第七节 曲线的凹凸性与拐点
一,曲线的凹凸性与拐点
定义 设 在区间 上连续,,有则称 在区间 上的图形是 (上 )凸 (凹 )的,或简称凸弧 (或凹弧 ),
我们可用二阶导数的符号来判断曲线的凹凸性,
)(xf Ixx 21,I
，2 )()()2( 2121 xfxfxxf )2 )()()2(( 2121 xfxfxxf或
)(xf I
)( xfy?
定理 设 在 上连续,在 内可导,则
(1)如果 有,则曲线在 上是凹的 ;
(2) 如果 有,则曲线在 上是凸的
],[ ba ),( ba)(xf
),( bax )( xfy?
],[ ba
),( bax )( xfy?
0)( xf
0)( xf
],[ ba
证明,将 在 处展开,有在 与 之间,所以在 与 之间,
在 与 之间,两式相加,得
2
21
1
21
2121
1 )(8
)())(
2(2
1)
2()( xx
fxxxxfxxfxf
1? 1x
2
21 xx?
2
2121221212 )(8
)())(
2(2
1)
2()( xx
fxxxxfxxfxf
2? 2x
2
21 xx?
.))](()([81)2(2)()( 221212121 xxffxxfxfxf
2
21 xxx)(xf
.)2(2 )()2)(2()2()( 221212121 xxxfxxxxxfxxfxf
x 2 21 xx?
(1)如果,则,所以即曲线 在 上是凹的,
(2)如果,则即曲线 在 上是凸的,
0)( xf 0)()( 21 ff
,2 )()()2( 2121 xfxfxxf
)( xfy? ],[ ba
0)( xf,2 )()()2( 2121 xfxfxxf
)( xfy? ],[ ba
例 1 判断曲线 的凹凸性,
解,的定义域为当 时,,曲线是凸的 ;当 时,
,曲线是凹的,所以曲线 在 上是凸的,在 上是凹的,其中,即点为曲线 的凸弧与凹弧的分界点,称为曲线的拐点,
3xy?
3xy? ).,(
.6,3 2 xyxy
0?x 0y 0?x
0y 3xy? ]0,(
),0[ 0,0 yx )0,0(
3xy?
二,曲线凹凸区间及拐点的求法连续曲线 的凹弧与凸弧的分界点,
称为该曲线的拐点,
按以下步骤求曲线 的拐点,
(1)求 的定义域 (如给定 的范围,此步省略 );
(2)求,并求出 的点及 不存在的点 ;
(3)将 (2)中的点插入 (1)中得一些小区间,列表讨论 在这些小区间上 的符号,从而确定的凹凸区间及拐点,
)( xfy?
)( xfy?
)(xf x
)(),( xfxf 0)( xf )(xf
)(xf )(xf )(xf
例 2 求曲线 的凹凸区间及拐点,
解 (1) 的定义域为
(2)
令
143 34 xxy
143 34 xxy ).,(
)32(362436,1212 223 xxxxyxxy
.32,0,0 21 xxy
(3)列表讨论,
所以曲线的凹区间为,凸区间为拐点为
y?
x
y
)0,(
)1,0(
拐点
0
0
)32,0(
3
2
)2711,32(
拐点
0
),32(
),32[]0,(
).2711,32(),1,0(),32,0(
例 3 求曲线 的凹凸区间及拐点,
解,定义域为令,无解,但 时 不存在,
列表讨论,
所以曲线在 上凹,在 上凸,且拐点为
3
1
)1(1 xy
),,(,)1(
9
2,)1(
3
1 3532 xyxy
0y 1?x y?
x
y?
y
)1,(
1
不存在
)1,0(
拐点
),1(
).1,0(]1,( ),1[
三,曲线凹凸性的应用 —— 珍珠米不等式例 4 证明不等式分析,
令,则证明即 在 上是凹的,
),0,0(,2ln)(lnln yxyxyxyxyyxx
.2ln22 lnln2ln)(lnln yxyxyyxxyxyxyyxx
xxxf ln)(? ).2(2 )()( yxfyfxf
),0(xxxf ln)(?
例 4
证明,令,显然 在 内连续可导,
且所以 在 内是凹的,从而,
有即所以注意 在证明某函数两点的函数值之和与两点的中点的函数值之间的关系时,经常用函数的凹凸性加以证明,
tttf ln)(? )(tf ),0(
),,0(,01)(,1ln)( tttfttf
),0(, yx)(tf ),0(
),2(2 )()( yxfyfxf
.2ln22 lnln yxyxyyxx
.2ln)(lnln yxyxyyxx
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一,曲线的凹凸性与拐点
定义 设 在区间 上连续,,有则称 在区间 上的图形是 (上 )凸 (凹 )的,或简称凸弧 (或凹弧 ),
我们可用二阶导数的符号来判断曲线的凹凸性,
)(xf Ixx 21,I
，2 )()()2( 2121 xfxfxxf )2 )()()2(( 2121 xfxfxxf或
)(xf I
)( xfy?
定理 设 在 上连续,在 内可导,则
(1)如果 有,则曲线在 上是凹的 ;
(2) 如果 有,则曲线在 上是凸的
],[ ba ),( ba)(xf
),( bax )( xfy?
],[ ba
),( bax )( xfy?
0)( xf
0)( xf
],[ ba
证明,将 在 处展开,有在 与 之间,所以在 与 之间,
在 与 之间,两式相加,得
2
21
1
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2121
1 )(8
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(1)如果,则,所以即曲线 在 上是凹的,
(2)如果,则即曲线 在 上是凸的,
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)( xfy? ],[ ba
0)( xf,2 )()()2( 2121 xfxfxxf
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例 1 判断曲线 的凹凸性,
解,的定义域为当 时,,曲线是凸的 ;当 时,
,曲线是凹的,所以曲线 在 上是凸的,在 上是凹的,其中,即点为曲线 的凸弧与凹弧的分界点,称为曲线的拐点,
3xy?
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.6,3 2 xyxy
0?x 0y 0?x
0y 3xy? ]0,(
),0[ 0,0 yx )0,0(
3xy?
二,曲线凹凸区间及拐点的求法连续曲线 的凹弧与凸弧的分界点,
称为该曲线的拐点,
按以下步骤求曲线 的拐点,
(1)求 的定义域 (如给定 的范围,此步省略 );
(2)求,并求出 的点及 不存在的点 ;
(3)将 (2)中的点插入 (1)中得一些小区间,列表讨论 在这些小区间上 的符号,从而确定的凹凸区间及拐点,
)( xfy?
)( xfy?
)(xf x
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例 2 求曲线 的凹凸区间及拐点,
解 (1) 的定义域为
(2)
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143 34 xxy ).,(
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.32,0,0 21 xxy
(3)列表讨论,
所以曲线的凹区间为,凸区间为拐点为
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例 3 求曲线 的凹凸区间及拐点,
解,定义域为令,无解,但 时 不存在,
列表讨论,
所以曲线在 上凹,在 上凸,且拐点为
3
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三,曲线凹凸性的应用 —— 珍珠米不等式例 4 证明不等式分析,
令,则证明即 在 上是凹的,
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.2ln22 lnln2ln)(lnln yxyxyyxxyxyxyyxx
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例 4
证明,令,显然 在 内连续可导,
且所以 在 内是凹的,从而,
有即所以注意 在证明某函数两点的函数值之和与两点的中点的函数值之间的关系时,经常用函数的凹凸性加以证明,
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