第六节 平面及其方程
一.平面的点法式方程平面的法向量与平面垂直的非零向量,称为平面的法向量.一般记为.显然平面的法向量不惟一.
2.平面的点法式方程
设平面的法向量为=,且平面过点.求平面的方程.
解 设,则
.
又,故所求平面的方程为
.
上式即为平面的点法式方程.
例 求过点的平面方程.
解 ,故可取平面的法向量
,
故所求平面的方程为
,
即
.
二.平面的一般方程
1.三元一次方程

称为平面的一般方程.其中=为平面的法向量.
2.特殊平面方程
(1)当时,方程表示过原点的一个平面.
(2)当时,方程表示平行于轴的一个平面.
(时,平面平行于轴;当时,平面平行于轴).
(3)当时,方程表示平行于坐标面的平面.
(,平面平行于坐标面;当时,平面平行于坐标面).
3.平面的截矩式方程
.
旗子分别是平面在轴上的截距.
例 求过轴和点的平面方程.
解 方法一:平面过轴,故.设平面方程为
.
又平面过点,则
,
解得.故所求平面方程为
.
方法二,平面过轴,则平面过.则平面的法向量,故可取
.
所求平面方程为
,
即
.
三.两平面的夹角
两平面的法向量的夹角(指锐角)称为两平面的夹角,记为.
设平面:

故
.
又设平面:
,
故
.
则由
,
得平面与平面的夹角
 .
由此有
(1)平面.
(2)平面//.
例 平面过点及,且垂直于平面:.求平面的方程.
解 平面的法向量,向量.则平面的法向量,且.故可取
.
则所求平面的方程
,
即
.
四.点到平面的距离
设点,平面:.则点到平面的距离为
.