第五节 函数的极值
一,极值的概念定义 设 在 内有定义,.
如果存在 有则称 为 的一个极小值 (或极大值 ),
函数的极大值与极小值统称为函数的极值,使函数取得极值的点称为函数的极值点,
)(xf ),( ba ),(0 bax?
),(),( 0000 xUxxU
))()()(()( 00 xfxfxfxf 或
)( 0xf )(xf
注意
(1)函数的极值是局部性的概念,而不是整体性的概念,即要区别函数的极值与最值,
极大值不一定是最大值 ;极小值也不一定是最小值,
(2)函数的极值点是区间的内点 (即在区间的内部 ),从而区间的端点必不是极值点,
二,函数取得极值的必要条件
定理 设 在 处可导,且 在处取到极值,
则必有证明 不妨设 是 的极小值,由导数的定义,
有当 时,所以故同理可得所以
)(xf 0x
.0)( 0 xf
0x
)( 0xf )(xf
.)()(lim)(
0
0
0
0 xx
xfxfxf
xx?
0xx? ),()( 0xfxf?,0
)()(
0
0?
xx
xfxf
.0)()(l i m)()(
0
0
000 0
xx
xfxfxfxf
xx
.0)()(l i m)()(
0
0
000 0
xx
xfxfxfxf
xx
.0)( 0 xf
注意
(1)使 的点称为 的驻点,
(2)由极值的必要条件知,函数的极值点必包含在驻点和不可导点内,即函数的可能极值点为,1.驻点 ;2.不可导点,但函数的驻点和不可导点不一定是函数的极值点,
下面介绍怎样判别函数的可能极值点为函数的极值点,
0)( 0 xf )(xf
三,函数极值点的判别准则定理 (第一充分条件 )设 在 内连续,
在 内可导,且 是 的驻点或不可点,
⑴ 如果 时,;当 时,
,则 在 处取得极大值
⑵ 如果 时,;当 时,
,则 在 处取得极小值
⑶ 如果当 时,恒为正 (或负 ),则在 处无极值,
)(xf )( 0xU
)( 00 xU 0x )(xf
),( 00 xxx 0)( xf ),( 00 xxx
0)( xf )(xf 0x ).( 0xf
),( 00 xxx 0)( xf ),( 00 xxx
0)( xf )(xf 0x ).( 0xf
)( 00 xUx? )(xf? )(xf
0x
注意 (1) 第一充分条件实质上是用函数的单调性判断函数的极值,
(2)由函数极值的第一充分条件,可得判断函数极值的基本步骤,
1.求 的定义域 (如果给定的范围,此步省略 );
2.求
3.求 的驻点和不可导点 ;
4.将 3.中的点插入 1.,分成一些小区间,列表讨论 在每个小区间上 的符号,从而确定函数的极值点及极值 (是极大值还是极小值 ),
)(xf
);(xf?
)(xf
)(xf? )(xf?
例 1 求 的极值,
解,⑴ 函数的定义域为,
⑵
⑶ 令 得驻点,;无不可导点,
593)( 23 xxxxf
).,(
),3)(1(3963)( 2 xxxxxf
0)( xf 3,1 21 xx
⑷列表讨论,
由表可知,
在 处有极大值 ;在处有极小值
x
y?
y
)1,(
1?
0?
3
0?
10)1(f极大值
)3,1(?
22)3(f
极小值
),3(
1x)(xf 10)1(f 3?x
.22)3(f
例 2 求 的极值,
解 函数的定义域为无驻点,不可导点为列表讨论,
有表可知,在 处有极大值
3
2
)2(1)( xxf
).,(
,23 2)( 3 xxf,2?x
x
y?
y
)2,(
2
1)2(?f
极大值不存在
),2(
2?x)(xf,1)2(?f
下面用二阶导数判断 在驻点处是否有极大值或极小值,
定理 (第二充分条件 )设 在 处有二阶导数,且 为驻点,则
⑴当 时,在 处有极大值 ;
⑵ 当 时,在 处有极小值 ;
⑶ 当 时,不能判断,改用第一充分条件,
)(xf
)(xf 0x
0x
0)( 0 xf )( 0xf)(xf 0x
0)( 0 xf )(xf 0x )( 0xf
0)( 0 xf
注意
(1)第一充分条件与第二充分条件的应用范围,
第一处分条件可用来判断 1.驻点,2.不可导点,是否为极值点 ;
第二充分条件只能用来判断驻点是否为极大 (小 )值点,
(2)如果只判断某一驻点为极值点,一般用第二充分条件,
例 3 如在例 1中,是驻点,而因为 所以 为极大值点,在 处有极大值因为 所以在 处有极小值
3,1 21 xx
).1(666)( xxxf
,012)1(f 11x
)(xf,10)1(f11x
,012)3(f 3?x
.22)3(f
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一,极值的概念定义 设 在 内有定义,.
如果存在 有则称 为 的一个极小值 (或极大值 ),
函数的极大值与极小值统称为函数的极值,使函数取得极值的点称为函数的极值点,
)(xf ),( ba ),(0 bax?
),(),( 0000 xUxxU
))()()(()( 00 xfxfxfxf 或
)( 0xf )(xf
注意
(1)函数的极值是局部性的概念,而不是整体性的概念,即要区别函数的极值与最值,
极大值不一定是最大值 ;极小值也不一定是最小值,
(2)函数的极值点是区间的内点 (即在区间的内部 ),从而区间的端点必不是极值点,
二,函数取得极值的必要条件
定理 设 在 处可导,且 在处取到极值,
则必有证明 不妨设 是 的极小值,由导数的定义,
有当 时,所以故同理可得所以
)(xf 0x
.0)( 0 xf
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注意
(1)使 的点称为 的驻点,
(2)由极值的必要条件知,函数的极值点必包含在驻点和不可导点内,即函数的可能极值点为,1.驻点 ;2.不可导点,但函数的驻点和不可导点不一定是函数的极值点,
下面介绍怎样判别函数的可能极值点为函数的极值点,
0)( 0 xf )(xf
三,函数极值点的判别准则定理 (第一充分条件 )设 在 内连续,
在 内可导,且 是 的驻点或不可点,
⑴ 如果 时,;当 时,
,则 在 处取得极大值
⑵ 如果 时,;当 时,
,则 在 处取得极小值
⑶ 如果当 时,恒为正 (或负 ),则在 处无极值,
)(xf )( 0xU
)( 00 xU 0x )(xf
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0)( xf )(xf 0x ).( 0xf
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0)( xf )(xf 0x ).( 0xf
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0x
注意 (1) 第一充分条件实质上是用函数的单调性判断函数的极值,
(2)由函数极值的第一充分条件,可得判断函数极值的基本步骤,
1.求 的定义域 (如果给定的范围,此步省略 );
2.求
3.求 的驻点和不可导点 ;
4.将 3.中的点插入 1.,分成一些小区间,列表讨论 在每个小区间上 的符号,从而确定函数的极值点及极值 (是极大值还是极小值 ),
)(xf
);(xf?
)(xf
)(xf? )(xf?
例 1 求 的极值,
解,⑴ 函数的定义域为,
⑵
⑶ 令 得驻点,;无不可导点,
593)( 23 xxxxf
).,(
),3)(1(3963)( 2 xxxxxf
0)( xf 3,1 21 xx
⑷列表讨论,
由表可知,
在 处有极大值 ;在处有极小值
x
y?
y
)1,(
1?
0?
3
0?
10)1(f极大值
)3,1(?
22)3(f
极小值
),3(
1x)(xf 10)1(f 3?x
.22)3(f
例 2 求 的极值,
解 函数的定义域为无驻点,不可导点为列表讨论,
有表可知,在 处有极大值
3
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).,(
,23 2)( 3 xxf,2?x
x
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)2,(
2
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极大值不存在
),2(
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下面用二阶导数判断 在驻点处是否有极大值或极小值,
定理 (第二充分条件 )设 在 处有二阶导数,且 为驻点,则
⑴当 时,在 处有极大值 ;
⑵ 当 时,在 处有极小值 ;
⑶ 当 时,不能判断,改用第一充分条件,
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)(xf 0x
0x
0)( 0 xf )( 0xf)(xf 0x
0)( 0 xf )(xf 0x )( 0xf
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注意
(1)第一充分条件与第二充分条件的应用范围,
第一处分条件可用来判断 1.驻点,2.不可导点,是否为极值点 ;
第二充分条件只能用来判断驻点是否为极大 (小 )值点,
(2)如果只判断某一驻点为极值点,一般用第二充分条件,
例 3 如在例 1中,是驻点,而因为 所以 为极大值点,在 处有极大值因为 所以在 处有极小值
3,1 21 xx
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,012)1(f 11x
)(xf,10)1(f11x
,012)3(f 3?x
.22)3(f
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