第八章 多元函数微分法及其应用
多元函数微分学是在一元函数微分学的基础上推广和发展起来的，因此，本章的学习应采取与一元函数对比的方法来进行，在学习过程中不仅要注意它们的共同点，重要的是注意它们的不同点，即自变量增多后出现的许多新问题。
学习目的理解点集、邻域、区域、聚点、多元函数及其定义域等概念。
知道二元函数的极限与连续性等概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。
理解偏导数、全微分等概念，知道全微分存在的必要条件与充分条件，了解多元函数可导可微之间的区别及联系。
熟练掌握复合函数与隐函数的求导法则，会求二阶骗导数。
会求空间曲线的切线与法平面方程及曲面的切平面与法线方程。
正确理解方向导数和梯度的意义及他们的联系。
会求二元函数的极值，了解条件极值的概念，会用拉格朗日乘数法求条件极值。
学习重点多元函数、偏导数和全微分的概念及偏导数的计算。
学习难点二重极限概念及一般复合函数的多阶偏导数。
内容提要
（一）多元函数的基本概念二元函数的定义定义：设自变量x，y和z，如果当变量x，y在一定范围内任意取定一对值时，变量z按着一定的法则总有确定的值与它们对应，就称z为x，y的二元函数，记作z=f(x,y)或z=z(x,y)，其中x，y称为自变量，z称为因变量。自变量的取值范围称为函数的定义域。
几何意义：表示空间一曲面。
二元函数的极限设二元函数f(P)=f(x,y)的定义域为D，是D的聚点，如果存在常数A，对于任意给定的正数，总存在正数，使得当点时，都有
成立，那么就称常数A为函数f(x,y) 当时的极限，记作：
或
叫做二重极限。
二元函数的连续性定义：若，则称函数f(x,y)在点处连续。
性质：一切多元初等函数在其定义区域内是连续的，在有界闭区域上的多元连续函数在该区域上至少取得它的最大值和最小值各一次。
(二)偏导数
1.二元函数z=f(x,y)关于x和y的偏导数定义
（1）定义：
也可记作或，也可记作或
注意：记号“”或“”是一个整体记号，不能分开，单独的“”，“”或“”是无意义的。这与一元函数y=f(x)的导数记号“”可以分开，看成dy与东西的商，是不同的。
（2）几何意义：
偏导数()的几何意义是曲面z=f(x,y)被平面()所截得的曲线在点处的切线对x轴（y轴）的斜率。
2.高阶偏导数定义：设函数z=f(x,y)的偏导数,也存在偏导数，则称他们为z=f(x,y)的二阶偏导数，记作：
,,,
或记作：,，，
类似的可定义更高阶的偏倒数。
二阶以及二阶以上的偏倒数称为高阶偏导数。
（2）性质：若及在区域D内连续，则在D内 =
（三）全微分定义：如果函数z=f(x,y)在点(x,y)的全增量
可表示为：
的形式，其中A，B不依赖于，而仅与x，y有关，则称函数在z=f(x,y)在点(x,y)可微分，而称为函数z=f(x,y)在点(x,y)的全微分，记作dz，即
或
多元函数连续，可偏导及可微分的关系：
函数连续 偏导数
可微分 偏导连续
注：一元函数连续，可导及可微的关系：
连续 可导 可微
（四）复合函数的求导法则复合函数的中间变量均为一元函数的情形：
若z=f(u,v)，，则复合函数的全导数公式为
这里函数的复合关系为
u
z t
v
复合函数的中间变量均为多元函数的情形：
若z=f(u,v)，，则复合函数的偏数公式为
,
这里函数的复合关系为
u x
z
v y
3．复合函数的中间变量既有一元函数，又有多元函数的情形：
若z=f(u,v)，，，则复合函数的偏数公式为
,
这里函数的复合关系为
u x
z
v y
特别地，若z=f(u,x,y)，则复合函数的偏导数为：
,
同理可得
这里函数的复合关系为
u x
z x
v y
注意：这里的与是不同的。是复合函数对自变量x的偏导数，求时，中的y看成常量；而是函数f(u,x,y)中的u和y 看成常量。与也有类似的区别。
4．全微分形式不变性
设函数z=f(u,v)有连续偏导数，则不论u，v是自变量还是中间变量，总有
（五）隐函数的求导公式
1．一个方程的情形设y=y(x)是由方程F(x,y)=0所确定的隐函数，则
设z=z(x,y)是由方程F(x,y,z)=0所确定的隐函数，则
,
2．方程组的情形
设u=u(x,y)，v=v(x,y)是由方程组所确定的隐函数，则
,,,
（六）多元函数微分学的几何应用
1．空间曲线的切线及法平面
设空间曲线的方程为（t为参数）
是曲线上一点，其相应的参数为，则曲线在点处的切线方程为
曲线在点处的法平面方程为
2．曲面的切平面及法线
设曲面方程为F(x,y,z)=0（隐函数形式），为曲面上一点，设函数F(x,y,z)在点处有连续偏导数，且在点处不全为零，则曲面在点处的切平面方程为,
曲面在点处的法线方程为：
（七）方向导数与梯度
1．方向导数
（1）定义：
设函数z=f(x,y)在点P(x,y)的某一邻域内
有定义，自点P引有向直线l，设x轴正向到l的转角为（逆时针为正，顺时针为负）,
为l 上的一点，若极限
存在，则称这个极限值为函数z=f（x,y）在点P沿方向l的方向导数，记做，即
（2）计算公式：
若z=f（x,y）在点（x,y）处可微，，则
其中为x轴正向到方向l的转角或
其中为方向l与x轴正向夹角，为方向l与y轴正向夹角。
若u=f（x,y,z）在点（x,y,z）处可微，则
其中，，为方向l的方向角。
2．梯度
（1）定义：
设函数f（x,y）在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点，都可定出一个向量
这个向量称为函数f（x,y）在点的梯度，记作grad 即：
grad =
（2）与方向函数的联系：
函数在一点的梯度是一个向量，它的方向是函数在这点的方向导数取得最大值的方向，它的模就等于方向导数的最大值。
（八）多元函数的极值与最值
1．极值
（1）必要条件：
若z=f（x,y）在点处有极值，且及都存在，则==0即是z=f（x,y）的驻点。
（2）充分条件：
设z=f（x,y）在点的某邻域内有一连续的二阶偏导数，且==0，记A=，B=，C=则当
时，是极值。且A>0时，为极小值；A<0时，为极大值。
时，不是极值。
时，可能是极值，也可能不是极值。
注意：此充分条件对与三元及三元以上的函数不能适用。
2．条件极值
（1）定义：
函数z=f（x,y）在条件下的极值称为条件极值。
（2）求法：
构造函数F（x,y）=f（x,y）+（为常数）解方程组
求出，，则就是可能的极值点，这种求条件极值的方法叫拉格朗日乘数法，其中常数称为拉格朗日乘子。
至于如何确定所求得的点是否极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定。
当自变量多于两个而条件多于一个时，拉格朗日乘数法可以推广。
3．最值有界闭区域D上求最值方法：
将函数在D内的所有驻点和偏导不存在点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值。
（2）实际问题中求最值方法：
如果根据问题的性质知道函数的最值（最小值）一定在D的内部取得，而函数在D内只有一个驻点，那么该驻点处的函数值就是函数在D上的最大值（最小值）。
五．疑难解析
（一）二重极根概念
所谓二重极根存在是指P（x,y）以任何方式趋于时，f（x,y）都无限接近于A。因此，如果P（x,y）以某以特殊方式趋于时，即使f（x,y）无限接近于某一确定值，也不被由此断定函数的极限存在。但是反过来，如果当P（x,y）以不同方式趋于时，f（x,y）趋于不同的值，那么就可以断定这函数的极限不存在。
（二）复合函数的高阶偏导数
在求抽象的多元复合函数的高阶偏导数时应该注意函数对中间变量的一阶偏导数仍是以原自变量，原中间变量的复合函数。
六．典型例题例1．证明极限不存在证：（1）当y=x时，即当点（x,y）沿直线y=x趋于（0，0）时，有
当沿由点（x,y）->（0,0）时，有
沿不同的路径的极限值不等，所以极限不存在。
例2．设f（x,y）=
证明：f（x,y）在点（0,0）处连续且偏导存在，但不可微分。
证：（1）证连续
又f（0,0）=0；
f（x,y）在点（0,0）处连续
（2）证偏导存在
同理可得
f（x,y）在点（0,0）处偏导存在，且,
（3）证不可微分
则 （*）
当沿趋于（0,0）时
（*）
（*）极限不存在，说明不是的高阶无穷小
f（x,y）在（0,0）处不可微分例3．设函数z=f（x,y）在点（1,1）处可微，且f（1,1）=1，,,求
解：
例4．设u=f（x,y），而z=z（x,y）是由方程z=x+y所确定的函数，其中f（x,z）是有连续偏导数，而具有连续函数，求du。
解法一：函数u的复合关系为
x x
u
z y
而
又
同理由及得
于是
解法二：将两个方程分别求全微分得：
，
由第二式解出
代入第一式同样得结果。
例5．设，其中f具有二阶连续偏导数，且z=z（x,y）由方程xy+x+y-z=确定，求
解：函数u的复合干系为：
1号变量 x
u
2号变量 y
由复合函数求偏导法则可得：
,
为求得其中的,和，要利用隐函数求偏导的方法。
设
，，
，sss
代入即得：
例6．设，其中f是具有连续二阶偏导数，求
解法一：
（f具有连续二阶偏导数 ）
解法二：
例7．设y=f（x），z=z（x）是由方程z=xf（x+y）和F（x,y,z）=0所确定的函数，其中f和F分别具有一阶连续偏导数，求
解法一：联立两方程
两边对x求导：
解法二：
(1)
又
即 （2）
得：
（）
例8．设平面是椭球面的切平面，它平行于直线L1：x=t，y=1+2t，z= -2+2t及两平面交线L2：，求平面的方程。
解：椭球面上任意点处的切平面的法向量
L1的方向向量
L2的方向向量
可取为L2的方向向量
与L1，L2平行。（为某实数）
即，,
将它们代入椭秋面方程得
即 ,解得
即，解得因此得切点为（1，1，-1）或（-1，-1，1）
过这两点的切平面方程分别为
2x+y-2z-5=0，2x+y-2z+5=0
易知L1落在平面2x+y-2z+5=0上，而L2不在平面2x+y-2z+5=0上所得平面的方程为2x+y-2z+5=0
例9．设三个实数x，y（y>0）和z，满足
求的极值，并证明：
解：
令
则
令 ,
解得唯一驻点x=0，y=1
又
,,
F（x,y）在点（0,1）处取极大值F（0,1）=1，无极小值；
又F（x,y）在开区域内只有一个驻点
该极大值也为最大值。
例10．求抛物线和直线x-y-2=0之间的最短距离。
解：设为抛物线上任意点，而是直线x-y-2=0上的任意点，
求函数
在条件， 下的极值令
解方程组
得唯一解,,,
虽然，当,至少又一个移向无穷远处时
故d有最小值在有限点处达到，从而在,,,处取最短距离
多元函数微分学是在一元函数微分学的基础上推广和发展起来的，因此，本章的学习应采取与一元函数对比的方法来进行，在学习过程中不仅要注意它们的共同点，重要的是注意它们的不同点，即自变量增多后出现的许多新问题。
学习目的理解点集、邻域、区域、聚点、多元函数及其定义域等概念。
知道二元函数的极限与连续性等概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。
理解偏导数、全微分等概念，知道全微分存在的必要条件与充分条件，了解多元函数可导可微之间的区别及联系。
熟练掌握复合函数与隐函数的求导法则，会求二阶骗导数。
会求空间曲线的切线与法平面方程及曲面的切平面与法线方程。
正确理解方向导数和梯度的意义及他们的联系。
会求二元函数的极值，了解条件极值的概念，会用拉格朗日乘数法求条件极值。
学习重点多元函数、偏导数和全微分的概念及偏导数的计算。
学习难点二重极限概念及一般复合函数的多阶偏导数。
内容提要
（一）多元函数的基本概念二元函数的定义定义：设自变量x，y和z，如果当变量x，y在一定范围内任意取定一对值时，变量z按着一定的法则总有确定的值与它们对应，就称z为x，y的二元函数，记作z=f(x,y)或z=z(x,y)，其中x，y称为自变量，z称为因变量。自变量的取值范围称为函数的定义域。
几何意义：表示空间一曲面。
二元函数的极限设二元函数f(P)=f(x,y)的定义域为D，是D的聚点，如果存在常数A，对于任意给定的正数，总存在正数，使得当点时，都有
成立，那么就称常数A为函数f(x,y) 当时的极限，记作：
或
叫做二重极限。
二元函数的连续性定义：若，则称函数f(x,y)在点处连续。
性质：一切多元初等函数在其定义区域内是连续的，在有界闭区域上的多元连续函数在该区域上至少取得它的最大值和最小值各一次。
(二)偏导数
1.二元函数z=f(x,y)关于x和y的偏导数定义
（1）定义：
也可记作或，也可记作或
注意：记号“”或“”是一个整体记号，不能分开，单独的“”，“”或“”是无意义的。这与一元函数y=f(x)的导数记号“”可以分开，看成dy与东西的商，是不同的。
（2）几何意义：
偏导数()的几何意义是曲面z=f(x,y)被平面()所截得的曲线在点处的切线对x轴（y轴）的斜率。
2.高阶偏导数定义：设函数z=f(x,y)的偏导数,也存在偏导数，则称他们为z=f(x,y)的二阶偏导数，记作：
,,,
或记作：,，，
类似的可定义更高阶的偏倒数。
二阶以及二阶以上的偏倒数称为高阶偏导数。
（2）性质：若及在区域D内连续，则在D内 =
（三）全微分定义：如果函数z=f(x,y)在点(x,y)的全增量
可表示为：
的形式，其中A，B不依赖于，而仅与x，y有关，则称函数在z=f(x,y)在点(x,y)可微分，而称为函数z=f(x,y)在点(x,y)的全微分，记作dz，即
或
多元函数连续，可偏导及可微分的关系：
函数连续 偏导数
可微分 偏导连续
注：一元函数连续，可导及可微的关系：
连续 可导 可微
（四）复合函数的求导法则复合函数的中间变量均为一元函数的情形：
若z=f(u,v)，，则复合函数的全导数公式为
这里函数的复合关系为
u
z t
v
复合函数的中间变量均为多元函数的情形：
若z=f(u,v)，，则复合函数的偏数公式为
,
这里函数的复合关系为
u x
z
v y
3．复合函数的中间变量既有一元函数，又有多元函数的情形：
若z=f(u,v)，，，则复合函数的偏数公式为
,
这里函数的复合关系为
u x
z
v y
特别地，若z=f(u,x,y)，则复合函数的偏导数为：
,
同理可得
这里函数的复合关系为
u x
z x
v y
注意：这里的与是不同的。是复合函数对自变量x的偏导数，求时，中的y看成常量；而是函数f(u,x,y)中的u和y 看成常量。与也有类似的区别。
4．全微分形式不变性
设函数z=f(u,v)有连续偏导数，则不论u，v是自变量还是中间变量，总有
（五）隐函数的求导公式
1．一个方程的情形设y=y(x)是由方程F(x,y)=0所确定的隐函数，则
设z=z(x,y)是由方程F(x,y,z)=0所确定的隐函数，则
,
2．方程组的情形
设u=u(x,y)，v=v(x,y)是由方程组所确定的隐函数，则
,,,
（六）多元函数微分学的几何应用
1．空间曲线的切线及法平面
设空间曲线的方程为（t为参数）
是曲线上一点，其相应的参数为，则曲线在点处的切线方程为
曲线在点处的法平面方程为
2．曲面的切平面及法线
设曲面方程为F(x,y,z)=0（隐函数形式），为曲面上一点，设函数F(x,y,z)在点处有连续偏导数，且在点处不全为零，则曲面在点处的切平面方程为,
曲面在点处的法线方程为：
（七）方向导数与梯度
1．方向导数
（1）定义：
设函数z=f(x,y)在点P(x,y)的某一邻域内
有定义，自点P引有向直线l，设x轴正向到l的转角为（逆时针为正，顺时针为负）,
为l 上的一点，若极限
存在，则称这个极限值为函数z=f（x,y）在点P沿方向l的方向导数，记做，即
（2）计算公式：
若z=f（x,y）在点（x,y）处可微，，则
其中为x轴正向到方向l的转角或
其中为方向l与x轴正向夹角，为方向l与y轴正向夹角。
若u=f（x,y,z）在点（x,y,z）处可微，则
其中，，为方向l的方向角。
2．梯度
（1）定义：
设函数f（x,y）在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点，都可定出一个向量
这个向量称为函数f（x,y）在点的梯度，记作grad 即：
grad =
（2）与方向函数的联系：
函数在一点的梯度是一个向量，它的方向是函数在这点的方向导数取得最大值的方向，它的模就等于方向导数的最大值。
（八）多元函数的极值与最值
1．极值
（1）必要条件：
若z=f（x,y）在点处有极值，且及都存在，则==0即是z=f（x,y）的驻点。
（2）充分条件：
设z=f（x,y）在点的某邻域内有一连续的二阶偏导数，且==0，记A=，B=，C=则当
时，是极值。且A>0时，为极小值；A<0时，为极大值。
时，不是极值。
时，可能是极值，也可能不是极值。
注意：此充分条件对与三元及三元以上的函数不能适用。
2．条件极值
（1）定义：
函数z=f（x,y）在条件下的极值称为条件极值。
（2）求法：
构造函数F（x,y）=f（x,y）+（为常数）解方程组
求出，，则就是可能的极值点，这种求条件极值的方法叫拉格朗日乘数法，其中常数称为拉格朗日乘子。
至于如何确定所求得的点是否极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定。
当自变量多于两个而条件多于一个时，拉格朗日乘数法可以推广。
3．最值有界闭区域D上求最值方法：
将函数在D内的所有驻点和偏导不存在点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值。
（2）实际问题中求最值方法：
如果根据问题的性质知道函数的最值（最小值）一定在D的内部取得，而函数在D内只有一个驻点，那么该驻点处的函数值就是函数在D上的最大值（最小值）。
五．疑难解析
（一）二重极根概念
所谓二重极根存在是指P（x,y）以任何方式趋于时，f（x,y）都无限接近于A。因此，如果P（x,y）以某以特殊方式趋于时，即使f（x,y）无限接近于某一确定值，也不被由此断定函数的极限存在。但是反过来，如果当P（x,y）以不同方式趋于时，f（x,y）趋于不同的值，那么就可以断定这函数的极限不存在。
（二）复合函数的高阶偏导数
在求抽象的多元复合函数的高阶偏导数时应该注意函数对中间变量的一阶偏导数仍是以原自变量，原中间变量的复合函数。
六．典型例题例1．证明极限不存在证：（1）当y=x时，即当点（x,y）沿直线y=x趋于（0，0）时，有
当沿由点（x,y）->（0,0）时，有
沿不同的路径的极限值不等，所以极限不存在。
例2．设f（x,y）=
证明：f（x,y）在点（0,0）处连续且偏导存在，但不可微分。
证：（1）证连续
又f（0,0）=0；
f（x,y）在点（0,0）处连续
（2）证偏导存在
同理可得
f（x,y）在点（0,0）处偏导存在，且,
（3）证不可微分
则 （*）
当沿趋于（0,0）时
（*）
（*）极限不存在，说明不是的高阶无穷小
f（x,y）在（0,0）处不可微分例3．设函数z=f（x,y）在点（1,1）处可微，且f（1,1）=1，,,求
解：
例4．设u=f（x,y），而z=z（x,y）是由方程z=x+y所确定的函数，其中f（x,z）是有连续偏导数，而具有连续函数，求du。
解法一：函数u的复合关系为
x x
u
z y
而
又
同理由及得
于是
解法二：将两个方程分别求全微分得：
，
由第二式解出
代入第一式同样得结果。
例5．设，其中f具有二阶连续偏导数，且z=z（x,y）由方程xy+x+y-z=确定，求
解：函数u的复合干系为：
1号变量 x
u
2号变量 y
由复合函数求偏导法则可得：
,
为求得其中的,和，要利用隐函数求偏导的方法。
设
，，
，sss
代入即得：
例6．设，其中f是具有连续二阶偏导数，求
解法一：
（f具有连续二阶偏导数 ）
解法二：
例7．设y=f（x），z=z（x）是由方程z=xf（x+y）和F（x,y,z）=0所确定的函数，其中f和F分别具有一阶连续偏导数，求
解法一：联立两方程
两边对x求导：
解法二：
(1)
又
即 （2）
得：
（）
例8．设平面是椭球面的切平面，它平行于直线L1：x=t，y=1+2t，z= -2+2t及两平面交线L2：，求平面的方程。
解：椭球面上任意点处的切平面的法向量
L1的方向向量
L2的方向向量
可取为L2的方向向量
与L1，L2平行。（为某实数）
即，,
将它们代入椭秋面方程得
即 ,解得
即，解得因此得切点为（1，1，-1）或（-1，-1，1）
过这两点的切平面方程分别为
2x+y-2z-5=0，2x+y-2z+5=0
易知L1落在平面2x+y-2z+5=0上，而L2不在平面2x+y-2z+5=0上所得平面的方程为2x+y-2z+5=0
例9．设三个实数x，y（y>0）和z，满足
求的极值，并证明：
解：
令
则
令 ,
解得唯一驻点x=0，y=1
又
,,
F（x,y）在点（0,1）处取极大值F（0,1）=1，无极小值；
又F（x,y）在开区域内只有一个驻点
该极大值也为最大值。
例10．求抛物线和直线x-y-2=0之间的最短距离。
解：设为抛物线上任意点，而是直线x-y-2=0上的任意点，
求函数
在条件， 下的极值令
解方程组
得唯一解,,,
虽然，当,至少又一个移向无穷远处时
故d有最小值在有限点处达到，从而在,,,处取最短距离
