第四章 不定积分一．学习重点要掌握不定积分的概念以及基本积分公式，要注意不定积分是一族函数。
要熟练掌握不定积分的换元法和分部积分法。
二．知识结构
三．内容提要原函数与不定积分的定义
1.原函数的定义：若对于区间I上任意一点x均有,则称函数是函数在区间I上的一个原函数。
2.不定积分的定义：在区间I上，函数的全体原函数称为在区间I上的不定积分，记作。其中称为被积函数，称为被积表达式，x称为积分变量。
若是在区间I 上的一个原函数，则，c称为积分常数。
定积分的性质
1． 或 ；
2． 或 ；
3．（为常数，）；
4．（有限多个函数仍适用）；
5．积分形式不变性：若，则
其中可导，即积分变量u 不论是自变量还是中间变量，积分公式总是成立的。
基本积分公式
1． （k为常数）； 13．；
2.； 14．；
3．； 15．；
4．； 16．；
5．； 17．；
6．； 18．；
7．； 19．；
8．； 20．；
9．； 21．；
10．； 22．；
11．； 23．；
12．； 24．；
（四）积分法
1.直接积分法：直接或将被积函数恒等变形后利用基本积分公式和不定积分的性质求不定积分。
2.换元积分法：
第一类换元法（凑微分法）：
设具有原函数可导，那么是的原函数，即有换元公式：
第二类换元法（变量置换法）：
设是单调的，可导的函数，并且，又设具有原函数，则是的原函数（其中是的反函数），即有换元公式：
=
=
=
注意：求出后，必须用的反函数代回去，故要求存在且是单值可导的，为此，在t的某一区间（该区间与x的积分区间相对应）上应该是单调的，可导的函数，且
3.分部积分法设函数及具有连续导数,则有分部积分公式：。
4.特殊类型函数的不定积分
（1）有理函数的积分：，其中与为多项式；
（2）三角函数有理式的积分：；
（3）简单无理函数的积分。
以上见例题。
四．典型例题
例1 求下列不定积分:
(1) (2)
解,(1) (2)
= =
= =
=+C =
=
总结：利用第一类换元法（凑微分法）求不定积分，必须牢记基本积分公式类型，这样就不会被复杂的式子所迷惑，同时为提高凑微分技巧，应熟悉常见的微分公式。
例2． （a为常数）
解：当时，原式 = ；
当时，原式 =
注意：对于含有参数的积分，当参数取不同值时，可能需采取不同的积分方法。
例3．求下列不定积分
（1） （2）
解：（1） = （*）
令,则
故：（*）=
=
=
=
（2）令 ,则，于是
=
=
=
=
=
总结：第二类换元法常用代换有：根式代换、三角代换、倒代换。其中三角代换可使被积函数消去根号而有理化，尤为多用，使用第二类换元法求出原函数后一定要将变量回代。
常用第二类换元法积分类型：
（i） 令
（ii） 令
（iii） 令
（iv） 令
（v）倒代换 令 ，消去被积函数分母中的因子。
例4．求不定积分
解： =
=
=
=
例5．求 （，整数）的递推公式。
解：
=
=
=
所以
其中
例6．求不定积分
分析：计算有理函数的积分可分为两步进行。第一步：用待定系数法或赋值法，将有理公式化为简单公式之和；第二步：对各简单公式分别积分。其中把被积函数变成部分公式是关键。此题先将分母分解因式再把被积函数化部分公式。
解：因为
通分比较系数得：
所以, =
=
例7．求
分析：三角有理函数的积分，一般都可以通过“万能代换”化为有理函数的积分计算。
解：（方法一）令，则,
于是 =
=
=
=
=
=
（方法二） =
=
=
=
=
总结：
（1）三角有理函数的积分,一般利用将其转化为有理函数积分，但计算者比较麻烦；
（2）做题时要注意分析被积函数的特点，通常是采用变量代换和三角公式简化积分。
例8．求下列函数的不定积分
（1） （2）
解：（1）令 ，则,,
于是 =
=
=
=
=
（2）令,则 ,,
于是 =
=
=
=
=
总结：
（1）无理函数的积分，基本方法是通过适当的变量代换，将无理函数有理化，从而化成有理函数的积分。
（2）根据不同的问题，要善于选择简便积分法。
（3）对形如：的积分，一般采用代换 来简化计算。
例9．已知的一个原函数是，求
解：因为 的一个原函数是
所以
故
例10．已知，，求
解：由于
所以
于是
五．同步测试
1．
2．
3．
4．
5．设 求
6．
7．
六．同步测试参考答案
1．
解：
或 令
2．
解：
3．
解
4．
解：
=
=
=
=
5．解：令，则，,于是
=
=
=
=
=
6．
解：令
所以
=2
=2-2
=2-2
=2+
=2+2
=2
7,
解：=
=
=
要熟练掌握不定积分的换元法和分部积分法。
二．知识结构
三．内容提要原函数与不定积分的定义
1.原函数的定义：若对于区间I上任意一点x均有,则称函数是函数在区间I上的一个原函数。
2.不定积分的定义：在区间I上，函数的全体原函数称为在区间I上的不定积分，记作。其中称为被积函数，称为被积表达式，x称为积分变量。
若是在区间I 上的一个原函数，则，c称为积分常数。
定积分的性质
1． 或 ；
2． 或 ；
3．（为常数，）；
4．（有限多个函数仍适用）；
5．积分形式不变性：若，则
其中可导，即积分变量u 不论是自变量还是中间变量，积分公式总是成立的。
基本积分公式
1． （k为常数）； 13．；
2.； 14．；
3．； 15．；
4．； 16．；
5．； 17．；
6．； 18．；
7．； 19．；
8．； 20．；
9．； 21．；
10．； 22．；
11．； 23．；
12．； 24．；
（四）积分法
1.直接积分法：直接或将被积函数恒等变形后利用基本积分公式和不定积分的性质求不定积分。
2.换元积分法：
第一类换元法（凑微分法）：
设具有原函数可导，那么是的原函数，即有换元公式：
第二类换元法（变量置换法）：
设是单调的，可导的函数，并且，又设具有原函数，则是的原函数（其中是的反函数），即有换元公式：
=
=
=
注意：求出后，必须用的反函数代回去，故要求存在且是单值可导的，为此，在t的某一区间（该区间与x的积分区间相对应）上应该是单调的，可导的函数，且
3.分部积分法设函数及具有连续导数,则有分部积分公式：。
4.特殊类型函数的不定积分
（1）有理函数的积分：，其中与为多项式；
（2）三角函数有理式的积分：；
（3）简单无理函数的积分。
以上见例题。
四．典型例题
例1 求下列不定积分:
(1) (2)
解,(1) (2)
= =
= =
=+C =
=
总结：利用第一类换元法（凑微分法）求不定积分，必须牢记基本积分公式类型，这样就不会被复杂的式子所迷惑，同时为提高凑微分技巧，应熟悉常见的微分公式。
例2． （a为常数）
解：当时，原式 = ；
当时，原式 =
注意：对于含有参数的积分，当参数取不同值时，可能需采取不同的积分方法。
例3．求下列不定积分
（1） （2）
解：（1） = （*）
令,则
故：（*）=
=
=
=
（2）令 ,则，于是
=
=
=
=
=
总结：第二类换元法常用代换有：根式代换、三角代换、倒代换。其中三角代换可使被积函数消去根号而有理化，尤为多用，使用第二类换元法求出原函数后一定要将变量回代。
常用第二类换元法积分类型：
（i） 令
（ii） 令
（iii） 令
（iv） 令
（v）倒代换 令 ，消去被积函数分母中的因子。
例4．求不定积分
解： =
=
=
=
例5．求 （，整数）的递推公式。
解：
=
=
=
所以
其中
例6．求不定积分
分析：计算有理函数的积分可分为两步进行。第一步：用待定系数法或赋值法，将有理公式化为简单公式之和；第二步：对各简单公式分别积分。其中把被积函数变成部分公式是关键。此题先将分母分解因式再把被积函数化部分公式。
解：因为
通分比较系数得：
所以, =
=
例7．求
分析：三角有理函数的积分，一般都可以通过“万能代换”化为有理函数的积分计算。
解：（方法一）令，则,
于是 =
=
=
=
=
=
（方法二） =
=
=
=
=
总结：
（1）三角有理函数的积分,一般利用将其转化为有理函数积分，但计算者比较麻烦；
（2）做题时要注意分析被积函数的特点，通常是采用变量代换和三角公式简化积分。
例8．求下列函数的不定积分
（1） （2）
解：（1）令 ，则,,
于是 =
=
=
=
=
（2）令,则 ,,
于是 =
=
=
=
=
总结：
（1）无理函数的积分，基本方法是通过适当的变量代换，将无理函数有理化，从而化成有理函数的积分。
（2）根据不同的问题，要善于选择简便积分法。
（3）对形如：的积分，一般采用代换 来简化计算。
例9．已知的一个原函数是，求
解：因为 的一个原函数是
所以
故
例10．已知，，求
解：由于
所以
于是
五．同步测试
1．
2．
3．
4．
5．设 求
6．
7．
六．同步测试参考答案
1．
解：
或 令
2．
解：
3．
解
4．
解：
=
=
=
=
5．解：令，则，,于是
=
=
=
=
=
6．
解：令
所以
=2
=2-2
=2-2
=2+
=2+2
=2
7,
解：=
=
=
