第四节 定积分的换元法
定理 设在上连续,满足:
(1);
(2)在(或)上单调且具有连续导数,则
——换元公式.
注意:1)用引进新的积分变量后,定积分的上下限也要作相应的改变,上限;下限.
2) 用引进新的积分变量后,对新的积分变量运用Newton--Leibniz公式即可,而不必回到积分变量再利用Newton--Leibniz公式.
3)换元公式也可倒过来使用,即
——凑微分法.
注意此时引进新的积分变量后,定积分的上下限要作相应的改变.
4)总之,对于定积分,如果引进新的积分变量,积分上下限要相应地改变;如果没有引进新的积分变量,积分上下限不变.
例1 求.
解 .
(没有引进新的积分变量,积分上下限不变).
或
.
(引进新的积分变量,积分上下限要相应地改变).
例2 求.
解
.
例3 求.
解
.
例4 求.
解 令,则,当时,;当时,.所以
.
注:从以上各例看出,定积分的解题思路与不定积分是一致的.
下面证明奇函数与偶函数在对称区间上的定积分的一个性质:
定理 设在上连续.如果
(1) 为奇函数,则;
(2) 为偶函数,则.
证明 .而
.
所以
.
(1)如果为奇函数,则,所以
.
(2)如果为偶函数,则,所以
.
例5 求.
解
.
注:在对称区间上的定积分,首先要考虑被积函数(或被积函数的一部分)的奇偶性.
下面一个结论对定积分的计算和证明也较有用.
例6 设在上连续,证明
(1);
(2).
证明 (1)
.
(2)
所以
,
即
.
定理 设在上连续,满足:
(1);
(2)在(或)上单调且具有连续导数,则
——换元公式.
注意:1)用引进新的积分变量后,定积分的上下限也要作相应的改变,上限;下限.
2) 用引进新的积分变量后,对新的积分变量运用Newton--Leibniz公式即可,而不必回到积分变量再利用Newton--Leibniz公式.
3)换元公式也可倒过来使用,即
——凑微分法.
注意此时引进新的积分变量后,定积分的上下限要作相应的改变.
4)总之,对于定积分,如果引进新的积分变量,积分上下限要相应地改变;如果没有引进新的积分变量,积分上下限不变.
例1 求.
解 .
(没有引进新的积分变量,积分上下限不变).
或
.
(引进新的积分变量,积分上下限要相应地改变).
例2 求.
解
.
例3 求.
解
.
例4 求.
解 令,则,当时,;当时,.所以
.
注:从以上各例看出,定积分的解题思路与不定积分是一致的.
下面证明奇函数与偶函数在对称区间上的定积分的一个性质:
定理 设在上连续.如果
(1) 为奇函数,则;
(2) 为偶函数,则.
证明 .而
.
所以
.
(1)如果为奇函数,则,所以
.
(2)如果为偶函数,则,所以
.
例5 求.
解
.
注:在对称区间上的定积分,首先要考虑被积函数(或被积函数的一部分)的奇偶性.
下面一个结论对定积分的计算和证明也较有用.
例6 设在上连续,证明
(1);
(2).
证明 (1)
.
(2)
所以
,
即
.
