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选编自 史树中教授的《金融经济学十讲》第七讲。
1
两时期 CAPM 模型
一、模型假设
z 只有现在和未来两个时刻，现在是确定的，未来是不确定的；
z 假定市场中有n种风险资产，其未来价格是n个随机变量
12
,,,
n
x xxnull；
z 第0种资产是无风险资产，其未来价格
0
x是确定值；
z 假设n＋1种资产的当前价格为
0
()p x，
12
(),( ), ,( )
n
p xpx pxnull。这n+1
种资产的投资组合可用n+1维向量
01
(,, , )
n
θ θθ θ=null来表示。那么投资组
合的当前价格为
00 11
() () ()
nn
ppx px pxθ θθ=+++null
投资组合的未来价格为
00 11 nn
y xx xθ θθ=+++null
z 假设有一个投资者，当前的财富禀赋为
0
ω，未来的财富禀赋为
1
ω。投
资者在现在时刻还持有一个初始资产组合
000
1
(, )
n
θ θθ=…。他的效用是用
当前消费
0
z和未来消费
1
z的期望效用函数
01
(,)uz z来衡量的。投资者可
以用禀赋购买金融资产，也可以卖掉初始的投资组合，构造新的投资组
合，从而跨期分配消费而达到效用最大化，因此，他面临的最优资产选
择问题如下：求当前消费
0
z和投资（持有）组合
111
1
(, )
n
θ θθ=…，使得
01
(,)Euz z??
??
达到最大。更确切地说，问题可表述为：求资产组合θ，使
得
( )
()
01
00 10
0
11 1
0
max ,
. . ( )
n
kk k
k
n
kk
k
Euz z
St z p x
zx
ωθθ
ωθ
=
=
??
??
=? ?
=+
∑
∑
（1.1）
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2
这里第一个等式是确定量的等式，第二个等式是随机量的等式，由此出
发来推导著名的资本资产定价模型（CAPM）。
二、均值方差假设
z 为导出CAPM，需要假定
( ) ( )
01 0 1 1
,,,Euz z vz Ez Varz
??
? ???=
? ???
??
，即效用
函数只与现在消费以及未来消费的均值和方差有关（均值-方差形式）。
马科维茨在他的资产组合选择理论中（Markowitz，1952），开始时没有
使用期望效用函数，而仅以组合收益率的均值和方差来衡量组合收益的
优劣，即只提出所谓“均值-方差准则”。托宾（Tobin，1958）发现在
以下两个假设下，都可使期望效用函数变为均值-方差形式，即（1）运
用二次效用函数；（2）假定随机变量服众正态分布。
z 在这样的假定下，如果再假定
1
ω是常数，那么问题（1.1）可以表达为
均值方差效用的形式。由于
[]1
1
0
n
kk
z
k
E xμθ
=
=
∑
1
211 1
11 ,1
,,
nn n
j kjk jkjk
z
jk jk
Cov x x Cov x xσθθ θ
== =
? ???
? ???
∑∑ ∑
这样，问题（1.1）变为：求资产组合
1
θ，使得
( )
()
()
[]
11
1
1
02
00 01
0
1
0
211
,1
max , ,
..
,
zz
n
kk k
k
n
kk
z
k
n
jk j k
z
jk
vz
St z p x
Ex
Cov x x
μσ
ωθθ
μθ
σθθ
=
=
=
=+ ?
=
? ?=
? ?
∑
∑
∑
（1.2）
为简化表述，记(, ,)vvxyz=，它对三个变量的偏导数分别记为,,
xyz
vvv。
要求0, 0, 0
xyz
vvv>><,它们分别意味着：“现在时刻消费越多效用越
大”；“未来时刻消费越多效用越大”；“未来消费的风险越小越好”。
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三、个体最优状态的性质
问题（1.2）的拉格朗日函数为
01 1
0,
00 01
(, [], cov[,])
(() ()
nn
kk jk jk
kjk
nn
kk kk
L vz Ex x x
p xz px
θθθ
λω θ θ
==
==
=
++ ??
∑∑
∑∑
根据一阶条件，问题（1.2）的解（
1
θ）满足以下条件（？？）：
11
11
02
0
02
(, , )
(, , )
x
zz
y
zz
vz
r
vz
μ σ
μ σ
=
（1.3）
11
11
02
1
0
02
1
(, , )
[ ] 2 ( )cov[ , ] 0, 1,...,
(, , )
n
z
zz
jkkj
k
y
zz
vz
E rr px rr j n
vz
μσ
θ
μσ
=
?+ = =
∑ （1.4）
其中，
0
z，
1
z为对应
1
θ的
0
z，
1
z；
1
,...,
n
rr
分别为各金融资产的收益率。
四、市场均衡时的资产组合
如果市场上共有I个“同质”的投资者，即他们各自有禀赋
0i
ω，资产组合
0i
θ
和效用函数
i
v；每个投资者面临着金融资产的选择问题：
( )
()()
[]
11
1
1
02
00 01
0
1
0
211
,1
max , ,
..
,
ii
i
i
ii
zz
n
ii ii
kk k
k
n
i
kk
z
k
n
ii
jk j k
z
jk
vz
St z p x
Ex
Cov x x
μσ
ωθθ
μθ
σθθ
=
=
=
=+ ?
=
? ?=
? ?
∑
∑
∑
（1.5）
投资者各自作出最优选择
1i
θ，如果市场上资产价格使得资产的需求等于供给，
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即
01
11
,0,1,.,
II
ii
kk
ii
knθθ
==
==
∑∑，那么称市场达到均衡。为简单起见，我们直
接假设在这种情况下均衡存在。
由式（1.4），可得
1
0
1
()cov[,], 1, ,
n
ii
jkkkj
k
E rrA px rr j nθ
=
???= =
??
∑
null
（1.6）
其中，由式（1.3），
11
11
02
02
(, , )
20
(, , )
i
z
i
zz
i
y
zz
vz
A
vz
μσ
μσ
=? >
把式（1.6）写成矩阵形式，则可得
[] ()
1
0
, 1, ,
i
i
Er re AV px i Iθ?= =null
其中
[] [] []()()
1
,,1,1
T
T
n
Er Er Er e==nullnull
() ()
( )
11 1
1
1
() , ,
T
ii i
n
n
px px pxθθ θ=null
( ) ( )
,1,,
,1,,
,
jk j k
jk n
jk n
VV Covrr
=
=
??==
??
null
null
因此
() []( )
1
1
0
, 1, ,
i
i
A px V Er re i Iθ
?
=?=null
（1.7）
上式右端与i无关，从而可得
() () ()
11 21 1
12
,1,,
I
I
kk k
kk k
A px A px A px k nθθ θ=== =nullnull
（1.8）
令
() ()
11
1
/ , 1, ,
n
ii
i
kk
kk k
k
px px k nωθ θ
=
∑
null
这是第i个投资者的最优组合中的第k种风险资产的价值在其持有资产总价值中
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所占的比重。那么由式（1.6）可得
()
()
1
1
0
11
1
1
,
,
i
nn
i
ii
k
jkkkj
kk
n
i
i
k
kj
k
E rrA px Covrr
ApxCovrr
θ
θω
θ
==
=
?? ? ??=
?? ? ?
??
? ?
=
??
? ?
??
∑∑
∑
（1.9）
其中
1
1
i
n
i
kk
k
rr
θ
ω
=
=
∑
，由上式可得
()
()
1
1
0
111
,
i
nnn
i
ii i
k
jj k j j
jk
Er r A px Covr r
θ
ωθω
===
??
??
???=
??
??
??
??
∑∑∑
因为
()1
00
1
i
n
i
jj
j
Er r Er r
θ
ω
=
??
??? =?
??
??
∑
( )
1111
1
,,
iiii
n
i
jj
j
Cov r r Cov r r Var r
θθθθ
ω
=
?? ??
==
?? ??
∑
由此即得
( )
11
1
0
1
() /
ii
n
i
i
k
k
k
A px Er r Varr
θθ
θ
=
??
? ???
=?
??
? ???
??
∑
带入（1.9）我们有
()
1
1
1
00
,
i
i
i
j
j
Cov r r
Er r Er r
Var r
θ
θ
θ
??
??
??
???= ?
??
??
??
??
对于固定的k，所有
i
k
ω
都相等，并且都等于市场组合相应的比例系数
M
k
ω。事
实上，由式（1.7），我们可得
[]()
1
1
0
1
() , 1, ,
n
i
ii
k
k
k
A px V Er re i Iθω
?
=
??
=?=
??
??
∑
null
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其中( )
1
,,
T
ii i
n
ωω ω=null
。但是由式（1.8），
1
1
()
n
i
i
k
k
k
A pxθ
=
??
??
??
∑与i无关。因此，
i
ω与i无关，即对于固定的k，所有
i
k
ω都相等。另一方面，
() ()
()
()
()
01
11
01
11 11
11
11 11
11 11
() ()
()
II
ii
kk kk
M
k
nI nI
ii
kk kk
ki ki
In nI
ii i
kkk kk
ii
ik ik
kk
nI nI
kk kk
ki ki
px px
px px
px px
px px
θθ
ω
θθ
ωθ θ
ω ω
θθ
==
== ==
== ==
== ==
=
∑∑
∑∑ ∑∑
∑∑ ∑∑
∑∑ ∑∑
这样，对于任何资产i，1i
m
rr
θ
=
，因而可得
[]
[]()
00
,
mj
jm
m
Cov r r
Er r Er r
Var r
??
??
???= ?
??
这就是资本资产定价模型（CAPM）的经典形式，是用均衡定价的思想构造
模型来推出资本资产定价模型。我们从研究单个投资者的消费－投资决策出发，
在市场均衡的条件下获得了均衡的定价关系：风险溢价是定价的核心，投资者
对不可分散的风险要求相应的回报，风险暴露程度高（β值高）的金融资产期
望收益也高。
需要注意的是上，以上CAPM的建模主要包括如下假设：第一，完全竞争
的市场，即市场上存在着大量的投资者，每个投资者的财富相对财富总和来说
均微不足道，投资者是价格的接受者，单个投资者的交易行为对股票价格不产
生影响；第二、两时期的决策模型，即只有现在和未来两个时期，投资者根据
对未来的预期来形成现在的决策；第三、不考虑交易成本和税收影响；第四、
投资人追求期望效用最大化，效用函数需要是“均值－方差效用函数” ；第五、
同质性信念假设，即投资者关于股票收益率的概率分布预期是一致的。
