应力、应变状态分析 典型习题解析 1 已知矩形 截面梁，某截面上的剪力 F S =120 kN及弯矩 mkN10 ?=M 。绘出表示 1、 2、 3 及 4 点应力状态的微体，并求出各点的主应力。 b = 60 mm， h = 100 mm。 解题分析 ： 从图中可分析 1、 4 点是单向应力状态， 2 点在中性轴上为纯剪切应力状态， 3 1 取平行和垂直与梁横截面的六个平面，构成微体。则各点处的应力状态如图示。 2、 梁截面惯 性矩为 点微体上既有正应力又有切应力。 解： 、画各 点处微体的应力状态图 计 算各点处主应力 48 43333 m10500 12 m10100(1060 12 ? ?? ×= ××× == ）bh I z 1 点处弯曲正 应力（压应力） MPa100Pa10100 m10500 m1050mN1010 6 48 33? =×= × ××?× == ? ? z I My σ 1 点为单向压 缩受力状态，所以 0 21 ==σσ ， MPa100 3 ?=σ 2 点为纯剪切 应力状态， MPa30Pa1030 m10100602 N101203 6 26 3 =×= ××× ×× = ? τ （向下） 容易得到， MPa30 1 =σ ， 0 2 =σ ， MPa30 3 ?=σ 3 点为一般平 面应力状态 弯曲正应力 MPa50Pa1050 m10500 m1025mN1010 6 48 33 =×= × ××?× == ? ? z I My σ 弯曲切应力 σ 1 4 τ 2 F S =120 kN 题 图1 中 性 轴 3 2 4 h σ τ25 mm 3 1 b M=10 kN·m σ 3 1 50 mm 1 MPa5.22Pa1050.22 m10500m1060 m105.372560N10120 6 483 393* S =×= ××× ××××× == ?? ? z z bI SF τ MPa6.8 MPa6.58 Pa)105.22() 2 Pa1050 ( 2 Pa1050 ) 2 ( 2 262 66 2 2 min max ? =×+ × ± × = + ? ± + = x yxyx τ σσσσ σ σ 所以 MPa6.58 1 =σ ， 0 2 =σ ， MPa6.8 3 ?=σ 4 点为单向拉 伸应力状态，拉伸正应力的大小与 1 点相等。所 以 4 点的主 应力为 MPa100 1 =σ ， 0 32 ==σσ 2 试求图示 微体斜截面上的应力，主应力及其方位，并求最大切应力。 解题分析： 所要计算的斜截面外法线与 x 轴的 夹角 α 为正 。 斜截面应力计算公式中， D 60 α 角正负号规定为自 x 轴 正向逆时针转向外法线为正。 解： 1、计算 斜截面上应力 选取 x y 坐 标系，如图示。则该微体各应力为 MPa40= x σ ， MPa20= y σ ， MPa10= x τ D 60=α 斜截面上的应力为 MPa3.16120sinMPa10120cos 2 MPa2040 2 MPa2040 2sin2cos 22 =? ? + + = ? ? + + = DD ）（）（ ατα σσσσ σ α x yxyx 22.5 o 10 MPa x σ 2 y 20 MPa 40 MPa 30 o 图 2 2 MPa66.3120cosMPa10120sin 2 MPa2040 2cos2sin 2 =+ ? = + ? = DD ）（ ατα σσ τ α x yx 2、计算主应 力及其方位 ? ? ? =+ ? ± + = + ? ± + = MPa9.15 MPa1.44 MPa10) 2 MPa2040 ( 2 MPa2040 ) 2 ( 2 22 22 min max ）（ ）（）（ x yxyx τ σσσσ σ 所以主应力为 MPa1.44 1 =σ ， MPa9.15 2 =σ ， 0 3 =σ 由公式 min 0 tan σσ τ α ? ?= x x 得 D 5.22) MPa9.15MPa40 MPa10 arctan()arctan( min 0 ?= ? ?= ? ?= σσ τ α x x 所以主应力 1 σ 对应的方位为 。 D 5.22? 3、计算最大 切应力 MPa1.22 2 0MPa1.44 2 31 max = ? = ? = σσ τ 讨论 ： 当采 用公式 yx x σσ τ α ? ?= 2 2tan 0 计算 时，得 或 。这时往往 不 能直观判 定方位角 对应的是 D 5.22 0 ?=α D 5.67 0 =α D 5.22 0 ?=α 1 σ 的方位或 是 2 σ 的方位 。采用公 式 min 0 tan σσ τ α ? ?= x x 或 y x σσ τ α ? ?= max 0 tan 计算时，可以避免这一问题。 3 自受力构 件内取一微体，其上承受应力如图 a 所示， 3/στ = x 。试求此点的主应力及主 平面微体。 σ a a τ 3 (c)(a) (b) σ d b τ y x σ/3 σ/3 σ τ τ x σ x c b σ 60 o 60 o 题 3 图 解题分析 ： 本 题 微 体 为 一 三 角 体 。 为使用极值应力计算公式， 应首先建立直角坐标系并确定 x σ 、 y σ 和 x τ 。 微体处 于静力平衡状态， 所 以 从 其 上 切 取 的 任 何 一 块 也 应 处 于 静 力 平 衡 状 态 。 在建立直角坐标系后，利用上述关系可计算出 x σ 、 y σ 和 x τ 。 建立直角坐标系，如图 b所示。图 b 中，解： 从三角 形微体中取出一直角三角形 adb， 并 D 90=∠adb ，并用 A ab 表示 ab斜面面 积。设在 ad截面上设正应力为 x σ 、切应力为 x τ 。 当 将 竖直切开后， 由于左右对称性， 所以截开面 ad上的剪应力必为零， 即 0= 微 体 abc从中间 x τ 。由 剪应力互等定理知 db边 上切应力也为零。所以，可以确定 ad面和 db面即 是该点的主平面。 由于直角三 角形 adb 微 体处于平衡状态，于是有 0= ∑ x F ， 030cos30sin =+ DD abxab AA στ ， 得 3/3/ στσ ?=?= x (压 ) 所 以 该 点 处 主 应 力 为 σ =σ 1 ， 0 2 =σ ， 3/ 3 σσ ?= 。 ４ 构 力 状 态 两 斜 截 上 的 应 力 如 a 所示。试用应力圆求主应力和 解题分析 件 中 某 点 A 为 平 面 应 ， 面 图 最大切应力。 100 100 200 50 A D(200,100) D 1 (-100,50) τ O σ 1 C τ max σ σ 3 (b)(a) 题 4 图 ： 本题应理解为已知了 A 点处微体两个斜截面上的应力，或者说已知了应力圆上 的两个点。但是，已知圆上的两个点并不能确定这个圆，所以还需要补充一个条件。这个补 充条件是：应力圆的圆心必在横坐标轴（即 σ 轴）上。 解： 1、建立 σ 、 τ 坐标系 (见图 b) 2、在 坐标 图上 确 定 点 D(200， 100)和点 D 1 (-100， 50)，连接 D、 D 1 ， 做 DD 1 线的中 垂线 ， 交于 σ 轴上 C点。以 C点为圆心， CD为半径作圆，即为所求之应力圆。 在 应 力 圆 上量取 MPa235 1 =3、 σ ， 0 2 =σ ， MPa110 3 ?=σ 。 4 4、量取 5.172 max MPa=τ ５ 在 状 态 中 ， 如果三 向 应 力 1 σ 32 σσ == ，并且 都是拉应力 ，它的应力 圆是怎样的 ？又如 果 怎 样 的 ？ 都 是 压 应 力 ， 它 的 应 力 圆 又 是 τ 解题分析 ： 当 31 σσ = 时 ， 应 力 圆 均 为 点 圆 。 解： 建立 σ 、 τ 坐 标 应 力 时 见 图 a，压应力时见图 b。 10700× ， D D 系 ， 设 OC=σ 1 =σ 2 =σ 3 ， 拉 ６ 用直角 应变花测得 构件表面上 一点处三个 方向的线应 变分别为 0 =ε -6 -6 10350×=ε ， -6 10500×?=ε ，试作应变圆，求该点处的主应变数值。 45 90 解题分析 ： 已知一点处三个方位上的正应变，可完全确定应变圆。 解： 1、确 定 ε ， (γ/2)坐标系 2、在 ε 轴 上 量 取 0 ε 值 ， 得 点 A；在 ε 轴上量取 D 45 ε 值，得点 B；在 ε 轴上量取 D 90 ε 值， 得点 D。分别过 A、 B 点做、 D ε 轴垂线。 3、平分 AD 得 圆 心 C。 D' B' A' 11.3 o y x ε 0 o ε 45 o ε 90 o ε 1 ε 3 ε 3 ε 90 o ε 45 o ε 0 o γ/2 ε 1C D A B ε 题 6 图 2α (b) (a) (b) C τ C σ O σ 1 =σ 2 =σ 3 O σ 1 =σ 2 =σ 3 题 5 图 σ 0 (a) 5 4、在 D 点向 上量取 DD'= CB。 5 交、 连 D'C 即 为应变圆半径， 作 应 变 圆 ε 轴于 1 ε 和 3 ε 两点， 则 1 ε 和 3 ε 即为主应变数值。 6、 连 CA'， ∠ A'C 1 ε =2α 0 ， 即 可 得 主 应 变 1 ε 与 0 ε 的夹角 0 α 。 7 -6 750 ， -6 D 、结果 ×=ε ， 讨 论 角三角形 CDD'及三角形 CBB CD'= CB'= 应 变 圆半径 。 7 中 ， 在顶面上受力 F = 14 kN 作用。 已知 1 10 3 10550×?=ε 3.11 0 =α ： 可 以 证明：在直 '中， △ CDD'≌△ B'BC，故 DD'= CB 边长为 20 mm 的钢立方 体 置 于 钢 模 3.0=μ ，假 设 解题分析 ： 钢立方体置于钢模中， x、 z 方向限制钢立方体变形， 即 钢模的变形以及立方体与钢模之间的摩擦力可以忽略不计。试求立方体各个面上的正应力。 F=14kN 在 y 方向有 应力， 0= x ε 、 0= z ε ，以此可求出 x σ 和 z σ 。 解： 1、 MPa35Pa1035 m102 N1014 3 × × ? A F y 020 6 26 ?=×?= × ?=?=σ 2、因有钢模 限制，所以 x、 z 方向的应变均为零。 0 )( = +? = E zyx x σσμσ ε 0)MPa35(3.0 =+?×? zx σσ (a) 0 )( = +? = E xyz z σσμσ ε 0)MPa35(3.0 =+?×? xz σσ (b) 联立 (a)、 (b)两式，得 MPa15?== xz σσ x z y 题 7 图 (压 ) 6