第二节 初等函数
一,基本初等函数
1.幂函数:,(是常数).
2.指数函数:,特别地:.
3.对数函数:,特别地:.
注意:指数函数与对数函数互为反函数.
4.三角函数:
5.反三角函数:.
二,复合函数 初等函数
1.复合函数:设函数的定义域为,函数在上有定义,而 ,且,那末,对通过函数有确定的与之对应,对于这个通过有确定的与之对应,从而得由复合而成的复合函数,记作,而为中间变量.
注意 (1)不是任二个或二个以上的函数都复合成一个复合函数.如,
就不能复合成一个复合函数.
(2)任一复合函数都可以分解成一些简单函数的复合.此点在求复合函数的导数时很重要.如函数可分解成:
2.初等函数
由常数与基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合所构成的并且用一个式子表示的函数,称为初等函数.如
都是初等函数.
3.双曲函数与反双曲函数
1.双曲函数
双曲正弦:,奇函数,图形过原点且关于原点对称.在内,当时,当时,.
双曲余弦:,偶函数,图形关于轴对称.在内,在内.时,当时,.
双曲正切:.奇函数,图形过原点且关于原点对称.在内,且,当时,; 当时,.即为的两条水平渐进线.
性质:
.
2.反双曲函数
反双曲正弦:,(单值).
反双曲余弦:,(主值.
反双曲正切:.
函数举例:
例1 设,求.
解 ;
.
例2 设,求.
解 ,即.
例3 设,,且,求及其定义域.
解 ,所以.又,所以
由(1)得;由(2)得,即的定义域为.
例4 设的图形关于直线与对称,则为周期函数.
证明 (关于对称)
(关于对称)
,
即为周期函数.
一,基本初等函数
1.幂函数:,(是常数).
2.指数函数:,特别地:.
3.对数函数:,特别地:.
注意:指数函数与对数函数互为反函数.
4.三角函数:
5.反三角函数:.
二,复合函数 初等函数
1.复合函数:设函数的定义域为,函数在上有定义,而 ,且,那末,对通过函数有确定的与之对应,对于这个通过有确定的与之对应,从而得由复合而成的复合函数,记作,而为中间变量.
注意 (1)不是任二个或二个以上的函数都复合成一个复合函数.如,
就不能复合成一个复合函数.
(2)任一复合函数都可以分解成一些简单函数的复合.此点在求复合函数的导数时很重要.如函数可分解成:
2.初等函数
由常数与基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合所构成的并且用一个式子表示的函数,称为初等函数.如
都是初等函数.
3.双曲函数与反双曲函数
1.双曲函数
双曲正弦:,奇函数,图形过原点且关于原点对称.在内,当时,当时,.
双曲余弦:,偶函数,图形关于轴对称.在内,在内.时,当时,.
双曲正切:.奇函数,图形过原点且关于原点对称.在内,且,当时,; 当时,.即为的两条水平渐进线.
性质:
.
2.反双曲函数
反双曲正弦:,(单值).
反双曲余弦:,(主值.
反双曲正切:.
函数举例:
例1 设,求.
解 ;
.
例2 设,求.
解 ,即.
例3 设,,且,求及其定义域.
解 ,所以.又,所以
由(1)得;由(2)得,即的定义域为.
例4 设的图形关于直线与对称,则为周期函数.
证明 (关于对称)
(关于对称)
,
即为周期函数.
