? （ 一 ） 竖曲线设计限制因素
? 1,缓和冲击
? 汽车在竖曲线上行驶时其离心加速度为,
二、竖曲线的最小半径
,R13VRva
22
??
a13
VR 2?
?根据试验，认为离心加速度应限制在 0.5～ 0.7m/s2比较
合适。我国, 标准, 规定的竖曲线最小半径值，相当于
a=0.278 m/s2。
6.3,6.3
2
m in
2
m in
?VLVR ?? 或
? 2,时间行程 不过短
? 最短应满足 3s行程 。
?? 2.12.16.3
m i n
m i nm i n
VLRVtVL ???? 则
?3．满足视距的要求：
凸形竖曲线：坡顶视线受阻
凹形竖曲线：下穿立交
4,凸形竖曲线主要控制因素：行车视距。
凹形竖曲线的主要控制因素：缓和冲击力。
（二）凸形竖曲线最小半径和最小长度
? 凸形竖曲线最小长度 应以满足视距要求为主 。
?按竖曲线长度 L和停车视距 ST的关系分为两种情况 。
? 1,当 L<ST时：
211121211 2
22 tRhdR
t
R
dh ????,则 2
222
2222
2 222 tRhdR
t
R
dh ????,则
ltRhldt ????? 21111 2
,2 2111 tRhlt ???
2
11 l
l
Rht ??
)(2)( 22222 lLtRhlLdt ???????
Rd2
21 A
B
2
22 lL
lL
Rht ??
??
? 视距长度,
有极小值）(2 2121 lLRhLlRhtLtS T ???????
? 令
,0?dldST
21
1
hh
hl
??解此得
2
)(
2)(
2
212
21
LhhLhh
L
RS
T ?
?????
?
??
42)(22 221
m i n ??
???
TT S
hhSL
2)1.2.1(2)(2 2221 ???? hh
?
m inm in LR ?
? 最小半径：
2,当 L>ST:
11
21
1 22 RhdR
dh ??,则
22
22
2 22 RhdR
dh ??,则
)(2 2121 hhRddS T ????
4)(2
2
2
21
2
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?? TT S
hh
SL ?
??
)(2 21
2
hh
SR T
??
凸形竖曲线最小半径和最小长度,
?竖曲线最小长度相当于各级道路计算行车速度的
3秒行程 。
? 设置凹竖曲线的主要目的是缓和行车时的离心力,
确定凹竖曲线半径时, 应以离心加速度为控制指
标 。
（ 三 ） 凹形竖曲线最小半径和最小长度
?凹形竖曲线的最小半径, 长度, 除满足缓和离心
力要求外, 还应考虑两种视距的要求：一是保证
夜间行车安全, 前灯照明应有足够的距离；二是
保证跨线桥下行车有足够的视距 。
?,标准, 规定竖曲线的最小长度应满足 3s行程要
求 。
6.36.313
2
m i n
22 ?V
LVaVR ??? 或
（ 三 ） 凹形竖曲线最小半径和最小长度
?凹形 竖曲线最小长度相当于各级道路计算行车速度
的 3秒行程 。
三、逐桩设计高程计算
变坡点桩号 BPD
变坡点设计高程 H
竖曲线半径 R
1,纵断面设计成果：
H
R
2,竖曲线要素的计算公式：
? 变坡角 ω= i2- i1
? 曲线长,L=Rω
? 切线长,T=L/2= Rω/2
? 外 距：
R2
TE 2?
x
? 竖曲线起点桩号, QD=BPD - T
? 竖曲线终点桩号, ZD=BPD + T
y
x
三、逐桩设计高程计算
R
xy
2
2
?
纵 距：
HT
HS
y
Hn
BPDn
BPDn-1
Hn-1
ini
n-1
in+1Lcz1
Lcz-BPDn-1
3,逐桩设计高程计算
切线高程,)( 11 ?? ??? nnnT BPDL c ziHH
Lcz2
HT
)( nnnT BPDL c ziHH ???
直坡段上, y=0。
x——竖曲线上任一点离开起 （ 终 ） 点距离；
R
xy
2
2
?
其中,y——竖曲线上任一点竖距 ；
设计高程,HS = HT ± y
（ 凸竖曲线取, -”,凹竖曲线取, +”）
3,逐桩设计高程计算
切线高程,)( 11 ?? ??? nnnT BPDL c ziHH
)( nnnT BPDL c ziHH ???
以变坡点为分界计算：
上半支曲线 x = Lcz - QD
下半支曲线 x = ZD - Lcz
以竖曲线终点为分界计算：
全部曲线 x = Lcz - QD
?[例 4-3]：某山岭区一般二级公路, 变坡点桩号为 k5+030.00，
高程 H1=427.68m,i1=+5%,i2=-4%,竖曲线半径 R=2000m。
?试计算竖曲线诸要素以及桩号为 k5+000.00和 k5+100.00处
的设计高程 。
? 解,1,计算竖曲线要素
? ω=i2- i1= - 0.04-0.05= - 0.09<0,为凸形 。
? 曲线长 L = Rω=2000× 0.09=180m
? 切线长
9021 8 02 ??? LT
? 外 距
03.220002 902 22 ???? RTE
? 竖曲线起点 QD＝ （ K5+030.00） - 90 = K4+940.00
? 竖曲线终点 ZD＝ （ K5+030.00） + 90 = K5+120.00
2．计算设计高程
? K5+000.00：位于上半支
? 横距 x1= Lcz – QD = 5000.00 – 4940.00＝ 60m
? 竖距
90.02 0 0 02 602
22
1
1 ???? R
xy
?切线高程 HT = H1 + i1（ Lcz - BPD）
? = 427.68 + 0.05× (5000.00 - 5030.00)
? = 426.18m
?设计高程 HS = HT- y1 = 426.18 - 0.90=425.18m
? （凸竖曲线应减去改正值）
K5+100.00：位于下半支
? ① 按竖曲线终点分界计算：
? 横距 x2= Lcz – QD = 5100.00 – 4940.00＝ 160m
? 竖距
40.62 0 0 02 1 6 02
22
2
2 ???? R
xy
? 切线高程 HT = H1 + i1（ Lcz - BPD）
? = 427.68 + 0.05× (5100.00 - 5030.00)
? = 431.18m
? 设计高程 HS = HT – y2 = 431.18 – 6.40 = 424.78m
K5+100.00：位于下半支
? ② 按变坡点分界计算：
? 横距 x2= ZD – Lcz = 5120.00 – 5100.00 ＝ 20m
? 竖距
10.020002 20R2xy
22
2
2 ????
? 切线高程 HT = H1 + i2（ Lcz - BPD）
? = 427.68 - 0.04× (5100.00 - 5030.00)
? = 424.88m
? 设计高程 HS = HT – y2 = 424.88 – 0.10 = 424.78m
? 作业：
? 某二级公路一路段有三个变坡点, 详细资料如下：
? 变坡点桩号 设计高程 竖曲线半径
? K12+450 172.513 5000
? +950 190.013 4000
? K13+550 173.513 3000
? 试计算 K12+700～ K13+300段 50m间隔的整桩号的设计高程
值 。
? 1,缓和冲击
? 汽车在竖曲线上行驶时其离心加速度为,
二、竖曲线的最小半径
,R13VRva
22
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?根据试验，认为离心加速度应限制在 0.5～ 0.7m/s2比较
合适。我国, 标准, 规定的竖曲线最小半径值，相当于
a=0.278 m/s2。
6.3,6.3
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? 2,时间行程 不过短
? 最短应满足 3s行程 。
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?3．满足视距的要求：
凸形竖曲线：坡顶视线受阻
凹形竖曲线：下穿立交
4,凸形竖曲线主要控制因素：行车视距。
凹形竖曲线的主要控制因素：缓和冲击力。
（二）凸形竖曲线最小半径和最小长度
? 凸形竖曲线最小长度 应以满足视距要求为主 。
?按竖曲线长度 L和停车视距 ST的关系分为两种情况 。
? 1,当 L<ST时：
211121211 2
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? 视距长度,
有极小值）(2 2121 lLRhLlRhtLtS T ???????
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? 最小半径：
2,当 L>ST:
11
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凸形竖曲线最小半径和最小长度,
?竖曲线最小长度相当于各级道路计算行车速度的
3秒行程 。
? 设置凹竖曲线的主要目的是缓和行车时的离心力,
确定凹竖曲线半径时, 应以离心加速度为控制指
标 。
（ 三 ） 凹形竖曲线最小半径和最小长度
?凹形竖曲线的最小半径, 长度, 除满足缓和离心
力要求外, 还应考虑两种视距的要求：一是保证
夜间行车安全, 前灯照明应有足够的距离；二是
保证跨线桥下行车有足够的视距 。
?,标准, 规定竖曲线的最小长度应满足 3s行程要
求 。
6.36.313
2
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22 ?V
LVaVR ??? 或
（ 三 ） 凹形竖曲线最小半径和最小长度
?凹形 竖曲线最小长度相当于各级道路计算行车速度
的 3秒行程 。
三、逐桩设计高程计算
变坡点桩号 BPD
变坡点设计高程 H
竖曲线半径 R
1,纵断面设计成果：
H
R
2,竖曲线要素的计算公式：
? 变坡角 ω= i2- i1
? 曲线长,L=Rω
? 切线长,T=L/2= Rω/2
? 外 距：
R2
TE 2?
x
? 竖曲线起点桩号, QD=BPD - T
? 竖曲线终点桩号, ZD=BPD + T
y
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三、逐桩设计高程计算
R
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2
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纵 距：
HT
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y
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Lcz-BPDn-1
3,逐桩设计高程计算
切线高程,)( 11 ?? ??? nnnT BPDL c ziHH
Lcz2
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直坡段上, y=0。
x——竖曲线上任一点离开起 （ 终 ） 点距离；
R
xy
2
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其中,y——竖曲线上任一点竖距 ；
设计高程,HS = HT ± y
（ 凸竖曲线取, -”,凹竖曲线取, +”）
3,逐桩设计高程计算
切线高程,)( 11 ?? ??? nnnT BPDL c ziHH
)( nnnT BPDL c ziHH ???
以变坡点为分界计算：
上半支曲线 x = Lcz - QD
下半支曲线 x = ZD - Lcz
以竖曲线终点为分界计算：
全部曲线 x = Lcz - QD
?[例 4-3]：某山岭区一般二级公路, 变坡点桩号为 k5+030.00，
高程 H1=427.68m,i1=+5%,i2=-4%,竖曲线半径 R=2000m。
?试计算竖曲线诸要素以及桩号为 k5+000.00和 k5+100.00处
的设计高程 。
? 解,1,计算竖曲线要素
? ω=i2- i1= - 0.04-0.05= - 0.09<0,为凸形 。
? 曲线长 L = Rω=2000× 0.09=180m
? 切线长
9021 8 02 ??? LT
? 外 距
03.220002 902 22 ???? RTE
? 竖曲线起点 QD＝ （ K5+030.00） - 90 = K4+940.00
? 竖曲线终点 ZD＝ （ K5+030.00） + 90 = K5+120.00
2．计算设计高程
? K5+000.00：位于上半支
? 横距 x1= Lcz – QD = 5000.00 – 4940.00＝ 60m
? 竖距
90.02 0 0 02 602
22
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1 ???? R
xy
?切线高程 HT = H1 + i1（ Lcz - BPD）
? = 427.68 + 0.05× (5000.00 - 5030.00)
? = 426.18m
?设计高程 HS = HT- y1 = 426.18 - 0.90=425.18m
? （凸竖曲线应减去改正值）
K5+100.00：位于下半支
? ① 按竖曲线终点分界计算：
? 横距 x2= Lcz – QD = 5100.00 – 4940.00＝ 160m
? 竖距
40.62 0 0 02 1 6 02
22
2
2 ???? R
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? 切线高程 HT = H1 + i1（ Lcz - BPD）
? = 427.68 + 0.05× (5100.00 - 5030.00)
? = 431.18m
? 设计高程 HS = HT – y2 = 431.18 – 6.40 = 424.78m
K5+100.00：位于下半支
? ② 按变坡点分界计算：
? 横距 x2= ZD – Lcz = 5120.00 – 5100.00 ＝ 20m
? 竖距
10.020002 20R2xy
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? 切线高程 HT = H1 + i2（ Lcz - BPD）
? = 427.68 - 0.04× (5100.00 - 5030.00)
? = 424.88m
? 设计高程 HS = HT – y2 = 424.88 – 0.10 = 424.78m
? 作业：
? 某二级公路一路段有三个变坡点, 详细资料如下：
? 变坡点桩号 设计高程 竖曲线半径
? K12+450 172.513 5000
? +950 190.013 4000
? K13+550 173.513 3000
? 试计算 K12+700～ K13+300段 50m间隔的整桩号的设计高程
值 。
