1
APT理论的均衡证明
我们假定一个只有现在和未来两个时刻的两期模型，现在是确定的，未来
是不确定的。假定市场中有n种风险资产，其未来价格是n个随机变量
12
,,,
n
x xxnull；第0种资产是无风险资产，其未来价格
0
x是确定值； n+1种资产
的当前价格为
0
()p x，
12
(),( ), ,( )
n
p xpx pxnull。这n+1种资产的投资组合可用n+1
维向量
01
(,, , )
n
θ θθ θ=null来表示。那么投资组合的当前价格为
00 11
() () ()
nn
ypx px pxθ θθ=+++null
而投资组合的未来价格为
00 11 nn
yxx xθ θθ= +++null
假设有一个投资者，他在当前的财富禀赋为
0
ω，未来的财富禀赋为
1
ω。投
资者在现在时刻还持有一个初始资产组合
0
θ。他的效用是用当前消费
0
z和未来
消费
1
z的期望效用函数
01
(,)uz z来衡量的。投资者可以用禀赋购买金融资产，也
可以卖掉初始的投资组合，构造新的投资组合，以跨期分配消费而达到效用最
大化，因此，他面临的最优资产选择问题如下：求当前消费
0
z和持有的投资组
合
1
θ，使得
01
(,)Euz z??
??
达到最大。问题可表述为：求资产组合
1
θ，使得
( )
()
01
00 10
0
11 1
0
max ,
. . ( )
n
kk k
k
n
kk
k
Euz z
St z p x
zx
ωθθ
ωθ
=
=
??
??
=? ?
=+
∑
∑
（1）
假设n种风险资产的收益率/()
jj j
rxpx=之间相互独立。我们由此出发来推导
Ross的APT。
一、个体最优状态的特征
命题 1：问题(1)的解
1
θ及其相应的
0
z，
1
z满足下列方程：
01
0
01
[(,)]
[(,)]
x
y
Eu z z
r
Eu z z
= (2)
2
01
0
[(,)( )]0, 1,,
yj
E uzz r r j n?= =… (3)
其中
01
,,
n
rr r…分别为各证券（证券）的收益率。
证明：问题(1)的Lagrange函数为
01 1
0
00 01
,
() ()
n
k
k
nn
kk kk
LEuz
p xz px
ωθ
λω θ θ
=
==
????
=+
????
??
??
++ ??
∑
∑∑
根据一阶条件，问题（1）的解
1
θ及其相应的
0
z，
1
z满足以下条件：
01
0, 0, 0,1, ; 0
j
LL L
jn
z θλ
?? ?
=== =
?? ?
…
从而
01
[(,)]
xj
Eu z z x λ= (4)
01
[(,)] ()0, 0,1,,
yjj
E uzzx px j nλ?==… (5)
注意到/()
jj j
rxpx=则有
01 01
[(,)/()] [(,)] , 0,1,,
yjjyj
E uzzx px Euzzr j nλ===… (6)
取0j =，考虑(4)的结论(2)；取0j ≠并与取0j =时的(6)相减得结论(3)。
二、个体最优状态的特征
如果市场上有I个这样的投资者，即他们各自有禀赋
0i
ω，资产组合
0i
θ和效
用函数
01
(,)
iii
uz z；每个投资者面临着金融资产的选择问题：投资者各自作出最
优选择
1i
θ，使之为下列问题的最优解
( )
()
01
00 10
0
11 1
0
max ,
. . ( )
iii
n
ii ii
kk k
k
n
ii i
kk
k
Eu z z
St z p x
zx
ωθθ
ωθ
=
=
??
??
=? ?
=+
∑
∑
如果市场上资产价格使得资产的需求等于供给：
3
01
11
, 0,1,...,
II
ii
kk
ii
knθθ
==
==
∑∑
那么称市场达到均衡。为简单起见，我们直接假设在这种情况下均衡存在。
命题 2：如果对于定价
01
(),(), ,()
n
p xpx px…，
11 12 1
,,,
I
n
θ θθ…形成市场均衡价
格，那么
i）
00
11
II
ii
ii
zω
==
=
∑∑
，即当前消费并未动用证券市场中的资金。
ii）
1
0, 1, , , 1, ,
i
k
kniIθ >= =……，即个人最优组合中没有买空且每种资产的
持有量均为正。
证明：i)是直接的。
ii) 由(3)得
4
三、APT 的均衡解释
常用的APT多因子线性模型：
为什么可以认为()0
j
E ε =对j都成立呢？实际上是说扰动项都“一致地小”。
假设市场中不同风险证券的数量n远远大于风险因子的个数K，并假设前K种
风险因子就是前K个风险证券（基准证券）；个体风险证券的扰动比较小存在一
个数量界线：
(7)
鉴于对投资者风险厌恶的假设，认为各自的风险厌恶程度也有一个界线，则有
(8)
那么，有下列定理。
5
证明：由命题2的证明中用中值定理的过程以及注意到(8)式，和命题2的ii)，
可以得到
112
0
[ ] () () () , 1, ,
ii ii
jjjjjj
E rr pxVarr px j nγθ γθ σ?≤ ≤ =…
由(7)式得
12
,0, ,
[] [ ( )]| | ( ) | | ()
ii M
j jjk jk jjk jk jk jjk jk
EE rr px wnελ λγθ σλα
++ + + + + +
=?≤ ≤
1
说明：
1） K种风险因素之外的证券所占权重一致性地减少，则“非系统风险”即个体
的“扰动”风险可以忽略。
2） K种风险因素之外的证券所占权重一致性地减少，说明在组合分散化过程中，
K种证券因素起到关键作用。
3） 定理说明，K种风险因素可以构成市场的“基础解系”，用它来确定单个证
券收益是比较“精确”的。
1
注：后面的表达式的推理还不十分清楚。
