第三章 微分中值定理与导数应用一．内容提要一.罗尔定理若函数满足：
（1）在上连续
（2）在内可导
（3）
则一定存在使得
几何意义：若曲线段的弦是水平的，则在中至少有一点，使得过的切线是水平的。
二.拉格朗日中值定理若函数满足：
（1）在上连续
（2）在内可导
（3）
则一定存在使得
几何意义：曲线段上总存在一点使得过该点的切线与连接曲线段的弦相互平行。
推论1：若函数在区间上的导数恒为0，则是常数。
推论2：若函数和在区间I上导数相等，则。
三.柯西中值定理若函数满足:
（1）在上连续
（2）在内可导
（3）
则至少有一点使得
四.洛必达法则
1.条件型（或型）
（1）（或）；
（2）和在的内存在且；
（3）
2.其他形式的未定型可以转化为型或型进行计算
或
或
或
或
五.泰勒公式设在含的某开区间内具有阶导数，则当在内时有：
时称为麦克劳林公式。
六.函数单调性判别法
1.设在上连续，在内可导，如果在内
单调增加的
单调减小的
2.利用函数的单调性可以证明一些不等式七.函数极值及其判别法，函数的最值
1.设在有定义若有称是局部极大值。
若有称是局部极大值。
2.极值判别法必要条件：若在处取极值，可导，则有，称为函数的驻点或平稳点。
充分条件第一充分条件：在的某去心邻域内连续，且可导，且或不可导（在点）。
（1），取得极大值。
（2），取得极小值。
（3）和时不变号，在不是极值。
第一充分条件：在有二阶导数，，
当时有极小值；
当时有极大值；
注：对隐函数，经常用第二充分条件来判别其极值。
3.函数最值求法：比较区间段点函数值，驻点函数值，不可导点函数值得最值。
八.曲线的凹凸、拐点的判别法
1.设在内有二阶导数，若在内,则曲线是凹的，若在 内,则曲线是凹的。
2.设函数在的某邻域内具有二阶导数，且，当在左右两侧变号时（是不存在点也适合），点称为曲线的拐点。
九.函数作图
1.渐近线的求法
（1）铅直渐近线： 为铅直渐近线
（2）水平渐近线： 为水平渐近线
（3）斜渐近线：
为斜渐近线
2.函数作图步骤
(1) 确定函数定义域，奇偶性，周期性，间断点；
(2) 求出一阶导数，二阶导数，求出驻点，拐点，不可导点，用这些点及间断点将定义域分割成若干小区间；
(3) 确定各小区间的，符号，明确单调性，凹凸性，极值点，拐点；
(4) 求出渐近线；
(5) 适当补点，作图；
十．弧微分，曲率
1．弧微分：若曲线方程为，弧微分为
2．曲率： 曲率半径：
疑难解析如何运用上述中值定理解题上述三个中值定理和连续函数的零点定理用于解题时，如下技巧可参考如果题未给出具体的形式。
如果仅有连续条件，用闭区间上连续函数的性质，零点定理。一般用不上中值定理。
如果给出可导条件，则中值定理一定会用上，给出二次可导时往往会用上二次中值定理。
仔细分析结论，作出辅助函数，做辅助函数时常考虑下述情况：
当有两点出现时，会用柯西中值定理和拉格朗日中值定理。
如果给出函数的具体形式时，一般应分析结论，经常以不等式的形式出现在结论里，此时应巧用中值定理，及后面讲的函数单调性，最小值，凹凸性，及函数的保号性等。
三．典型例题例1．已知函数对一切x满足，若（），则（ ）
（A）是的极大值
（B）是的极小值
（C）是曲线的拐点
（D）不是的极值点，也不是曲线的拐点解： 所以 即
当时
当时
在点处取得极小值
例2．设函数是大于零的可导函数，且，则当时有（ ）
（A） （B）
（C） （C）
解：令
单调减少
有
例3．函数在上连续，在可导，且 求证：
(1) 存在,使；
(2) 对任意，必存在使
证明：
（1）作辅助函数，则在上连续
又
由零点定理得：存在 使得
（2）令，显然在上连续，在可导，
且
由罗尔定理，存在使得
例4．设在上连续，在可导，且不恒为常数，求证：
在内存在一点使
证明：因且不恒为常数故在内存在一点c，使或
由拉格朗日中值定理，在内存在一点，使
在内存在一点，使
由于和至少有一成立，于是和至少有一大于零
例5．设在上有二阶导数，且
求证：在内至少存在两点，使
证明：在上有二阶导数
在上连续由知：或
不妨设
由连续函数的保号性得：
当时，，取有
当时，，取有
于是由零点定理，在内至少有一点，使
考虑上由罗尔定理，存在有，存在有
考虑上由罗尔定理，至少存在一个，使
例6．设在上连续，在可导，且
求证：存在， 使得
证明：令，则和在满足柯西中值定理条件故存在使得
又在满足柯西中值定理条件故存在使得
又，所以有
例7．设在上可导，求证：在上至少有一点，
使
证明：令，由
由罗尔定理，至少存在使
即
例8．求证方程只有一个正根证明：令
因为
所以由零点定理，至少有一点，使
即方程至少有一个根若有两不同根，，使
在上由罗尔定理存在使得
又矛盾
在上有且只有一个正根。
例9．求证当时，
证明：令
时）
在上为一常数，
例10．求
解：原式=
例11．求
解：原式 =
=
=
=
=
例12．求
解：原式=
=
=
=
例13．设在内具有二阶连续导数且，求证
（1）对于内的任一点存在唯一的使成立；
（2）
证明：
（1），由拉格朗日中值定理得
连续且，所以在不变号，设
在内单调增加
唯一
（2）由泰勒公式得：,
所以
且
例14．求证,当时有
证明：令
在上凸，又
当时，即
例15．求函数的单调区间和极值，并求该函数图形的渐近线解： 令 得驻点
列表
0
+
0
—
0
+
在和单调增加，在单调减少极大值 极小值
渐近线
（1）在上连续
（2）在内可导
（3）
则一定存在使得
几何意义：若曲线段的弦是水平的，则在中至少有一点，使得过的切线是水平的。
二.拉格朗日中值定理若函数满足：
（1）在上连续
（2）在内可导
（3）
则一定存在使得
几何意义：曲线段上总存在一点使得过该点的切线与连接曲线段的弦相互平行。
推论1：若函数在区间上的导数恒为0，则是常数。
推论2：若函数和在区间I上导数相等，则。
三.柯西中值定理若函数满足:
（1）在上连续
（2）在内可导
（3）
则至少有一点使得
四.洛必达法则
1.条件型（或型）
（1）（或）；
（2）和在的内存在且；
（3）
2.其他形式的未定型可以转化为型或型进行计算
或
或
或
或
五.泰勒公式设在含的某开区间内具有阶导数，则当在内时有：
时称为麦克劳林公式。
六.函数单调性判别法
1.设在上连续，在内可导，如果在内
单调增加的
单调减小的
2.利用函数的单调性可以证明一些不等式七.函数极值及其判别法，函数的最值
1.设在有定义若有称是局部极大值。
若有称是局部极大值。
2.极值判别法必要条件：若在处取极值，可导，则有，称为函数的驻点或平稳点。
充分条件第一充分条件：在的某去心邻域内连续，且可导，且或不可导（在点）。
（1），取得极大值。
（2），取得极小值。
（3）和时不变号，在不是极值。
第一充分条件：在有二阶导数，，
当时有极小值；
当时有极大值；
注：对隐函数，经常用第二充分条件来判别其极值。
3.函数最值求法：比较区间段点函数值，驻点函数值，不可导点函数值得最值。
八.曲线的凹凸、拐点的判别法
1.设在内有二阶导数，若在内,则曲线是凹的，若在 内,则曲线是凹的。
2.设函数在的某邻域内具有二阶导数，且，当在左右两侧变号时（是不存在点也适合），点称为曲线的拐点。
九.函数作图
1.渐近线的求法
（1）铅直渐近线： 为铅直渐近线
（2）水平渐近线： 为水平渐近线
（3）斜渐近线：
为斜渐近线
2.函数作图步骤
(1) 确定函数定义域，奇偶性，周期性，间断点；
(2) 求出一阶导数，二阶导数，求出驻点，拐点，不可导点，用这些点及间断点将定义域分割成若干小区间；
(3) 确定各小区间的，符号，明确单调性，凹凸性，极值点，拐点；
(4) 求出渐近线；
(5) 适当补点，作图；
十．弧微分，曲率
1．弧微分：若曲线方程为，弧微分为
2．曲率： 曲率半径：
疑难解析如何运用上述中值定理解题上述三个中值定理和连续函数的零点定理用于解题时，如下技巧可参考如果题未给出具体的形式。
如果仅有连续条件，用闭区间上连续函数的性质，零点定理。一般用不上中值定理。
如果给出可导条件，则中值定理一定会用上，给出二次可导时往往会用上二次中值定理。
仔细分析结论，作出辅助函数，做辅助函数时常考虑下述情况：
当有两点出现时，会用柯西中值定理和拉格朗日中值定理。
如果给出函数的具体形式时，一般应分析结论，经常以不等式的形式出现在结论里，此时应巧用中值定理，及后面讲的函数单调性，最小值，凹凸性，及函数的保号性等。
三．典型例题例1．已知函数对一切x满足，若（），则（ ）
（A）是的极大值
（B）是的极小值
（C）是曲线的拐点
（D）不是的极值点，也不是曲线的拐点解： 所以 即
当时
当时
在点处取得极小值
例2．设函数是大于零的可导函数，且，则当时有（ ）
（A） （B）
（C） （C）
解：令
单调减少
有
例3．函数在上连续，在可导，且 求证：
(1) 存在,使；
(2) 对任意，必存在使
证明：
（1）作辅助函数，则在上连续
又
由零点定理得：存在 使得
（2）令，显然在上连续，在可导，
且
由罗尔定理，存在使得
例4．设在上连续，在可导，且不恒为常数，求证：
在内存在一点使
证明：因且不恒为常数故在内存在一点c，使或
由拉格朗日中值定理，在内存在一点，使
在内存在一点，使
由于和至少有一成立，于是和至少有一大于零
例5．设在上有二阶导数，且
求证：在内至少存在两点，使
证明：在上有二阶导数
在上连续由知：或
不妨设
由连续函数的保号性得：
当时，，取有
当时，，取有
于是由零点定理，在内至少有一点，使
考虑上由罗尔定理，存在有，存在有
考虑上由罗尔定理，至少存在一个，使
例6．设在上连续，在可导，且
求证：存在， 使得
证明：令，则和在满足柯西中值定理条件故存在使得
又在满足柯西中值定理条件故存在使得
又，所以有
例7．设在上可导，求证：在上至少有一点，
使
证明：令，由
由罗尔定理，至少存在使
即
例8．求证方程只有一个正根证明：令
因为
所以由零点定理，至少有一点，使
即方程至少有一个根若有两不同根，，使
在上由罗尔定理存在使得
又矛盾
在上有且只有一个正根。
例9．求证当时，
证明：令
时）
在上为一常数，
例10．求
解：原式=
例11．求
解：原式 =
=
=
=
=
例12．求
解：原式=
=
=
=
例13．设在内具有二阶连续导数且，求证
（1）对于内的任一点存在唯一的使成立；
（2）
证明：
（1），由拉格朗日中值定理得
连续且，所以在不变号，设
在内单调增加
唯一
（2）由泰勒公式得：,
所以
且
例14．求证,当时有
证明：令
在上凸，又
当时，即
例15．求函数的单调区间和极值，并求该函数图形的渐近线解： 令 得驻点
列表
0
+
0
—
0
+
在和单调增加，在单调减少极大值 极小值
渐近线
