第六章 定积分的应用
第一节 定积分的元素法
第二节 平面图形的面积
第三节 体积
第四节 平面曲线的弧长第一节 定积分的元素法如果某一实际问题中的所求量 满足：
1,是与 的变化区间 有关的量 ;
2,关于 具有可加性,即 =
3.
则可用定积分表示该量
U
UU
U
i
iU
iii xfU )(?
],[ bax
],[ ba
U
该方法 (即 定积分的元素法 )的基本步骤是,
1,选取一个变量如 为积分变量,并确定积分区间
(即积分变量 的变化范围 );
2,在 上任取一个小区间,求出所求量在 的元素 的表达式 (即为被积表达式 )
=
其中 为 上的连续函数,是高阶无穷小,
3,求定积分,即,
注：在上章讨论的曲边梯形的面积问题中，求曲边梯形的面积就是采用元素法。
其它许多实际问题都采用元素法。
x ],[ ba
x
],[ ba ],[ dxxx? U
],[ dxxx? dU
dU dxxf )(
)(xf ],[ ba dxxfU )(
dxx
b
a
b
a
dxxfxdUU )()(
第二节 平面图形的面积一,直角坐标情形例 1 求由两条抛物线 及 所围图形的面积,
解方程组 得交点
xy?2 2xy?
解 (1)画草图,求交点,
.
,
2
2
xy
xy )1,1(),0,0(
.
(2) 选取积分变量,并确定积分区间,
取 为积分变量,积分区间为,在 上任取一个小区间,
则面积元素
(3) 故所求面积为
x ]1,0[ ]1,0[ ],[ dxxx?
dxxxdA )( 2
3
1
3
1
3
2
3
1
3
2)( 1
0
31
0
2
31
0
2 xxdxxxA
如果取 为积分变量,则积分区间为,在 上任取一个小区间,则面积元素,
故所求面积为,
注? 在直角坐标系下求平面图形的面积时,既可取 为积分变量,
也可取 为积分变量,原则是,
① 所求积分简便
② 面积原素 最好由一个式子表示
y ]1,0[]1,0[
],[ dyyy? dyyydA )( 2
3
1
3
1
3
2
3
1
3
2)( 1
0
31
02
31
0
2 yydyyyA
x
y
dA
例 2求由 及 所围成的平面图形的面积解 (1) 画草图,求交点,
解 得交点
(2) 取为 积分变量,则积分区间为,在 上任取一个小区间
,则面积元素
.01
,122
yx
xy
122 xy 01 yx
)3,4(),1,0(?
y ]3,1[? ]3,1[?
],[ dyyy?
dyyydyyydA )223(]2 1)1[(
22
(3)故所求面积为
如取 为积分变量,则积分区间为,则面积元素故所求面积为显然取 为积分变量较繁 !?
3
16)
22
3(3
1
2
dyyyA
x ]4,21[?
.40,)112()]1(12[
,0
2
1,122)]12(12[
xdxxxdxxx
xdxxdxxx
dA
3
16)112(122)( 4
0
4
2
1
0
2
1
dxxxdxxxdAA
x
例 3 求 所围图形的面积,
解,
由对称性知,,其中 是椭圆在第一象限的面积,
=
由椭圆的参数方程,
得,
故所求面积为,=
12
2
2
2
byax
14AA? 1A
1A?
a
ydx
0
.sin
,c o s
tby
tax
ababt d tabdttatb
tax
422
1s i n)s i n(s i n 2
0
2
0
2
c o s
1A
14AA?
ab?
二,极坐标情形
设曲边扇形 所围成,如图取 为积分变量,则积分区间为,则面积元素为,
所求面积为,
,,0)(rr
],[
drdA )(21 2?
drA )(21 2
例 1,求心型线 所围图形的面积解,由对称性知,
取 为积分变量,则积分区间为,在 上任取一个小区间
,则面积元素为,
故所求面积为,
=
)0(),c o s1( aar?
12AA?
],0[? ],0[?
],[ d dadrdA 222
1 )c o s1(2)(2
1
12AA?
2
0
22
0
2
2
2
3)c o sc o s21()c o s1(
22 adad
a
例 2 求由 所围公共部分的面积解,求交点,解 得焦点由对称性知,而故所求面积为,
=
c o s2,1 rr
.1
,c o s2
r
r? )3,1(),3,1(
12AA?
4
3
3
c o s2
2
1)c o s2(
2
11
2
1 2
3
2
3
0
2
3
2
3
0
2
1
ddddA
2
3
3
212AA?
第三节 体积一,旋转体的体积旋转体是由平面图形绕该平面内的一条定直线旋转一周而生成的立体,定直线称为旋转轴,
下求如图所示平面图形绕 轴旋转一周所得旋转体的体积,
取为 积分变量,积分区间为,在 上任取一个小区间,
则体积元素故所求旋转体的体积为
x
x ],[ ba ],[ ba ],[ dxxx?
dxxfdv )(2
b
a
dxxfV )(2?
例 求由 所围图形 分别 绕 轴与绕 轴所得旋转体的体积,
解,(1) 绕 轴取 为积分变量,则积分区间为,在 上任取一个小区间,则体积元素所以,
0,2 2 yxxy x y
x
]2,0[ ]2,0[
],[ dxxx?
x
dxxxdxydV x 222 )2(
1516)2(
2
0
22 dxxxV
x
(2) 绕 轴取 为积分变量,积分区间为,在 上任取一个小区间
,则体积元素所以,
y
dyydyydyydV y 14)11()11( 22
y ]1,0[]1,0[
],[ dyyy?
3814
1
0
dyyV y
例 求由摆线 的一拱,所围图形分别绕 轴与 轴旋转而成的旋转体的体积,
解,(1) 绕 轴取 为积分变量,积分区间为,在 上任取一个小区间,则体积 元素所以
).c o s1(
),s i n(
tay
ttax 0?y
x y
x
x ]2,0[ a?
],[ dxxx?
]2,0[ a?
dttadttatadxxydV x 33222 )c o s1()c o s1()c o s1()(
32
2
0
33
)s i n(2
0
2 5)c o s1()( adttadxxyV
ttaxa
x
(2) 绕 轴取 为积分变量,则积分区间为,则体积元素为所以
=
=
y
y
]2,0[ a
dyyxdyyxdV y )()( 2122
aa
y dyyxdyyxV
2
0
2
1
2
0
2
2 )()(
0
22
2
22 s in)s in(s in)s in( td tattatd tatta
33
2
0
23 6s in)s in( atd ttta
注,
对于旋转体,取积分变量的原则是,
如果旋转轴平行于哪条坐标轴,
则取该坐标轴对应的变量为积分变量,
二,平行截面面积已知的立体的体积若已知一立体垂直于某一定轴的截面的面积,则可用定积分计算该立体的体积,
如图,
取定轴为 轴,则体积元素为故所求体积为,
x dxxAdV )(?
b
a
dxxAV )(
例 一平面经过半径为 的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角 (如图 ).求该平面截圆柱体所得立体的体积,
解,
取平面与圆柱体的底面的交线为 轴,底面上过圆中心且垂直于 轴的直线为 轴,则底圆方程为
R
x
x y
222 Ryx
取 为积分变量,积分区间为,则体积元素为
=
故所求体积为,
t a n32)(t a n21t a n)(21 32222 RdxxRdxxRV
R
R
R
R
dxxAdV )(? dxxR?ta n)(
2
1 22?
],[ RR?x
第四节 平面曲线的弧长
对于平面上的光滑曲线是可求长的,
一,直角坐标 情形设曲线弧在直角坐标系下的方程为,
其中 在 上有一阶连续导数,下求该曲线弧的长度,
取 为积分变量,积分区间为,在 上任取一个小区间
,则弧微分
)(),( bxaxfy
)(xf ],[ ba
x ],[ ba ],[ ba
],[ dxxx? 222 )()()( dydxds
所以弧长元素 (弧微分 )
故所求弧长为
dxydxdxdyds 22 1)(1
dxys
b
a
21
如果曲线弧的方程为,且 在 上有一阶连续导数,则取 为积分变量,积分区间为,则弧微分故所求弧长为
dycyx ),(? )(y? ],[ dc
y ],[ dc
dyxdydydxdydxds y 1)(1)()( 222
d
c
y dyxs 1
例 求曲线 的弧长解,因为,所以,
取 为积分变量,积分区间为,则弧长元素为故所求弧长
x
dxxy
2
c o s
0cos?x ]
2,2[
x
]2,2[
dxxdxxdxxdxyds 2c o s2c o s1)c o s(11 22
x
4
2
s i n24
2
c o s22
2
c o s2 20
2
0
2
2
xdxxdxxs
二,参数方程情形
设曲线弧的参数方程为,
其中 在 有连续导数,求该曲线的弧长,
取参数 为积分变量,则积分区间为,则弧长元素故所求弧长
).(
),(
ty
tx
)( t
)(),( tt ],[
t ],[
dtttdydxds )()()()( 2222
dttts )()( 22
例 求曲线 自 到 的一段弧的弧长,
解,
则弧长元素故所求弧长
).1ln (
2
1
,a r c t a n
2ty
tx 0?t 1?t
222 121
1
2
1,
1
1
t
tt
tytx tt
dt
t
dttttds
2
2
2
2
2 1
1)
1()1
1(
1
0
1
0
2
2
)21ln ()1ln (
1
1 ttdt
t
s
三,极坐标情形设曲线弧的极坐标方程为,
其中 在 有连续导数,求该曲线弧的弧长,
由直角坐标与极坐标的关系将 看成参数,则弧长元素故所求弧长为
)(?rr? )(
)(?r ],[
.s in)(
,c o s)(
ry
rx )(
drrdyxds )()()()( 2222
drrs )()( 22
例 求曲线 的弧长,
解,
)30(,3s i n 3 ar
adadrrs
2
3
3s in)()(
3
0
2
3
0
22
第一节 定积分的元素法
第二节 平面图形的面积
第三节 体积
第四节 平面曲线的弧长第一节 定积分的元素法如果某一实际问题中的所求量 满足：
1,是与 的变化区间 有关的量 ;
2,关于 具有可加性,即 =
3.
则可用定积分表示该量
U
UU
U
i
iU
iii xfU )(?
],[ bax
],[ ba
U
该方法 (即 定积分的元素法 )的基本步骤是,
1,选取一个变量如 为积分变量,并确定积分区间
(即积分变量 的变化范围 );
2,在 上任取一个小区间,求出所求量在 的元素 的表达式 (即为被积表达式 )
=
其中 为 上的连续函数,是高阶无穷小,
3,求定积分,即,
注：在上章讨论的曲边梯形的面积问题中，求曲边梯形的面积就是采用元素法。
其它许多实际问题都采用元素法。
x ],[ ba
x
],[ ba ],[ dxxx? U
],[ dxxx? dU
dU dxxf )(
)(xf ],[ ba dxxfU )(
dxx
b
a
b
a
dxxfxdUU )()(
第二节 平面图形的面积一,直角坐标情形例 1 求由两条抛物线 及 所围图形的面积,
解方程组 得交点
xy?2 2xy?
解 (1)画草图,求交点,
.
,
2
2
xy
xy )1,1(),0,0(
.
(2) 选取积分变量,并确定积分区间,
取 为积分变量,积分区间为,在 上任取一个小区间,
则面积元素
(3) 故所求面积为
x ]1,0[ ]1,0[ ],[ dxxx?
dxxxdA )( 2
3
1
3
1
3
2
3
1
3
2)( 1
0
31
0
2
31
0
2 xxdxxxA
如果取 为积分变量,则积分区间为,在 上任取一个小区间,则面积元素,
故所求面积为,
注? 在直角坐标系下求平面图形的面积时,既可取 为积分变量,
也可取 为积分变量,原则是,
① 所求积分简便
② 面积原素 最好由一个式子表示
y ]1,0[]1,0[
],[ dyyy? dyyydA )( 2
3
1
3
1
3
2
3
1
3
2)( 1
0
31
02
31
0
2 yydyyyA
x
y
dA
例 2求由 及 所围成的平面图形的面积解 (1) 画草图,求交点,
解 得交点
(2) 取为 积分变量,则积分区间为,在 上任取一个小区间
,则面积元素
.01
,122
yx
xy
122 xy 01 yx
)3,4(),1,0(?
y ]3,1[? ]3,1[?
],[ dyyy?
dyyydyyydA )223(]2 1)1[(
22
(3)故所求面积为
如取 为积分变量,则积分区间为,则面积元素故所求面积为显然取 为积分变量较繁 !?
3
16)
22
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1
2
dyyyA
x ]4,21[?
.40,)112()]1(12[
,0
2
1,122)]12(12[
xdxxxdxxx
xdxxdxxx
dA
3
16)112(122)( 4
0
4
2
1
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2
1
dxxxdxxxdAA
x
例 3 求 所围图形的面积,
解,
由对称性知,,其中 是椭圆在第一象限的面积,
=
由椭圆的参数方程,
得,
故所求面积为,=
12
2
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2
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tby
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422
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0
2
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2
c o s
1A
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ab?
二,极坐标情形
设曲边扇形 所围成,如图取 为积分变量,则积分区间为,则面积元素为,
所求面积为,
,,0)(rr
],[
drdA )(21 2?
drA )(21 2
例 1,求心型线 所围图形的面积解,由对称性知,
取 为积分变量,则积分区间为,在 上任取一个小区间
,则面积元素为,
故所求面积为,
=
)0(),c o s1( aar?
12AA?
],0[? ],0[?
],[ d dadrdA 222
1 )c o s1(2)(2
1
12AA?
2
0
22
0
2
2
2
3)c o sc o s21()c o s1(
22 adad
a
例 2 求由 所围公共部分的面积解,求交点,解 得焦点由对称性知,而故所求面积为,
=
c o s2,1 rr
.1
,c o s2
r
r? )3,1(),3,1(
12AA?
4
3
3
c o s2
2
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2
11
2
1 2
3
2
3
0
2
3
2
3
0
2
1
ddddA
2
3
3
212AA?
第三节 体积一,旋转体的体积旋转体是由平面图形绕该平面内的一条定直线旋转一周而生成的立体,定直线称为旋转轴,
下求如图所示平面图形绕 轴旋转一周所得旋转体的体积,
取为 积分变量,积分区间为,在 上任取一个小区间,
则体积元素故所求旋转体的体积为
x
x ],[ ba ],[ ba ],[ dxxx?
dxxfdv )(2
b
a
dxxfV )(2?
例 求由 所围图形 分别 绕 轴与绕 轴所得旋转体的体积,
解,(1) 绕 轴取 为积分变量,则积分区间为,在 上任取一个小区间,则体积元素所以,
0,2 2 yxxy x y
x
]2,0[ ]2,0[
],[ dxxx?
x
dxxxdxydV x 222 )2(
1516)2(
2
0
22 dxxxV
x
(2) 绕 轴取 为积分变量,积分区间为,在 上任取一个小区间
,则体积元素所以,
y
dyydyydyydV y 14)11()11( 22
y ]1,0[]1,0[
],[ dyyy?
3814
1
0
dyyV y
例 求由摆线 的一拱,所围图形分别绕 轴与 轴旋转而成的旋转体的体积,
解,(1) 绕 轴取 为积分变量,积分区间为,在 上任取一个小区间,则体积 元素所以
).c o s1(
),s i n(
tay
ttax 0?y
x y
x
x ]2,0[ a?
],[ dxxx?
]2,0[ a?
dttadttatadxxydV x 33222 )c o s1()c o s1()c o s1()(
32
2
0
33
)s i n(2
0
2 5)c o s1()( adttadxxyV
ttaxa
x
(2) 绕 轴取 为积分变量,则积分区间为,则体积元素为所以
=
=
y
y
]2,0[ a
dyyxdyyxdV y )()( 2122
aa
y dyyxdyyxV
2
0
2
1
2
0
2
2 )()(
0
22
2
22 s in)s in(s in)s in( td tattatd tatta
33
2
0
23 6s in)s in( atd ttta
注,
对于旋转体,取积分变量的原则是,
如果旋转轴平行于哪条坐标轴,
则取该坐标轴对应的变量为积分变量,
二,平行截面面积已知的立体的体积若已知一立体垂直于某一定轴的截面的面积,则可用定积分计算该立体的体积,
如图,
取定轴为 轴,则体积元素为故所求体积为,
x dxxAdV )(?
b
a
dxxAV )(
例 一平面经过半径为 的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角 (如图 ).求该平面截圆柱体所得立体的体积,
解,
取平面与圆柱体的底面的交线为 轴,底面上过圆中心且垂直于 轴的直线为 轴,则底圆方程为
R
x
x y
222 Ryx
取 为积分变量,积分区间为,则体积元素为
=
故所求体积为,
t a n32)(t a n21t a n)(21 32222 RdxxRdxxRV
R
R
R
R
dxxAdV )(? dxxR?ta n)(
2
1 22?
],[ RR?x
第四节 平面曲线的弧长
对于平面上的光滑曲线是可求长的,
一,直角坐标 情形设曲线弧在直角坐标系下的方程为,
其中 在 上有一阶连续导数,下求该曲线弧的长度,
取 为积分变量,积分区间为,在 上任取一个小区间
,则弧微分
)(),( bxaxfy
)(xf ],[ ba
x ],[ ba ],[ ba
],[ dxxx? 222 )()()( dydxds
所以弧长元素 (弧微分 )
故所求弧长为
dxydxdxdyds 22 1)(1
dxys
b
a
21
如果曲线弧的方程为,且 在 上有一阶连续导数,则取 为积分变量,积分区间为,则弧微分故所求弧长为
dycyx ),(? )(y? ],[ dc
y ],[ dc
dyxdydydxdydxds y 1)(1)()( 222
d
c
y dyxs 1
例 求曲线 的弧长解,因为,所以,
取 为积分变量,积分区间为,则弧长元素为故所求弧长
x
dxxy
2
c o s
0cos?x ]
2,2[
x
]2,2[
dxxdxxdxxdxyds 2c o s2c o s1)c o s(11 22
x
4
2
s i n24
2
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2
c o s2 20
2
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2
2
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二,参数方程情形
设曲线弧的参数方程为,
其中 在 有连续导数,求该曲线的弧长,
取参数 为积分变量,则积分区间为,则弧长元素故所求弧长
).(
),(
ty
tx
)( t
)(),( tt ],[
t ],[
dtttdydxds )()()()( 2222
dttts )()( 22
例 求曲线 自 到 的一段弧的弧长,
解,
则弧长元素故所求弧长
).1ln (
2
1
,a r c t a n
2ty
tx 0?t 1?t
222 121
1
2
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1
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t
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dt
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2
2
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2
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1)
1()1
1(
1
0
1
0
2
2
)21ln ()1ln (
1
1 ttdt
t
s
三,极坐标情形设曲线弧的极坐标方程为,
其中 在 有连续导数,求该曲线弧的弧长,
由直角坐标与极坐标的关系将 看成参数,则弧长元素故所求弧长为
)(?rr? )(
)(?r ],[
.s in)(
,c o s)(
ry
rx )(
drrdyxds )()()()( 2222
drrs )()( 22
例 求曲线 的弧长,
解,
)30(,3s i n 3 ar
adadrrs
2
3
3s in)()(
3
0
2
3
0
22
