1).
,(2).
,(3).
,
(4).
,(5).
,
(6).
.
2.(1).
; (2).
;
(3).
; (4).
.
3.(1).
; (2).
;
(3).
; (4).
.
4.
,
,
,
.
5.
.
6.
.
7.(1).


(2).
在
上为连续函数.
8.
.
9.
.
10.
.
11.
.
12.
.
13.
.
15.提示:
.