1
冲击问题
典型习题解析
1 一圆杆横截面面积为 A，弹性模量为 E ，杆下端带一法兰盘，杆上部套一圆形重物，如
图所示。设重物 P 离法兰盘高为 h ，当重物自由落下时，形成冲击载荷作用在杆上。试计算
杆中动应力。
解题分析： 假设冲击物和杆端法兰均为刚体，则它们在冲击过程中没有应变能。同时，不考
虑其他能量损失，则，根据这一关系，即可建立冲击过程中的最大应力、变形等。
解： 重物落下后，当其达到最低点时，其势能完全转化为杆的应变能。所以有
εp
VE = (a)
其中
P
E 为冲击物的势能。设受冲击后杆的最大变形为
d
? ，则
)(
dp
?hPE += (b)
ε
V 为杆被冲击后的应变能， 设重物对杆冲击作用的最大作用力为
d
F ，
则
d
F 做的功即为杆增加的应变能。
所以，
ddε
2
1
?FV = (c)
于是由（ a） ， （ b） ， （ c）三式有
ddd
2
1
)( ?F?hP =+ ，或 022
ddd
=?? PhP??F (d)
对线弹性体，载荷与其相应位移存在关系
st
?kP ?= ， k 为刚度系数。
st
? 为载荷 P 作用
下杆的位移。设杆长为 l ，则
EA
Pl
? =
st
。动载荷时，同样有
dd
k?F =
于是有 P
?
?
?
?
P
F
st
d
d
st
d
== 。定义
d
st
d
k
?
?
= 为 动载荷因数 ，则有
d
st
d
st
dd
k
?
?
P
F
===
σ
σ
，将上述关系代入（ d）式得： 022
stdst
2
d
=?? h????
解得： )
2
11(
st
std
?
h
?? ++=
于是
stst
d
d
2
11
?
h
?
?
k ++==
题 1 图
2
有了动荷因数后，可用下面式子计算动载荷作用下构件的变形和应力。
冲击载荷： PkF
dd
=
冲击位移：
stdd
?k? =
冲击应力，即杆中的动应力：
A
P
kk
dstdd
== σσ
讨论： (1)、冲击载荷或其他动载荷作用下构件变形和应力计算可归结为计算动荷因数
d
k ，
算出
d
k 后，只要将相应的静载荷下的变形和应力乘以
d
k ，即得到动载荷作用下构件的变形
和应力。 (2)、当 0=h 时，为突加载荷情况，这时 2
d
=k 。 (3)、水平冲击问题：设冲击物撞
击构件瞬间的速度为 υ，只须将前面（ a）式右端改为
ε
2
2
1
V
g
P
=? υ ，即可导出
st
2
d
g?
k
υ
= 。
（ 4） 、前面推导过程中，冲击物的势能取为 )(
dp
?hPE += ，一般情况下 h? <<
d
，可将其忽
略，取 PhE =
p
，读者可仿照上面推导一下，并讨论忽略后对
d
k 有什么影响。
2 如图所示柱筒内重为 N 20=W 重物从高为 mm 440=h 处落到一个弹簧上，弹簧常量
kN/m 10=k 。 （ 1）确定弹簧的最大压缩位移； （ 2）
计算动荷因数。
解题分析： 忽略重物在冲击过程中的变形，并忽略
能量损失，则重物冲击弹簧后，其势能全部转化为
弹簧应变能， 利用能量守恒原理， 则有
εp
VE = ， =
ε
V
外力功。
解： 1、 计算弹簧最大位移
设弹簧被冲击后，最大位移为
d
? ，弹簧承受的最大冲击力为
d
F ，则由能量守恒得
ddd
2
1
)( ?P?hW =+ 。
由于弹簧常量为 k ，所以有
st
k?W = ，
dd
k?P = 。
st
? 为重物静止放在弹簧上时弹簧
的缩短量。于是有
ddd
2
1
)( ?k??hW ?=+
即 022
d
2
d
=?? WhW?k? 或 022
stdst
2
d
=?? h???? 。解得 )
2
11(
st
std
?
h
?? ++=
弹簧
空心柱体
h
重物
题 2 图
3
而 m 102
N/m 1010
N 20
3
3
st
?
×=
×
==
k
W
?
代入前式得 mm 44m 1044
m 102
m 104402
1m(1 102
3
3
-3
3
d
=×=
×
××
++×=
?
?
?
?
2、 计算动荷因数
将动载荷理解为变大了或变小了的静载荷，动载与静载之间存在特定的比例关系，
即 WkF
dd
= ，其中系数
d
k 即为动荷因数。
将上式两边同除以弹簧常量 k ，得到：
k
W
k
k
F
d
d
= ，
stdd
?k? =
所以本问题的动载荷因数为： 22
m 102
m 104402
11
2
11
3
3
stst
d
d
=
×
××
++=++==
?
?
?
h
?
?
k
讨论： （ 1） 、在线弹性范围内，载荷、变形、应变、应力之间都是线性关系，也就是说，当
外载荷被放大
d
k 倍，则变形、应力、应变也同样被放大
d
k 倍。所以有
stdd
σσ k= 。有了
d
k 很
方便就能计算出动载荷条件下被冲击物的各量。 （ 2） 、但应注意，对不同的问题，
d
k 有不同
的表达式，不能生搬硬套。 （ 3） 、掌握本题所采用的以能量守恒为基本原理的分析方法是最
重要的。
3 一个橡胶小球重 mN 300=W ，用一橡皮筋连在一木拍上，橡皮筋长 mm 300
0
＝L ，横截
面面积
2
mm 6.1=A ，弹性模量 MPa0.2=E 。用木拍击打小球后，小球拉动橡皮筋，使橡
皮筋总长达到 m 0.1
1
=L ，试问小球离开木拍瞬间的速度是多少？假设橡皮筋为线弹性体，
而且忽略小球的势能。
解题分析： 木拍击打小球是冲击载荷问题。小球受木拍撞击飞出，将连接小球和木拍的橡皮
筋拉长。小球离开木拍的瞬间有一个初速度，橡皮筋被拉长的同时，小球速度不断减小，当
小球速度为零时，橡皮筋被拉至最长。假设不考虑小球的势能变化，则小球离开木拍瞬间的
动能完全转化为橡皮筋的应变能。即
εk
VE = 。
解： 设小球离开木拍瞬间速度为 υ ，则其动能
2
2
1
υ
g
W
E
k
= ；而橡皮筋被拉至最长时应变能
LFV ?
2
1
ε
?= ，其中 F 为小球速度为零时橡皮筋所受拉力。由于假设橡皮筋为线弹性变形，
4
所以 EA
L
L
AEAF
0
?
=== εσ ，于是
2
0
ε
)?(
2
L
L
EA
V =
代入能量守恒方程
εk
VE = ，得
2
0
2
)(?
22
1
L
L
EA
g
W
=υ ，
m/s 1.13m) 10300m 0.1(
m 10300N 10300
m/s 8.9m 106.1Pa 100.2
)()?(
23
33
2266
2
01
0
2
0
=×?
×××
××××
=
?==
?
??
?
LL
WL
EAg
L
WL
EAg
υ
讨论： 橡皮筋最后伸长是原长的 3 倍多，显然小变形假设已经不成立。假设放弃线弹性假
设，上面的应变能计算公式不再成立，而能量守恒方程依然成立。
4 一刚性杆 AB，质量 kg 1.0=m ，长 m 5.0=L ，在 A 端铰接， B 端用尼龙绳 BC 悬挂在 C
点，如图所示。设尼龙绳横截面面积为
2
mm 30=A ，长 m 25.0=b ，弹性模量 GPa 1.2=E 。
现将杆 AB 抬起到它的最高位置，然后释放，则尼龙绳中最大应力是多少？
解题分析： 杆 AB 被抬起后，具有势能，落下后，到图 a 中实线位置时，对尼龙绳造成冲
击，将尼龙绳拉长，直到 AB 杆速度为零时，尼龙绳伸长量达到最大。由于 AB 为刚性杆，
并且不计其他形式能量损失，可以认为其势能完全转化为尼龙绳的应变能。即：
εp
VE =
解： 1、计算 AB 杆的势能
如图 b 所示，设 AB 杆的质量集中在 AB 杆质心上，质心到 AB 的垂直距离为
α2sin
2
1
L ，其中
L
b
arctan=α 。设尼龙绳被冲击后最大伸长量为
d
? ，则杆 AB 总势能
)2sin(
2
1
)
2
1
2sin
2
1
(
ddp
αα L?mg?LmgE +=+=
2、 计算尼龙绳的应变能
尼龙绳最大伸长量为
d
? ，这时其应变能
2
dddε
)(
22
1
?
b
EA
?FV == ，其中
d
F 为尼龙绳
(a) (b)
题 4 图
杆
尼龙绳
5
变形为
d
? 时绳的拉力。
3、 计算尼龙绳中最大应力
由能量守恒有
2
dd
)(
2
)2sin(
2
1
?
b
EA
L?mg =+ α
解得：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
++=
)
2
(
2sin2
11
2
d
EA
bmg
L
EA
bmg
?
α
其中 m 10944.1
m 1030 Pa101.22
m/s 8.9kg0.1m 25.0
2
5
269
2
?
?
×=
××××
××
=
EA
bmg
m 8.0
m) 25.0(m) 5.0(
m) 5.0(m 25.0442
22sin2
22
2
22
2
22
=
+
××
=
+
=
+
=
bL
bL
bL
bL
LL α
m 10963.3)
m 101.944
m 0.8
1m(1 10944.1
3
2
5
d
??
×=
×
++×=?
考虑到
dd
?
b
EA
F ?= ，所以绳中最大应力
MPa 33.3Pa 103.33m 10963.3
m 25.0
Pa 101.2
63
9
d
d
d
=×=××
×
=?==
?
?
b
E
A
F
σ 。
5 图示 AC 杆在水平平面 ABC 内，绕过 A 点的垂直轴以匀角速度 ω 转动，杆的 C 端有一
重为 G 的集中质量，如因支座 B 的约束， AC 杆突然被停止转动，试求 AC 杆内最大冲击应
力（忽略杆 AC 的质量）
解题分析： 本题属于水平冲击问题， AC 杆在水平平面
内转动，因此冲击物的势能不变，只有动能和应变能的
变化，根据能量守恒
εk
VE = 。
解： 冲击开始的瞬时，重物 G 在 C 点有线速度 ω l，冲
击结束时，其末速度为零，故动能变化为
()
2
k
2
1
l
g
G
E ω=
杆应变能
ε
V 的变化等于冲击力
d
F 在位移
d
? 上所做
的功，即
()()
ddddε
2
1
2
1
?k??FV =＝， k 为结构刚度系数，
st
?
G
k = 。
于是 () ()
2
d
st
2
2
1
2
1
?
?
G
l
g
G
?
?
?
?
?
?
?
?
=ω 。
B
A
C
C
G
C
l
l
1
题 5 图
d
?
ω
6
由此可得
std
st
st
st
d
1
?k
g?
l?
g
?
l? === ωω ，
d
k 为冲击因数或动载荷因数。
在 G 作为静载荷作用于 C 点，引起 AC 杆在 C 点的静挠度为
()
EI
lllG
?
3
2
1
st
?
= ，所以
Gg
EI
ll
k
3
1
d
?
=
ω
AB 杆的 B 截面上具有最大弯矩
()
Gg
lEI
GGkllFM
3
d1dmaxd
ω=?=?=
所以
Gg
lEI
W
G
W
M 3
maxd
maxd
ω
σ == 。
6 图示一悬臂梁在自由端处安装一吊车，将重量为 W 的重物以匀速 υ下落，若吊车突然制
动，试计算绳中的动应力。已知梁的弯曲刚度为 EI，长为 l，绳的横截面面积为 A，制动时
绳长为 a，梁、绳及吊车的自身重量不计。
解题分析： 本题的能量转换关系为，制动后系统的动能
和势能的减少等于系统应变能的增加。
解： 1、制动前能量分析
将绳和梁看作一个线弹性系统，制动前系统的
能量包括：吊重的动能为
2
2
1
υ
g
W
，因重物 W 的作
用， 系统的应变能， 大小等于外力功
st
2
1
W? ， 其中
st
?
为绳子在 W 作用下的伸长与梁在 W 作用下的自由端处的挠度之和， 即
EI
lW
EA
Wa
?
3
3
st
+= ；
吊重的势能为
st
W? （以无吊重时绳子的下端点为零势能位置）。
2、制动后系统的能量变化
制动后， 由于重物 W 的惯性力作用使系统的变形增大， 设制动后系统的总变形量为
d
? ，
系统的弹性应变能为
dd
2
1
?F ，动能为零，势能改变了 )(
sd t
??W ? 。
3、绳中动应力
制动后系统的动能和势能的减少等于系统应变能的增加，即
εpk
VEE ?=?+?
()
stddstd
2
2
1
2
1
2
1
W??F??W
g
W
?=?+υ
v
W
st
d
l
a
题 6 图
7
在线弹性范围内
st
dd
?
?
W
F
=
将上式代入能量守恒表示式中并整理可得
02
st
2
2
ststd
2
d
=?+? ?
g
????
υ
由此解得
std
2
std
1 ?k
gE
?? =
?
?
?
?
?
?
?
?
+=
υ
,
st
2
d
1
g?
k
υ
+= 为动荷因数
绳中的动应力
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
+
+==
EI
lW
EA
Wa
g
A
W
k
3
1
2
2
stdd
υ
σσ 。
