第三章 中值定理与导数的应用第一节 中值定理第二节 罗必塔法则第三节 Taylor公式第四节 函数单调性的判定法第五节 函数的极值及其求法第六节 最值问题第七节 曲线的凹凸性与拐点第八节 函数的作图第九节 曲率第一节 中值定理
一,Rolle定理
Rolle定理 如果
(1) 在 上连续 ;
(2) 在 内可导 ;
(3)
则
)(xf ],[ ba
)(xf ),( ba
).()( bfaf?
.0)(..),,( ftsba
证明,因为 在 上连续,则 在上必取得最大值 和最小值
(1),此时 所以从而可取 内的任一点作为 有
(2),不妨设,则必存在往证由 的存在,可得存在,
)(xf ],[ ba )(xf ],[ ba
M,m
mM? ],,[,)( baxmxf
),,(,0)( baxxf ),( ba
,?,0)(f
mM? maf?)(
.)(..),,( mftsba,0)(f
)(?f?,)()(l i m
0 x
fxf
x?
对于和显然当 时,,从而即 ……………… （ 1）
当 时,,从而即 ……………… （ 2）
由 (1)与 (2)得 即注意 Rolle定理主要应用在证明 的导函数 有零点,
x
fxff
x?
)()(lim)(
0
.)()(l i m)( 0 x fxff x
.0)()( fxf
0x 0)()(?
x
fxf,0)(f
.0)(f
0x 0)()(?
x
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.0)(f
,0)(0f,0)(f
)(xf
)(xf?
)(xf?
例 1 设 在 上连续,在 内可导,
且 证明在 内至少有一点分析,
即要证明 的导函数在内有根,
)(),( xgxf ],[ ba
).()()()( agbgafbf
),( ba
).()(.., gfts
),( ba
)()(, gf 0|)]()([xxgxf
.0|])()([xxgxf
)()()( xgxfxF ),( ba
证明,令,显然 在上连续,在 内可导,且从而 在 上满足 Rolle定理的条件,故存在,即所以,
)()()( xgxfxF )(xF ],[ ba
),( ba
).()()()()()( bgbfbFagafaF
)()()()(( agbgafbf
) ),()()()( agbgafbf
)(xF ],[ ba
0)(...),,( Ftsba,0)()( gf
).()( gf
例 2 设 证明函数在 内必有一根,
证明 令显然 在 上满足 Rolle定理的条件,
且由 Rolle定理得,,
使得 和所以在 内必有一根,
,021 011 aanan a nn?
0111)( axaxaxaxf nnnn)1,0(
,21)( 02111 xaxaxnaxn axF nnnn
)(xF )1,0(
.)()( 0111 axaxaxaxfxF nnnn
)1,0(
0)(F,0)(f
0111)( axaxaxaxf nnnn
)1,0(
例 3 设 在 上连续,在 内可导,
且,证明方程 在内恰有一根,
证明 (1)先证 在 内有一根,
令,则 在 上连续,且由零点定理,,即在 内有一根,
)(xf ]4,0[? )4,0(?
1)(,1)(0 xfxf xxf t a n)(? )4,0(?
xxf t a n)(? )4,0(?
xxfxF t a n)()( )(xF ]4,0[?
.01)4()4(,0)0()0( fFfF
0)(..),4,0( Fts xxf t a n)(?
)4,0(?
(2)往证 在 内只有一根,
反证法,设 在 内有两个根,则 在 上满足 Rolle定理的条件,所以,使得但 故假设不成立,
由 (1)与 (2)知,在 内恰有一根,
xxf t a n)(? )4,0(?
xxfxF t a n)()( )4,0(?
21 xx? ],[ 21 xx)(xF
)4,0(
,0s e c)()( 2 fF
),4,0(,0s e c)()( 2 xxxfxF
xxf t a n)(? )
4,0(
二,Langrage中值定理 (也称有限增量定理或微分中值定理 )
Langrage中值定理 如果函数
(1)在 上连续 ;
(2)在 内可导 ;
则 ……(*)
)(xf
],[ ba
),( ba
).)(()()(..),,( abfafbftsba
注意 (1)当 时,公式 (*)仍成立,公式 (*)称为
Langrage中值公式,
(2)公式 (*)的等价形式,令则 在 与 之间,
从而,
所以 (**)
或 (***)
即由 Langrage中值公式,可得函数增量的精确表达式,从而该定理又称为有限增量定理,有时也称为微分中值定理,
ab?
,,xxbxa
,)()()( xfxfxxf x xx
10, xx
,)()()( xxxfxfxxf)10(
xxxfy )(?
推论 如果 在区间 上的导数恒为零,则在区间 上是一个常数,
证明,不妨设,显然 在 上满足 Langrage中值定理的条件,故存在使得又所以 即由 的任意性知,
注意 此处的区间 可以是任何类型的区间,
)(xf
)(xf
I
I
Ixx 21,21 xx? ],[ 21 xx)(xf
),,( 21 xx
),)(()()( 1212 xxfxfxf),( 21 xx
,0)(f
,0)()( 12 xfxf ).()( 12 xfxf?
21,xx,,)( Ixcxf
I
例 4 证明当 时,
证明 (分析令,则 在区间 上满足
Langrage中值定理的条件,故存在,
使得即又所以
0?x,)1l n (
1 xxx
x
)).01l n ()1l n (1l n ( xx
)1l n ()( ttf )(tf ],0[ x
),0( x
),0)(()0()( xffxf?
,1)1ln ( xx )0( x
,11 11 1x
.)1l n (1 xxxx
注意从例 4的证明可以看出用 Langrage中值定理证明不等式的基本思路是,
(1)构造辅助函数,这可以从待证不等式分析出辅助函数的构造 ;
(2)由 Langrage中值定理在 与 之间估计,从而得待证不等式,
),)(()()( abfafbf a b
)(?f?
例 5 设 在 内可导,且 与存在,证明证明,在 上满足 Langrage中值定理的条件,
故有所以
),(a)(xf )(lim xf
x )(lim xfx
.0)(l i m xfx
]1,[?xx)(xf
),()()1(?fxfxf 1 xx?
)]()1([lim)(lim)(lim xfxffxf xx
.0)(lim)1(lim xfxf xx
三,Cauchy中值定理
Cauchy中值定理如果函数 与 在 内连续,在内可导,且 在 内不为零,则存在使得
)(xg)(xf ],[ ba ),( ba
)(xg? ),( ba ),,( ba
.)( )()()( )()(gfagbg afbf
例 6 设 与 是可导函数,且当 时,
证明当 时,有证明 (分析,由 知显然 与 满足 Cauchy中值定理的条件,所以存在,
有即
ax?)(xf )(xg
),()( xgxf ax? ).()()()( agxgafxf
)()( xgxf
).),)(()()(0)( axaxgagxgxg
)(xf )(xg
),( xa
,)( )()()( )()(gfagxg afxf ),( xa
.)()()( )()()( agxggfafxf
又 所以,
且,
故注意 从例 6可以看出,在证明关于两个函数之间的不等式或关系时,往往用 Cauchy中值定理,
)()( xgxf 1)( )(gf
))(()()( axgagxg
).()()()( agxgafxf
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一,Rolle定理
Rolle定理 如果
(1) 在 上连续 ;
(2) 在 内可导 ;
(3)
则
)(xf ],[ ba
)(xf ),( ba
).()( bfaf?
.0)(..),,( ftsba
证明,因为 在 上连续,则 在上必取得最大值 和最小值
(1),此时 所以从而可取 内的任一点作为 有
(2),不妨设,则必存在往证由 的存在,可得存在,
)(xf ],[ ba )(xf ],[ ba
M,m
mM? ],,[,)( baxmxf
),,(,0)( baxxf ),( ba
,?,0)(f
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)(?f?,)()(l i m
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对于和显然当 时,,从而即 ……………… （ 1）
当 时,,从而即 ……………… （ 2）
由 (1)与 (2)得 即注意 Rolle定理主要应用在证明 的导函数 有零点,
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例 1 设 在 上连续,在 内可导,
且 证明在 内至少有一点分析,
即要证明 的导函数在内有根,
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证明,令,显然 在上连续,在 内可导,且从而 在 上满足 Rolle定理的条件,故存在,即所以,
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例 2 设 证明函数在 内必有一根,
证明 令显然 在 上满足 Rolle定理的条件,
且由 Rolle定理得,,
使得 和所以在 内必有一根,
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0111)( axaxaxaxf nnnn
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例 3 设 在 上连续,在 内可导,
且,证明方程 在内恰有一根,
证明 (1)先证 在 内有一根,
令,则 在 上连续,且由零点定理,,即在 内有一根,
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(2)往证 在 内只有一根,
反证法,设 在 内有两个根,则 在 上满足 Rolle定理的条件,所以,使得但 故假设不成立,
由 (1)与 (2)知,在 内恰有一根,
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,0s e c)()( 2 fF
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二,Langrage中值定理 (也称有限增量定理或微分中值定理 )
Langrage中值定理 如果函数
(1)在 上连续 ;
(2)在 内可导 ;
则 ……(*)
)(xf
],[ ba
),( ba
).)(()()(..),,( abfafbftsba
注意 (1)当 时,公式 (*)仍成立,公式 (*)称为
Langrage中值公式,
(2)公式 (*)的等价形式,令则 在 与 之间,
从而,
所以 (**)
或 (***)
即由 Langrage中值公式,可得函数增量的精确表达式,从而该定理又称为有限增量定理,有时也称为微分中值定理,
ab?
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,)()()( xfxfxxf x xx
10, xx
,)()()( xxxfxfxxf)10(
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推论 如果 在区间 上的导数恒为零,则在区间 上是一个常数,
证明,不妨设,显然 在 上满足 Langrage中值定理的条件,故存在使得又所以 即由 的任意性知,
注意 此处的区间 可以是任何类型的区间,
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例 4 证明当 时,
证明 (分析令,则 在区间 上满足
Langrage中值定理的条件,故存在,
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注意从例 4的证明可以看出用 Langrage中值定理证明不等式的基本思路是,
(1)构造辅助函数,这可以从待证不等式分析出辅助函数的构造 ;
(2)由 Langrage中值定理在 与 之间估计,从而得待证不等式,
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例 5 设 在 内可导,且 与存在,证明证明,在 上满足 Langrage中值定理的条件,
故有所以
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]1,[?xx)(xf
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三,Cauchy中值定理
Cauchy中值定理如果函数 与 在 内连续,在内可导,且 在 内不为零,则存在使得
)(xg)(xf ],[ ba ),( ba
)(xg? ),( ba ),,( ba
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例 6 设 与 是可导函数,且当 时,
证明当 时,有证明 (分析,由 知显然 与 满足 Cauchy中值定理的条件,所以存在,
有即
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又 所以,
且,
故注意 从例 6可以看出,在证明关于两个函数之间的不等式或关系时,往往用 Cauchy中值定理,
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本节的学习到此结束
