第九章 重积分内容提要二重积分定义：设是平面闭区域D上的有界函数，将D人以分割成n个小闭区域，….，，其中表示第i个小区域，也表示它的面积。另为各小区域直径的最大值，若和当时的极限总存在时，则称此极限为在D上的二重积分，记作 即：
=
其中，称为被积函数，被称为被积表达式，称为面积元素，称为积分变量，D称为被积区域。
注：（1）的存在应与D的分法及点的取法无关，仅与被积函数及闭区域D有关，从而在直角坐标系中可用直线分割D，从而可记作，从而二重积分也记作。
（2）在几何上，若，则表示以D为底，为顶的曲顶柱体的体积。若当我们记该曲顶柱体体积为负，则对任意，表示以D为底，为顶得曲顶柱体体积的代数和。从而计算二重积分时，我们可利用其对称性简化计算。
例1．，其中D是关于y轴对称的闭区域，则该积分值为0
例2．，若D关于y轴对称，也关于x轴对称，记为D在第一象限部分则：=4
2．性质：二重几分与定积分份类似的性质，见书。
3．计算方法：思路是将二重积分化为二次积分计算。
直角坐标系，若在闭区域D上连续，将D用不等式表示。
若D：，，其中及在连续，则
）。（1）
若D：，，其中及在连续，则
。（2）
极坐标： （3）
注：①一般情况下，若含有，或D的边界曲线是圆或圆弧，此时用极坐标可简化计算。
②在直角坐标系下，往往根据被积函数及D的边界的特点选用公式（1）与（2），要尽可能使二次积分的计算容易。
例 计算，其中D为由圆，及直线,所围成的闭区域。
解：==
二、三重积分定义：类似于二重积分的定义可定义三重积分
形制：与定积分，二重积分的性质类似。
计算方法：
直角坐标系下，设在空间区域上连续将投影到xoy平面上为区域，且对，过该点且平行于z轴的直线穿过且与的边界曲面有两个交点分别为与且则：
=
若可用不等式，，，则
=
将投影到z轴上投影区间区域且过上任意点z的平行于xoy面的平面截所得的平面闭区域设为，则=。
柱面坐标 ,=
其中为柱面坐标系中的体积元素。
球面坐标系，其中，，
=
求，其中为三坐标面及所围闭区域。
解：在xoy面上的投影=
所以==
求，其中是所围闭区域。
解：由的对称性可知=0（注意利用对称性简化计算）
所以=）（其中）
==
例3．求其中是与及所围闭区域。
解：记为与所围闭区域，为与所围闭区域，则：
=-=-
例4．计算，其中是锥面与所围立体。
解：采用球面坐标：，
所以为,，，
所以=
=
其中，称为被积函数，被称为被积表达式，称为面积元素，称为积分变量，D称为被积区域。
注：（1）的存在应与D的分法及点的取法无关，仅与被积函数及闭区域D有关，从而在直角坐标系中可用直线分割D，从而可记作，从而二重积分也记作。
（2）在几何上，若，则表示以D为底，为顶的曲顶柱体的体积。若当我们记该曲顶柱体体积为负，则对任意，表示以D为底，为顶得曲顶柱体体积的代数和。从而计算二重积分时，我们可利用其对称性简化计算。
例1．，其中D是关于y轴对称的闭区域，则该积分值为0
例2．，若D关于y轴对称，也关于x轴对称，记为D在第一象限部分则：=4
2．性质：二重几分与定积分份类似的性质，见书。
3．计算方法：思路是将二重积分化为二次积分计算。
直角坐标系，若在闭区域D上连续，将D用不等式表示。
若D：，，其中及在连续，则
）。（1）
若D：，，其中及在连续，则
。（2）
极坐标： （3）
注：①一般情况下，若含有，或D的边界曲线是圆或圆弧，此时用极坐标可简化计算。
②在直角坐标系下，往往根据被积函数及D的边界的特点选用公式（1）与（2），要尽可能使二次积分的计算容易。
例 计算，其中D为由圆，及直线,所围成的闭区域。
解：==
二、三重积分定义：类似于二重积分的定义可定义三重积分
形制：与定积分，二重积分的性质类似。
计算方法：
直角坐标系下，设在空间区域上连续将投影到xoy平面上为区域，且对，过该点且平行于z轴的直线穿过且与的边界曲面有两个交点分别为与且则：
=
若可用不等式，，，则
=
将投影到z轴上投影区间区域且过上任意点z的平行于xoy面的平面截所得的平面闭区域设为，则=。
柱面坐标 ,=
其中为柱面坐标系中的体积元素。
球面坐标系，其中，，
=
求，其中为三坐标面及所围闭区域。
解：在xoy面上的投影=
所以==
求，其中是所围闭区域。
解：由的对称性可知=0（注意利用对称性简化计算）
所以=）（其中）
==
例3．求其中是与及所围闭区域。
解：记为与所围闭区域，为与所围闭区域，则：
=-=-
例4．计算，其中是锥面与所围立体。
解：采用球面坐标：，
所以为,，，
所以=
