第三节 体积
一.旋转体的体积
旋转体是由平面图形绕该平面内的一条定直线旋转一周而生成的立体.定直线称为旋转轴.下求如图所示平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积.
取为积分变量,积分区间为,在上任取一个小区间,则体积元素

故所求旋转体的体积为
.
例 求由所围图形分别绕轴与绕轴所得旋转体的体积.
解 (1) 绕轴:
取为积分变量,积分区间为,在上任取一个小区间,则体积元素
,
所以
.
(2) 绕轴:
取为积分变量,积分区间为,在上任取一个小区间,则体积元素
,
所以
.
例 求由摆线的一拱,所围图形分别绕轴与绕轴旋转而成的旋转体的体积.
解 (1) 绕轴:
取为积分变量,积分区间为,在上任取一个小区间,则体积元素
,
所以
.
(2) 绕轴:
取为积分变量,积分区间为.则体积元素为
,
所以

=
=.
注:对于旋转体,取积分变量的原则是:
如果旋转轴平行于哪条坐标轴,则取该坐标轴对应的变量为积分变量.

二.平行截面面积已知的立体的体积
若已知一立体垂直于某一定轴的截面的面积,则可用定积分计算该立体的体积.如图:取定轴为轴,则体积元素为
,
故所求体积为
.
例 一平面经过半径为的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角(如图).求该平面截圆柱体所得立体的体积.
解 取平面与圆柱体的底面的交线为轴,底面上过圆中心且垂直于轴的直线为轴.则底圆方程为
.
取为积分变量,积分区间为,则体积元素为
=,
故所求体积为
.