第三节 竖曲线
? 1,定义：
? 纵断面上两个坡段的转折处, 为了便于行车用一段
曲线来缓和, 称为竖曲线 。
α 1 α 2
ω
i1
i2
i3
变坡点：相邻两条坡度线的交点 。
变坡角：相邻两条坡度线的坡角差, 通常用坡度值
之差代替, 用 ω表示, 即
ω=α 2-α 1≈tg α 2- tgα 1=i2-i1
凹型竖曲线
ω>0 凸型竖曲线
ω<0
? 2,竖曲线的 作用：
?（ 1） 其缓冲作用：以平缓曲线取代折线可消除汽车在
变坡点的突变 。
?（ 2） 保证公路纵向的行车视距：
? 凸形：纵坡变化大时, 盲区较大 。
? 凹形：下穿式立体交叉的下线 。
? 3,竖 曲线的线形
?,规范, 规定采用 二次抛物线 作为竖曲线的线形 。
? 抛物线的纵轴保持直立, 且与两相邻纵坡线相切 。
一、竖曲线要素的计算公式
? 1．竖曲线的基本方程式,设变坡点相邻两纵坡坡
度分别为 i1和 i2。抛物线竖曲线有两种可能的形式：
? （ 1）包含抛物线底（顶）部；
? （ 2）不含抛物线底（顶）部 。
2
2
1 x
Ry ?
?式中,R—— 抛物线顶点
处的曲率半径
A B
A
B
xixky 1221 ??
一、竖曲线要素的计算公式
? 1．竖曲线的基本方程式,设变坡点相邻两纵坡坡
度分别为 i1和 i2。抛物线竖曲线有两种可能的形式：
? （ 1）包含抛物线底（顶）部；
? （ 2）不含抛物线底（顶）部 。
?式中,k—— 抛物线顶点
处的曲率半径 ；
? i1—— 竖曲线顶
（底）点处切线的坡度。
?对竖曲线上任一点 P,其切线的斜率 （ 纵坡 ） 为
? 当 x=0时, ip=i1；
? 当 x=L时,
?竖曲线半径 R系指竖曲线顶 （ 底 ） 部的曲率半径 。
?若竖曲线包含抛物线顶点, 则 R=k。
?若竖曲线不包含抛物线顶点，则竖曲线半径指竖曲
线的顶（凸竖曲线）或底（凹竖曲线）部的曲率半
径。可按下面的方法计算：
1ik
x
dx
dyi
P ???
21 iik
Li
p ???
?
L
ii
Lk ?
?? 12
?抛物线顶点 曲率半径：
抛物线上任一点的曲率半径为 r，
? 抛物线上任一点的曲率半径 r = k（ 1+i2） 3/2
? 竖曲线底部的切线坡度 i1较小, 故 i12可略去不
计, 则竖曲线底部的曲率半径 R为：
? R = r ≈ k
? ? 222/32 /)(1
dx
yd
dx
dyr ??
,idxdy ? kdx yd 12
2
?
?二次抛物线竖曲线基本方程式 （ 通式 ） 为
xixRy 1221 ??
482
2 ?? TL
ERTE ???,
2,竖曲线诸要素计算公式
? （ 1） 竖曲线长度 L或竖曲线半径 R：
? L = xA - xB
??
LRRL ??,
? （ 2） 竖曲线切线长 T：
? 因为 T = T1 = T2，则
22
?RLT ??
i
2
A
B
（ 3） 竖曲线外距 E：
i2
?（ 4）竖曲线上任一点竖距 h：
R
xxixi
R
xyyPQh
QP 22
2
11
2
???????
?下半支曲线在竖曲线终点的切线上的竖距 h’ 为：
R
xLh
2
)( 2' ??
h
L-x
h’
?（ 3）竖曲线上任一点竖距 h：
R
xxixi
R
xyyPQh
QP 22
2
11
2
???????
?下半支曲线在竖曲线终点的切线上的竖距 h’ 为：
R
xLh
2
)( 2' ??
为简单起见，将两式合并写成下式，
R
xy
2
2
?
式中,x—— 竖曲线上任意点与竖曲线始点或终点的水平距离,
y—— 竖曲线上任意点到切线的纵距, 即竖曲线上任意点
与坡线的高差 。
竖曲线外距 E：
? 上半支曲线 x = T1时,
R
TE
2
2
11 ?
R
TE
2
2
22 ?
故 T1 = T2 = T
4882
22 ??? TLR
ERTE ???? 或
? 由于外距是边坡点处的竖距, 则 E1 = E2 = E，
?下半支曲线 x = T2时,
? （ 一 ） 竖曲线设计限制因素
? 1,缓和冲击
? 汽车在竖曲线上行驶时其离心加速度为,
二、竖曲线的最小半径
,R13VRva
22
??
a13
VR 2?
?根据试验，认为离心加速度应限制在 0.5～ 0.7m/s2比较
合适。我国, 标准, 规定的竖曲线最小半径值，相当于
a=0.278 m/s2。
6.3,6.3
2
m i n
2
m i n
?VLVR ?? 或
? 2,时间行程 不过短
? 最短应满足 3s行程 。
?? 2.12.16.3
m i n
m i nm i n
VLRVtVL ???? 则
?3．满足视距的要求：
凸形竖曲线：坡顶视线受阻
凹形竖曲线：下穿立交
4,凸形竖曲线主要控制因素：行车视距。
凹形竖曲线的主要控制因素：缓和冲击力。
? 1,定义：
? 纵断面上两个坡段的转折处, 为了便于行车用一段
曲线来缓和, 称为竖曲线 。
α 1 α 2
ω
i1
i2
i3
变坡点：相邻两条坡度线的交点 。
变坡角：相邻两条坡度线的坡角差, 通常用坡度值
之差代替, 用 ω表示, 即
ω=α 2-α 1≈tg α 2- tgα 1=i2-i1
凹型竖曲线
ω>0 凸型竖曲线
ω<0
? 2,竖曲线的 作用：
?（ 1） 其缓冲作用：以平缓曲线取代折线可消除汽车在
变坡点的突变 。
?（ 2） 保证公路纵向的行车视距：
? 凸形：纵坡变化大时, 盲区较大 。
? 凹形：下穿式立体交叉的下线 。
? 3,竖 曲线的线形
?,规范, 规定采用 二次抛物线 作为竖曲线的线形 。
? 抛物线的纵轴保持直立, 且与两相邻纵坡线相切 。
一、竖曲线要素的计算公式
? 1．竖曲线的基本方程式,设变坡点相邻两纵坡坡
度分别为 i1和 i2。抛物线竖曲线有两种可能的形式：
? （ 1）包含抛物线底（顶）部；
? （ 2）不含抛物线底（顶）部 。
2
2
1 x
Ry ?
?式中,R—— 抛物线顶点
处的曲率半径
A B
A
B
xixky 1221 ??
一、竖曲线要素的计算公式
? 1．竖曲线的基本方程式,设变坡点相邻两纵坡坡
度分别为 i1和 i2。抛物线竖曲线有两种可能的形式：
? （ 1）包含抛物线底（顶）部；
? （ 2）不含抛物线底（顶）部 。
?式中,k—— 抛物线顶点
处的曲率半径 ；
? i1—— 竖曲线顶
（底）点处切线的坡度。
?对竖曲线上任一点 P,其切线的斜率 （ 纵坡 ） 为
? 当 x=0时, ip=i1；
? 当 x=L时,
?竖曲线半径 R系指竖曲线顶 （ 底 ） 部的曲率半径 。
?若竖曲线包含抛物线顶点, 则 R=k。
?若竖曲线不包含抛物线顶点，则竖曲线半径指竖曲
线的顶（凸竖曲线）或底（凹竖曲线）部的曲率半
径。可按下面的方法计算：
1ik
x
dx
dyi
P ???
21 iik
Li
p ???
?
L
ii
Lk ?
?? 12
?抛物线顶点 曲率半径：
抛物线上任一点的曲率半径为 r，
? 抛物线上任一点的曲率半径 r = k（ 1+i2） 3/2
? 竖曲线底部的切线坡度 i1较小, 故 i12可略去不
计, 则竖曲线底部的曲率半径 R为：
? R = r ≈ k
? ? 222/32 /)(1
dx
yd
dx
dyr ??
,idxdy ? kdx yd 12
2
?
?二次抛物线竖曲线基本方程式 （ 通式 ） 为
xixRy 1221 ??
482
2 ?? TL
ERTE ???,
2,竖曲线诸要素计算公式
? （ 1） 竖曲线长度 L或竖曲线半径 R：
? L = xA - xB
??
LRRL ??,
? （ 2） 竖曲线切线长 T：
? 因为 T = T1 = T2，则
22
?RLT ??
i
2
A
B
（ 3） 竖曲线外距 E：
i2
?（ 4）竖曲线上任一点竖距 h：
R
xxixi
R
xyyPQh
QP 22
2
11
2
???????
?下半支曲线在竖曲线终点的切线上的竖距 h’ 为：
R
xLh
2
)( 2' ??
h
L-x
h’
?（ 3）竖曲线上任一点竖距 h：
R
xxixi
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xyyPQh
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2
11
2
???????
?下半支曲线在竖曲线终点的切线上的竖距 h’ 为：
R
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2
)( 2' ??
为简单起见，将两式合并写成下式，
R
xy
2
2
?
式中,x—— 竖曲线上任意点与竖曲线始点或终点的水平距离,
y—— 竖曲线上任意点到切线的纵距, 即竖曲线上任意点
与坡线的高差 。
竖曲线外距 E：
? 上半支曲线 x = T1时,
R
TE
2
2
11 ?
R
TE
2
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22 ?
故 T1 = T2 = T
4882
22 ??? TLR
ERTE ???? 或
? 由于外距是边坡点处的竖距, 则 E1 = E2 = E，
?下半支曲线 x = T2时,
? （ 一 ） 竖曲线设计限制因素
? 1,缓和冲击
? 汽车在竖曲线上行驶时其离心加速度为,
二、竖曲线的最小半径
,R13VRva
22
??
a13
VR 2?
?根据试验，认为离心加速度应限制在 0.5～ 0.7m/s2比较
合适。我国, 标准, 规定的竖曲线最小半径值，相当于
a=0.278 m/s2。
6.3,6.3
2
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2
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?VLVR ?? 或
? 2,时间行程 不过短
? 最短应满足 3s行程 。
?? 2.12.16.3
m i n
m i nm i n
VLRVtVL ???? 则
?3．满足视距的要求：
凸形竖曲线：坡顶视线受阻
凹形竖曲线：下穿立交
4,凸形竖曲线主要控制因素：行车视距。
凹形竖曲线的主要控制因素：缓和冲击力。
