第六节 函数的微分
一,微分的定义及性质
1.定义 设 在 内有定义,
如果函数的增量可表示成则称 在 处可微的,称为在 处相应于自变量的增量 的微分,
记作 即
)(xfy? )( 0xU ).(
00 xUxx
)()( 00 xfxxfy
),()( 0 xoxxAy
)(xfy? 0x xxA?)(
0
)(xfy?
0x x?
,dy,xAdy
2.函数可微的条件
定理 在 处可微 在 处可导,
且 即证明,在 处可微,则所以,
得 在 处可导,且
)(xf 0x? )(xf 0x
).( 0xfA,)( 0 xxfdy
:""? )(xf 0x ),()( 0 xoxxAy
.)(limlim 00 AxxoAxy xx
)(xf
0x
).( 0xfA
在 处可导,则所以,
故,
而所以,
即 在 处可微,且
:""? )(xf 0x ).(lim
00 xfx
y
x
.0lim,)( 00 xxfxy
.)( 0 xxxfy
,0li mli m 00 xx x x
).()( 0 xoxxfy
)(xf 0x ).( 0xfA
例 1 求函数 当 时的微分,
解,
所以 当 时的微分为
2xy? 01.0,1 xx
,2xy
2xy? 01.0,1 xx
.02.001.02|)2( 1 xxdy x
3.函数的微分函数 在任意点 处的微分,称为函数 的微分,记作 或 即当 时,称 为自变量的微分,故函数的微分又可记作由此有 从而导数又称为,微商,,
例 1:设 求解,所以
x)(xfy?
)(xfy? ),(xdfdy,)( xxfdy
,xdxdyxy? dx
.)( dxxfdy
),( xfdxdy
,ar ct an xey?,dy
,1)(1 22 x
x
x
x
e
e
e
ey
.1 2 dxeedy x
x
二,微分的几何意义
1.微分在近似计算中的理论基础当 在 处可导时,则当 时,有即 所以称 为 的线性主部,且所以得由此有,当 时,
)(xfy?
0x
.)( 0 dxxfdy
0)( 0 xf,1lim)(1)(limlim
00000
x
y
xfxf
y
dy
y
xxx
),0(,~ xdyy ).(dyodyy
y?dy ).( dyodyy
,0lim 0 dy dyyx
.0||lim 0 dy dyyx
0x,dyy
2.微分的几何意义是曲线的切线上点的纵坐标的相应增量,
当 时,表示在 处可用切线段近似代替曲线段,
PTdy?
0x,dyy M
三,基本初等函数的微分与微分运算法则
1.基本初等函数的微分公式,
2.函数和,差,积,商的微分,
3.复合函数的微分法则 —— 微分形式不变性则又 所以由此,不论 为自变量还是中间变量,微分形式 不变,称为微分形不变性,
dxxfdy )(
)],([)(),( xfyxuufy
.)()( dxxufdxydy x
,)( dxxdu,)( duufdy
u
duufdy )(
例 1 设 求解,
例 2 设 求 及解 两边微分,有所以,
),1ln ( 2xey,dy
)1(1 1)1ln ( 222 xxx edeeddy
.12)(1 1 2
2
2
2
2 dx
e
xexde
e x
x
x
x
,ln xxy?,dxdydy
,)( lnln 2xy?,1ln21 dx
xxdyy
.ln2,ln2 lnln xx xx xdxdydxxx xdy
例 3 由 确定 是 的函数,求 及解,,得即，
解得，
且
02 xye xy y x dy,dxdy
0)( 2 xyed xy,0)( 2 dxdyed xy
.02)( dxyd yyd xxd ye xy
,21 dxyxe yedy xy
xy
.21 yxe yedxdy xy
xy
四,微分在近似计算中的应用当 时,有即或令 则运用此近似公式计算函数的近似值时,要求
(1) 很小 ;
(2) 易于计算,
0)( 0 xf,)( 0 dxxfdyy
,)()()( 000 dxxfxfxxf
.)()()( 000 xxfxfxxf
,,00 xxxxxx ).)(()()( 000 xxxfxfxf
0xxx
)(),( 00 xfxf?
由以上两点,关键是 点的选取,
特别地,如果取,则由此有工程上的几个近似公式 (类似于时的等价无穷小 ),
⑴
⑵
⑶
0x
00?x,)0()0()( xffxf
0?x;111 xnxn;t a n,s i n xxxx
.)1l n (,1 xxxe x
例 1 求 的近似值,
解,
取则例 2 求 的近似值,
解,
0330sin 0?
).3606s i n (0330s i n 0
,c o s)(,s i n)(,3 6 0,60 xxfxxfxx
xff )6()6(0330s i n 0
.5076.03602 3213606c o s6s i n
3 996
333 1 0 0 0411041 0 0 09 9 6
.9867.9)300041(10
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一,微分的定义及性质
1.定义 设 在 内有定义,
如果函数的增量可表示成则称 在 处可微的,称为在 处相应于自变量的增量 的微分,
记作 即
)(xfy? )( 0xU ).(
00 xUxx
)()( 00 xfxxfy
),()( 0 xoxxAy
)(xfy? 0x xxA?)(
0
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2.函数可微的条件
定理 在 处可微 在 处可导,
且 即证明,在 处可微,则所以,
得 在 处可导,且
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).( 0xfA,)( 0 xxfdy
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在 处可导,则所以,
故,
而所以,
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例 1 求函数 当 时的微分,
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所以 当 时的微分为
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3.函数的微分函数 在任意点 处的微分,称为函数 的微分,记作 或 即当 时,称 为自变量的微分,故函数的微分又可记作由此有 从而导数又称为,微商,,
例 1:设 求解,所以
x)(xfy?
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,ar ct an xey?,dy
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二,微分的几何意义
1.微分在近似计算中的理论基础当 在 处可导时,则当 时,有即 所以称 为 的线性主部,且所以得由此有,当 时,
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2.微分的几何意义是曲线的切线上点的纵坐标的相应增量,
当 时,表示在 处可用切线段近似代替曲线段,
PTdy?
0x,dyy M
三,基本初等函数的微分与微分运算法则
1.基本初等函数的微分公式,
2.函数和,差,积,商的微分,
3.复合函数的微分法则 —— 微分形式不变性则又 所以由此,不论 为自变量还是中间变量,微分形式 不变,称为微分形不变性,
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例 1 设 求解,
例 2 设 求 及解 两边微分,有所以,
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例 3 由 确定 是 的函数,求 及解,,得即，
解得，
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02 xye xy y x dy,dxdy
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.02)( dxyd yyd xxd ye xy
,21 dxyxe yedy xy
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四,微分在近似计算中的应用当 时,有即或令 则运用此近似公式计算函数的近似值时,要求
(1) 很小 ;
(2) 易于计算,
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,)()()( 000 dxxfxfxxf
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,,00 xxxxxx ).)(()()( 000 xxxfxfxf
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由以上两点,关键是 点的选取,
特别地,如果取,则由此有工程上的几个近似公式 (类似于时的等价无穷小 ),
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例 1 求 的近似值,
解,
取则例 2 求 的近似值,
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