? 1,定线步骤
? (1) 徒手画出线形顺适, 平缓并与地形相适应的路线概略位置 。
? (2)选用直尺和不同半径的圆曲线弯尺拟合徒手画线, 把该画
线分解成规则的数学单元一圆弧和直线 。
? (3)在每一被分解后的圆弧或直线上各采集两个点的坐标, 从
而将直线和圆固定下来 。 通过试定或试算, 用合适的缓和曲
线将固定的线形单元顺滑地连接, 形成一条以曲线为主的连
续面线形 。
二、曲线型定线法坐标计算方法
? 回旋线参数 A的确定常用方法有：
? 1)回旋曲线尺法
2,确定回旋线参数
? 回旋线参数 A的确定常用方法有：
? 1)回旋曲线尺法
?2,确定回旋线参数
? 回旋线参数 A的确定常用方法有：
? 1)回旋曲线尺法
?2,确定回旋线参数
? 回旋线参数 A的确定常用方法有：
? 1)回旋曲线尺法
? 2)回旋曲线表法
? 3)近似计算法：
? ① 直线与圆曲线间用缓和曲线连接：
4 324 DRA ?
?式中,D—— 圆弧与直线或圆弧与圆弧之间距离；
21
21
RR
RRR
??
? 卵型曲线：
21
21
RR
RRR
??
? ② S型, 卵型曲线,（ 公式同上 ）
? 换算半径 R,S型曲线：
?2,确定回旋线参数
D
? （ 1） 直线与圆曲线连接
? 已知直线上两点 D1（ xD1,yD1） 和 D2（ xD2,yD2）, 圆曲线上
两点 C1 （ xC1,yC1） 和 D2（ xC2,yC2）,
? 圆曲线半径为 R。
? 4） 解析计算法：
? 要求设计缓和曲线 LS连接圆曲线并与直线 D1~D2相切 。 。
? （ 1） 直线与圆曲线连接
R
S
2ar cco s??
? ① 圆心坐标 M（ xm,ym）
? C1C2两点之间距离：
21
21
12 a r c t a n xx
yy
C ?
???
221221 )()( CCCC yyxxS ????
???? ?? 12Cm???? ??
12Cm
? xm=xC1+Rcosαm
? ym=yC1+Rsinαm
? 4） 解析计算法：
12
22
DD
DD
xx
yyk
?
??
? ② 圆心到直线的距离 D
? 直线 D1D2斜率：
R
k
yyxxkD DmDm ?
?
????
2
11
1
|)()(|
? （ 1） 直线与圆曲线连接
? 4） 解析计算法：
12
22
DD
DD
xx
yyk
?
??
? ② 圆心到直线的距离 D
? 直线 D1D2斜率：
R
k
yyxxkD DmDm ?
?
????
2
11
1
|)()(|
? （ 1） 直线与圆曲线连接
? 4） 解析计算法：
? ③ 回旋线参数 A及长度 Ls
? 圆曲线与直线之间的距离 D即曲线内移值 p，即 p = D。
? 若按回旋线参数 A2=RLS设计，则
DRLsp ?? 24
2
RDL S 24?
4 324 DRA ?
GQ
q2q1
p1 p2
?（ 2） 两反向曲线连接 （ S型 ）
?两曲线间距 D：
2
12
2
12
2121
)()( mmmm yyxx
DRRMM
????
???
2212212121 )()( qqppRRMM ??????
21212212 )()( RRyyxxD mmmm ??????
2122122121 )()( mmmm yyxxDRRMM ???????
22122122121 )()()( DRRqqppRR ????????
3
1
4
1
1 24 R
Ap ?
5
1
6
1
1
2
1
1 2402 R
A
R
Aq ??
3
2
4
2
2 24 R
Ap ?
5
2
6
2
2
2
2
2 2 4 02 R
A
R
Aq ??
21 kAA ?设
?用牛顿求根法可解出 A1,A2
?建立方程：
2212212121 )()( qqppRRMM ??????
?（ 3） 两同向曲线连接 （ 卵型 ）
?两圆心间距：
2122212121 )()( qqppRRMM ??????
q2-q1
R1+p1-R2-p2
2122122121 )()( mmmm yyxxDRRMM ???????
?建立方程：
22121222121 )()()( DRRqqppRR ????????
?用牛顿求根法可解出 A。
?1） 单曲线计算方法：
?由两段缓和曲线把圆曲线与两条直线连接起来。
R
2q
1q
2p
1p
),( mm yxM
HY
YH
ZH
HZ
1?
ZHML
2?HZML
1?
N
?
?
),( 11 yx
),( 22 yx
N
2?
?
?),( 33 yx
),( 44 yx
12
121 a r c t a n
xx
yy
?
???
1 8 0
,
11
12
??
?
??
xx若
34
342 a r c t a n
xx
yy
?
???
1 8 0,2234 ??? ??xx若
?3,曲线型定线坐标计算方法：
?（ 1） 曲线主点坐标计算：
? ZH,HZ点到圆心 M的方位角：
? ZH,HZ点坐标：
11 ???? ??ZM 22 180 ???? ???HM
1
1
1 q
pRa rc tg ???
2
2
2 q
pRa rc tg ???
)180c os ( ??? ZMZH MMZH LXX ?
)180s in( ??? ZMZH MMZH LYY ?
)180c os ( ??? HMH ZMMHZ LXX ?
)180s i n ( ??? HMH ZMMHZ LYY ?
2121 )( pRqL ZH M ???
2222 )( pRqL H Z M ???
?圆心 M到 HY,YH的方位角：
11 90 ???? ???M H Y 22 90 ???? ???MYH
)90c os ( 11 ??? ???? RXX MHY
)90s in( 11 ??? ???? RYY MHY
?HY,YH的坐标：
)90c os ( 22 ??? ???? RXX MYH
)90s in( 22 ??? ???? RYY MYH
?（ 2） 曲线主点里程桩号计算：
? 平曲线长度
?设前直线上点（ x1,y1）的里程桩号为 Lcz，
2121 )()( ZHZH YyXxL c zZH ?????
212112
1 8 0|| LsLsRL ??????
????? ）（
? HY=ZH+Ls1,HZ=ZH+L,YH=HZ-Ls2
?（ 2） 曲线主点里程桩号计算：
? 平曲线长度
?设前直线上点（ x1,y1）的里程桩号为 Lcz，
2121 )()( ZHZH YyXxL c zZH ?????
212112
1 8 0|| LsLsRL ??????
????? ）（
? HY=ZH+Ls1,HZ=ZH+L,YH=HZ-Ls2
?（ 3） 曲线上任意点坐标计算,（ 方法同前 ）
习题：
? 两直线上分别有两个点的坐标为：
D1(10203.65，,20328.62),D2(10526.08,20665.11)和
? D3(10837.56,20733.76),D4(11324.71,20692.14)。
? 拟设计一个半径为 265m的圆曲线与其连接，圆心坐标
为（ 10803.16,20472.29）。其中 D1点桩号为
K23+125.62。
? 要求计算确定两段缓和曲线长度并计算曲线主点里程
桩号。
M2(xm2,ym2)
M1(xm1,ym1)
N
D
αm
?2） S型曲线计算方法
?已知两圆心坐标为 M1(xm1,ym1),M2(xm2,ym2)，半径 R1,R2
（反向），计算确定缓和曲线长度 Ls1,Ls2。
R2
R1 D3
D2D1
q2
q1
q1+q2
β2
ε
εβ1
N
Q2
Q1
αQ
p2
p1
?(1)线形元素连接点坐标计算
2121
21
ppRR
qqtg
???
???
)90( ???? ??? MQ
212122122121 )()(|| RRyyxxRRMMD mmmm ?????????
?公切点 D2坐标计算,
? D2点的坐标,
?圆心 M1到公切点 D2的方位角：
，
???? ?? QDM 21
2112 c o s DMDMD LXX ???
2112 s in DMDMD LYY ???
θ
LD
LD2
22222 c os DMDMD LXX ???
22222 s i n DMDMD LYY ???
?公切点 D2坐标计算,
? D2点的坐标,
?圆心 M1到公切点 D2的方位角,???? ??
QDM 21
1
11
q
pRa rc tg ???21121 )( pRqL D ???
222222 )( pRqL D ???
21 8 022 ???? ??? QDM
2
22
2 q
pRa rc tg ???
?圆心 M2到公切点 D2的方位角：
2112 c o s DMDMD LXX ???
2112 s in DMDMD LYY ???
22222 c os DMDMD LXX ???
22222 s in DMDMD LYY ???
? 可通过两种方式解决,设定 D2为公切点，
? ①移动 M2的位置；
? ②调整 Ls2的参数 A2。
? 移动圆心 M2的位置时：
? 如果回旋线参数 A计算不准确，则由 M1和 M2计算出的 D2坐
标不相等，即 D2不是公切点。
22222 c os DMDDM LXX ???
22222 s in DMDDM LYY ???
?缓和曲线与圆连接点 D1,D3的坐标计算, （ 公式 同前）
?（ 2） 主点里程桩号计算,（ 方法同前 ）
?（ 3） 曲线上任意点坐标计算,（ 方法同前 ）
?3） 卵型曲线计算方法
?已知两圆心坐标为 M1(xm1,ym1),M2(xm2,ym2)，半径 R1,R2
（同向），计算确定缓和曲线长度 Ls1,Ls2。
2R
1R
2M
1M
D
2R
1R
1
2
q2-q1
R1+p1-R2-p2
X
D1
D2
?(1)线形元素连接点坐标计算
?5,卵型曲线计算方法
22
12t an
MM
MM
xx
yy
?
?
??
如果 xM2< xM1, α=α+180。
2211
12
0 pRpR
qqtg
???
???
111 ???? ??DM
101 ??? ??
202 ??? ??
222 ???? ??DM
1?
2?
0?
?
1? 2
?
? 则衔接点 D1和 D2坐标计算公式为：（ i=1,2）
?从小圆过渡到大圆时方位角,R1<R2
iiii DMMD Rxx ?c os??
iiii DMiMD Ryy ?s in??
118011 ???? ???DM
218022 ???? ???DM
?从大圆过渡到大圆时方位角,R1>R2
222 ???? ??DM
111 ???? ??DM
（ 2）中间缓和曲线坐标计算
? 必须检查参数 A是否在规定范围 R2/2<A<R2。
?中间缓和曲线段长度 LF计算,
? 衔接点 D1处缓和曲线长度为 lD1,D2点缓和曲线
长度为 lD2，
4
3
21
3
2
3
1
)(
24
RR
RDRA
?
?
11
2 1
1 RR
Al
D ??
? 按近似计算公式 回旋线参数：
2
2
2 R
Al
D ?
2
21
21
1
2
2
2
12 ARR
RR
R
A
R
AllL
DDF
??????
中间缓和曲线起点 M坐标计算,
?由 D1坐标推算 M坐标：
? ① 当 R1>R2时：
? D1点切线方位角：
90111 ??? ??? DMD
?M点切线方位角：
1
1
111
90
R
l D
DDDM ??????? ????
?
? 1 8 0
2 1
1
1 R
l D
D ?
中间缓和曲线起点 M坐标计算,
?由 D1坐标推算 M坐标：
? ① 当 R1>R2时,回旋线起点 M位于 D1点后方。
? D1点切线方位角：
90111 ??? ??? DMD
?M点切线方位角：
1
1
111
90
R
l D
DDDM ??????? ????
?M点坐标,)180c os (c os/
1 ???? ????? MDM xxx
)180s i n(c os/1 ???? ????? MDM xyy
?式中,x,y—— 缓和曲线终点切线支距值；
? δ—— 缓和曲线终点弦角，
x
ya rc tg??
中间缓和曲线起点 M坐标计算,
? ② 当 R1<R2时,回旋线起点 M位于 D2点前方 。
? 由 D1坐标推算 M坐标：
? M点切线方位角：
? M点坐标,1
1
111
90
R
l D
DDDM ??????? ????
)180c o s (c o s/1 ???? ????? MDM xxx
)180s i n (c o s/1 ???? ????? MDM xyy
?当计算出之间缓和曲线起点坐标及方位角后, 即
可据此计算缓和曲线上任意点坐标 。
（ 3）卵型曲线与两边线的连接计算：
?从两条直线上分别选取两个点，采集坐标，标定
两直线。同时必须确定第一条边上一点的里程桩号，
作为推算该路段里程桩号的基点。
?①分别计算卵型曲线连接两直线的缓和曲线长度
及参数；
?②计算出两段缓和曲线的 pi,qi,β i值；
?③分别计算第一圆曲线 R1的 ZH,HY点坐标，第二圆
曲线 R2的 YH,HZ点坐标。
（ 3）卵型曲线与两边线的连接计算：
?ZH里程桩号由已知里程桩号的导线点（坐标 x1,y1）
推算,
21211 )()( yyxxL c zZH ZHZH ?????
11 LsZHHY ??
???
1 8 0||
111 111 RHYYH HYMDM ???
FLYHHY ?? 12
???
1 8 0||
222 122 RHYYH YHMDM ???
22 LsYHHZ ??
αc o s/1 xL c zZH ??
1
1
xx
yya rc tg
ZH
ZH
?
???
M1
M2
R2
R1q1-q2
p2
p1
R1+p1-R2-p2
X
α
? (1) 徒手画出线形顺适, 平缓并与地形相适应的路线概略位置 。
? (2)选用直尺和不同半径的圆曲线弯尺拟合徒手画线, 把该画
线分解成规则的数学单元一圆弧和直线 。
? (3)在每一被分解后的圆弧或直线上各采集两个点的坐标, 从
而将直线和圆固定下来 。 通过试定或试算, 用合适的缓和曲
线将固定的线形单元顺滑地连接, 形成一条以曲线为主的连
续面线形 。
二、曲线型定线法坐标计算方法
? 回旋线参数 A的确定常用方法有：
? 1)回旋曲线尺法
2,确定回旋线参数
? 回旋线参数 A的确定常用方法有：
? 1)回旋曲线尺法
?2,确定回旋线参数
? 回旋线参数 A的确定常用方法有：
? 1)回旋曲线尺法
?2,确定回旋线参数
? 回旋线参数 A的确定常用方法有：
? 1)回旋曲线尺法
? 2)回旋曲线表法
? 3)近似计算法：
? ① 直线与圆曲线间用缓和曲线连接：
4 324 DRA ?
?式中,D—— 圆弧与直线或圆弧与圆弧之间距离；
21
21
RR
RRR
??
? 卵型曲线：
21
21
RR
RRR
??
? ② S型, 卵型曲线,（ 公式同上 ）
? 换算半径 R,S型曲线：
?2,确定回旋线参数
D
? （ 1） 直线与圆曲线连接
? 已知直线上两点 D1（ xD1,yD1） 和 D2（ xD2,yD2）, 圆曲线上
两点 C1 （ xC1,yC1） 和 D2（ xC2,yC2）,
? 圆曲线半径为 R。
? 4） 解析计算法：
? 要求设计缓和曲线 LS连接圆曲线并与直线 D1~D2相切 。 。
? （ 1） 直线与圆曲线连接
R
S
2ar cco s??
? ① 圆心坐标 M（ xm,ym）
? C1C2两点之间距离：
21
21
12 a r c t a n xx
yy
C ?
???
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???? ?? 12Cm???? ??
12Cm
? xm=xC1+Rcosαm
? ym=yC1+Rsinαm
? 4） 解析计算法：
12
22
DD
DD
xx
yyk
?
??
? ② 圆心到直线的距离 D
? 直线 D1D2斜率：
R
k
yyxxkD DmDm ?
?
????
2
11
1
|)()(|
? （ 1） 直线与圆曲线连接
? 4） 解析计算法：
12
22
DD
DD
xx
yyk
?
??
? ② 圆心到直线的距离 D
? 直线 D1D2斜率：
R
k
yyxxkD DmDm ?
?
????
2
11
1
|)()(|
? （ 1） 直线与圆曲线连接
? 4） 解析计算法：
? ③ 回旋线参数 A及长度 Ls
? 圆曲线与直线之间的距离 D即曲线内移值 p，即 p = D。
? 若按回旋线参数 A2=RLS设计，则
DRLsp ?? 24
2
RDL S 24?
4 324 DRA ?
GQ
q2q1
p1 p2
?（ 2） 两反向曲线连接 （ S型 ）
?两曲线间距 D：
2
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2
12
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)()( mmmm yyxx
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2 2 4 02 R
A
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21 kAA ?设
?用牛顿求根法可解出 A1,A2
?建立方程：
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?（ 3） 两同向曲线连接 （ 卵型 ）
?两圆心间距：
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q2-q1
R1+p1-R2-p2
2122122121 )()( mmmm yyxxDRRMM ???????
?建立方程：
22121222121 )()()( DRRqqppRR ????????
?用牛顿求根法可解出 A。
?1） 单曲线计算方法：
?由两段缓和曲线把圆曲线与两条直线连接起来。
R
2q
1q
2p
1p
),( mm yxM
HY
YH
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HZ
1?
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2?HZML
1?
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),( 11 yx
),( 22 yx
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12
121 a r c t a n
xx
yy
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,
11
12
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xx若
34
342 a r c t a n
xx
yy
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???
1 8 0,2234 ??? ??xx若
?3,曲线型定线坐标计算方法：
?（ 1） 曲线主点坐标计算：
? ZH,HZ点到圆心 M的方位角：
? ZH,HZ点坐标：
11 ???? ??ZM 22 180 ???? ???HM
1
1
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)180c os ( ??? ZMZH MMZH LXX ?
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2121 )( pRqL ZH M ???
2222 )( pRqL H Z M ???
?圆心 M到 HY,YH的方位角：
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)90c os ( 11 ??? ???? RXX MHY
)90s in( 11 ??? ???? RYY MHY
?HY,YH的坐标：
)90c os ( 22 ??? ???? RXX MYH
)90s in( 22 ??? ???? RYY MYH
?（ 2） 曲线主点里程桩号计算：
? 平曲线长度
?设前直线上点（ x1,y1）的里程桩号为 Lcz，
2121 )()( ZHZH YyXxL c zZH ?????
212112
1 8 0|| LsLsRL ??????
????? ）（
? HY=ZH+Ls1,HZ=ZH+L,YH=HZ-Ls2
?（ 2） 曲线主点里程桩号计算：
? 平曲线长度
?设前直线上点（ x1,y1）的里程桩号为 Lcz，
2121 )()( ZHZH YyXxL c zZH ?????
212112
1 8 0|| LsLsRL ??????
????? ）（
? HY=ZH+Ls1,HZ=ZH+L,YH=HZ-Ls2
?（ 3） 曲线上任意点坐标计算,（ 方法同前 ）
习题：
? 两直线上分别有两个点的坐标为：
D1(10203.65，,20328.62),D2(10526.08,20665.11)和
? D3(10837.56,20733.76),D4(11324.71,20692.14)。
? 拟设计一个半径为 265m的圆曲线与其连接，圆心坐标
为（ 10803.16,20472.29）。其中 D1点桩号为
K23+125.62。
? 要求计算确定两段缓和曲线长度并计算曲线主点里程
桩号。
M2(xm2,ym2)
M1(xm1,ym1)
N
D
αm
?2） S型曲线计算方法
?已知两圆心坐标为 M1(xm1,ym1),M2(xm2,ym2)，半径 R1,R2
（反向），计算确定缓和曲线长度 Ls1,Ls2。
R2
R1 D3
D2D1
q2
q1
q1+q2
β2
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Q2
Q1
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p2
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?(1)线形元素连接点坐标计算
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21
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?公切点 D2坐标计算,
? D2点的坐标,
?圆心 M1到公切点 D2的方位角：
，
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?公切点 D2坐标计算,
? D2点的坐标,
?圆心 M1到公切点 D2的方位角,???? ??
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?圆心 M2到公切点 D2的方位角：
2112 c o s DMDMD LXX ???
2112 s in DMDMD LYY ???
22222 c os DMDMD LXX ???
22222 s in DMDMD LYY ???
? 可通过两种方式解决,设定 D2为公切点，
? ①移动 M2的位置；
? ②调整 Ls2的参数 A2。
? 移动圆心 M2的位置时：
? 如果回旋线参数 A计算不准确，则由 M1和 M2计算出的 D2坐
标不相等，即 D2不是公切点。
22222 c os DMDDM LXX ???
22222 s in DMDDM LYY ???
?缓和曲线与圆连接点 D1,D3的坐标计算, （ 公式 同前）
?（ 2） 主点里程桩号计算,（ 方法同前 ）
?（ 3） 曲线上任意点坐标计算,（ 方法同前 ）
?3） 卵型曲线计算方法
?已知两圆心坐标为 M1(xm1,ym1),M2(xm2,ym2)，半径 R1,R2
（同向），计算确定缓和曲线长度 Ls1,Ls2。
2R
1R
2M
1M
D
2R
1R
1
2
q2-q1
R1+p1-R2-p2
X
D1
D2
?(1)线形元素连接点坐标计算
?5,卵型曲线计算方法
22
12t an
MM
MM
xx
yy
?
?
??
如果 xM2< xM1, α=α+180。
2211
12
0 pRpR
qqtg
???
???
111 ???? ??DM
101 ??? ??
202 ??? ??
222 ???? ??DM
1?
2?
0?
?
1? 2
?
? 则衔接点 D1和 D2坐标计算公式为：（ i=1,2）
?从小圆过渡到大圆时方位角,R1<R2
iiii DMMD Rxx ?c os??
iiii DMiMD Ryy ?s in??
118011 ???? ???DM
218022 ???? ???DM
?从大圆过渡到大圆时方位角,R1>R2
222 ???? ??DM
111 ???? ??DM
（ 2）中间缓和曲线坐标计算
? 必须检查参数 A是否在规定范围 R2/2<A<R2。
?中间缓和曲线段长度 LF计算,
? 衔接点 D1处缓和曲线长度为 lD1,D2点缓和曲线
长度为 lD2，
4
3
21
3
2
3
1
)(
24
RR
RDRA
?
?
11
2 1
1 RR
Al
D ??
? 按近似计算公式 回旋线参数：
2
2
2 R
Al
D ?
2
21
21
1
2
2
2
12 ARR
RR
R
A
R
AllL
DDF
??????
中间缓和曲线起点 M坐标计算,
?由 D1坐标推算 M坐标：
? ① 当 R1>R2时：
? D1点切线方位角：
90111 ??? ??? DMD
?M点切线方位角：
1
1
111
90
R
l D
DDDM ??????? ????
?
? 1 8 0
2 1
1
1 R
l D
D ?
中间缓和曲线起点 M坐标计算,
?由 D1坐标推算 M坐标：
? ① 当 R1>R2时,回旋线起点 M位于 D1点后方。
? D1点切线方位角：
90111 ??? ??? DMD
?M点切线方位角：
1
1
111
90
R
l D
DDDM ??????? ????
?M点坐标,)180c os (c os/
1 ???? ????? MDM xxx
)180s i n(c os/1 ???? ????? MDM xyy
?式中,x,y—— 缓和曲线终点切线支距值；
? δ—— 缓和曲线终点弦角，
x
ya rc tg??
中间缓和曲线起点 M坐标计算,
? ② 当 R1<R2时,回旋线起点 M位于 D2点前方 。
? 由 D1坐标推算 M坐标：
? M点切线方位角：
? M点坐标,1
1
111
90
R
l D
DDDM ??????? ????
)180c o s (c o s/1 ???? ????? MDM xxx
)180s i n (c o s/1 ???? ????? MDM xyy
?当计算出之间缓和曲线起点坐标及方位角后, 即
可据此计算缓和曲线上任意点坐标 。
（ 3）卵型曲线与两边线的连接计算：
?从两条直线上分别选取两个点，采集坐标，标定
两直线。同时必须确定第一条边上一点的里程桩号，
作为推算该路段里程桩号的基点。
?①分别计算卵型曲线连接两直线的缓和曲线长度
及参数；
?②计算出两段缓和曲线的 pi,qi,β i值；
?③分别计算第一圆曲线 R1的 ZH,HY点坐标，第二圆
曲线 R2的 YH,HZ点坐标。
（ 3）卵型曲线与两边线的连接计算：
?ZH里程桩号由已知里程桩号的导线点（坐标 x1,y1）
推算,
21211 )()( yyxxL c zZH ZHZH ?????
11 LsZHHY ??
???
1 8 0||
111 111 RHYYH HYMDM ???
FLYHHY ?? 12
???
1 8 0||
222 122 RHYYH YHMDM ???
22 LsYHHZ ??
αc o s/1 xL c zZH ??
1
1
xx
yya rc tg
ZH
ZH
?
???
M1
M2
R2
R1q1-q2
p2
p1
R1+p1-R2-p2
X
α
