轴向拉压变形 典型习题解析 1 图示结构 ，杆 AB 和 BC 拉压刚度 EA 相同，在节点 B 处承 受集中力 F，试求节点 B 的水 平及铅垂位移。 C 2 题 1 图 解题分析： 本题为静定问题。 由静力平衡方程确定各杆轴力后， 计算各杆轴向变形。 最后用 “切线代圆弧”方法，确定节点 B 的新位置，计算节点 B 的水平及铅垂位移。 解： 1、计算 各杆的轴力：设 AB 杆和 BC 杆轴力 分别为 、 ，且均为拉力，则 B 点的 静力平衡方程为 N1 F N2 F ∑ =?°= 045cos,0 N1N2 FFF x ∑ =?°= 045sin,0 N2 FFF y 解得 FFFF 2 N2N1 == 2、计算 AB， BC 杆变形 F B A 1 45 o B F F N1 45 o F N2 (a) a a B ?l 1 B 1 ?l 2 B 2 45 o B＇ B 3 (b) (c) 21 AB 杆变形： EA Fa EA lF l ==? 1N1 1 (伸长 ) BC 杆变形： EA Fa EA aF EA lF l 2)2)(2( 2N2 2 ===? (伸长 ) 3、 求节点 B 的位移： 将 AB 延长 1 l? 到 点 （见图 c） ， CB 延长 1 B 2 l? 到 点。 分别以 A、 C 为圆心， A 、 C 为半径画圆弧，两圆弧相交于一点，该点就是变形后 B 点的新位置。 但在小变形条件下， 可 以用切线代替圆弧。 所 以确定 B 点 新位置的简便做法是： 从 、 点分别作 A 、 C 的垂线，两条垂线的交点就是变形后 B 点的新位置，即 点。为方 便 计算，另作辅助线 。从图 c 的几何 关系容易计算出 2 B 1 B 2 B 1 B 2 B 1 B 2 B 3 B ' BB B 点水平位移 )( 11 →=== EA Fa lBB Bx ?? B 点铅垂位移 )()221() 2 (245tan 45sin 1 2' ↓+=+=°?+ ° ? == EA Fa EA Fa EA Fa l l BB? By 2 图示结构 AD 段为钢杆，横截面面积 ，弹性模量 24 1 mm102×=A GPa210 1 =E ， DB 段为 铜杆，横截面面积 ，弹性模量 24 2 mm101×=A GPa100 2 =E ， F = 1000 kN，试求上、下端 反力及各段横截面上的应力。 解题分析： 本题有两个未知反力， 有效平衡方程只有一个， 为一度静不定问题。 首先应列出 静 力 平 衡 方 程 和 变 形 协 调 方 程 ， 以 确 定 各 段 轴 力 的 大 小 ， 然 后 再 计 算 各 解： 1、静力 平 衡 段 中 应 力 。 方 程 AC 段受拉， CD、 DB 段受压，可设上端截面 约 束 反 力 在 F 力 作 用 下 ， 为 拉 力 1 F ， 下端截面约束反力为压力 2 F ， 它 们 的 方 向 如 图 示 。 于是杆 AB 的 静力平衡方程 0 21 =?+ FFF (a) 2、变形 协调 方程： 静 补充方 程才 能确定 各力 。补不 定 问 题 需要 充方程一般从变形协调条件中寻找。本题中，由于 A、 B 两端的 约束， AB 段 的总变形 为 零，此即 变 形协调条 件 。 设 AC、 CD、 DB 段变形分别为 AC l? ， CD l? 和 DB l? ，则有 ????? CD l 0= DBAC ll (b) 3、利用物理 关 系 ， 用 力 表 示 变 形 协 调 方 程 F 1 A a 钢 C B D 铜 F 2 F a 2a 题 2 图 22 容易确定 AC、 CD、 DB 段的轴力分别为 1 F 、 、 。由胡克定律知 2 F 2 F 11 1 AE aF l AC =? ， 11 2 AE aF l CD =? ， 22 2 2a AE F l DB =? 代入（b）式 ，得到 0 2 22 2 11 2 11 1 = ? ? ? ? ? AE aF AE aF AE aF (c) 0 m10100Pa10100 2 m10200Pa10210 249 2 249 21 = ? FF ××× ? ××× ?? F (d) 4、联立求解 ：联立式 ( 反 力： 21 4.9 FF = a)、式 (d)，解得 上端反力： kN904 1 =F (拉 ) 下 端 kN96 2 =F (压) 5、 计 应 力 算 各 段 杆 中 的 MPa2.45Pa102.45 m10200 N10490 1 ×F 6 24 3 1 =×= × == ? A AC σ (拉) MPa8.4Pa108.4 m10200 N1096 6 24 3 1 2 =×= × × == ? A F CD σ (压 ) MPa6.9Pa106.9 m10100 N1096 6 24 3 2 2 =×= × × == ? A F DB σ (压 ) 讨论 ： 如果开始时假设 AC、 CD、 DB 段轴力均为拉力， 则式 （a） 变 为 ，式0 21 =?? FFF （b）变 为 0=? ，求解后 kN904+?+? DBCDAC lll 1 =F ， kN96 2 ?=F ，与前面 所以，在列变形协调方程时，要注意变形与引起变形的力的方向一致，否则容易出错。 3 图示支架 承受载荷 F = 10 kN。 1， 2， 3 各杆 由 同 一 种 材 料 制 成 ， 其 横 截 面 面 积 分 别 结果 一致。 为 解题分析： 本题未知力为 3 根杆的 轴力， 而 有 效 一 度 静 不 定 问 题 ， 需 杆受压，它们的轴力分别为 、 和 ，研究 A 点平 衡，得 2 1 mm100=A ， 2 2 mm150=A 和 2 3 mm200=A 。试求各杆的轴力。 平 衡 方 程 只 有 两 个 ， 为 要补充一个变形协调方程，才能确定各杆轴力。 解： 1、列静 力平衡方程 N1 F N2 F N3 F 设 1、 2 杆受拉， 3 23 ∑ = 0 x F ， DD 30cos30cos N3N2N1 FFF =+ 1 或 N3N2N1 323 FFF =+ (a) F 30 O 2 A ∑ = 0 y F ， FFF =+ DD 30sin30sin N3N1 30 O 或 FFF 2 N3N1 =+ (b) 3 2、列变形协 调方程 l 为找到各杆变形之间的几何关系， 关键是画 出变形 图。 画法如 下： 首先根 据直 观判断 画出 变形后 A 点 的位置 ；画 1、 2 杆的延长 线 （ 因 为 1、 2 杆受 拉伸长） ；从 点分别向 1、 2 杆 延长线和 3杆 作垂线， 分别 交于点 1 A 、 2 和 3 ； 'A ' 则 A A A 11 AA = l? ， 22 = lAA ? ， 33 = l? (a) F AA 另作辅助线如图示，则有 bcAaAcab ??= 即 ° ? ° ? ° = ° 30tan ? 30sin ? 30sin ? 30tan ? 2312 llll 或 2312 ?3?2?2?3 llll ??= 整理得 312 ???3 lll ?= (c) 3、利用物理 关系，用力表示变形协调方程 1 N1 1 3 2 ? EA lF l = ， 2 N2 2 ? EA lF l ? = ， 3 N3 3 3 2 ? EA lF l = （ d） 将（ d）代入 （c）得 3 N3 1 N1 2 N2 3 2 3 23 A F A F A F ?= 将各杆横截面面积值代入整理，得 N3N1N2 22 FFF ?= (e) 4、联立求解 ：联立式 (a)、 (b)、 (e)解得 kN45.8845.0 323 )31(2 N1 == + + = FFF (拉) F N1 30 O F N2 A 30 O F N3 (b) ?l 2 A ?l 3 ?l 1 a b c 30 O A 2 A 3 A 1 A＇ (c) 题 3 图 24 kN68.2268.0 323 3 N2 == + = FFF (拉) kN53.11153.1 323 )32(2 N3 == + + = FFF (压 ) 讨论： 解该 题的关键是画变形图，找到各变形间的几何关系。本题中开始时假设 3 杆受压， 画变形图时应注意， 3 杆 的变形必须是压缩变形，这样才能列出正确的变形协调方程。 4 图示刚性 梁 AB 受均布 载荷作用， 梁在 A 端铰 支， 在 B 点和 C 点由两 根钢杆 BD 和 CE 支 承。已知钢杆的横截面面积 ， ，其许用应力 2 mm200= DB A 2 mm400= CE A MPa170][ =σ ， 试校核钢杆的强度。 解题分析 ： 该题未知力为： A 点的两个约束 反力， 两杆的轴力， 共四个， 而有效平衡方 程只有三个， 所以为一 度静不定问题。 需要 补充一个变 形协调方程 ，才能确定 各杆轴 力。 ， 解： 1、列静 力平衡方程 取 AB 梁为研究对象。 设 CE 杆受压、 DB 杆受拉，其轴力分别为 、 。 以 A 点为中 心取矩，则 A 处的两个 未知力 和 不出现 在 平衡方程 中 ，可以简化 计算。 CE F N, BD F N, Ax F Ay F ∑ = 0 A M ， 即 (a) 2、变形协调 方程 BDCE FF ,N,N 3kN135 ?= 根据变形图 (b) CEDB LL ?=? 3 3、用力表示 变形协调方程：利用杆变形与轴力间的物理关系，式（b） 可写为 E LF E LF CEBD ×× ×× = ×× × ?? 26 N, 26 N, m10400 3 m10200 8.1 1.8L D 1 m E C 30 kN/m A L 2 m B D 30 kN/m 题 4 图 B C A E B 2 m 1 m ?L CE ?L DB F By F ’ By 0m3m1.5m3kN/m 30m1 ,NN, =×?××?× BDCE FF 25 或 CEBD FF ,N,N 6 5 = (c) 4、联立式 (a)、 (c)解得 kN2.32 N,. = BD F ， kN4.38 N, = CE F 5、校核杆强 度 ][MPa161Pa10161 m10200 N102.32 6 26 3 BN, σσ <=×= × × == ? DB D DB A F ][MPa96Pa1096 m10400 N104.38 6 26 3 N, σσ <=×= × × == ? CE CE CE A F 杆 CE、 DB 均满足强度要求。 3.2.5 图示 结构中的三角形板可视为刚性板。 1 杆材料为钢， 2 杆材料为铜，两杆的横截面 面积分别为 ， 。当 2 mm1000= 钢 A 2 mm2000= 铜 A kN200=F ， 且温度升高 20℃时 ， 试 求 1、 2 杆内的应力 。 钢杆的弹性模量为 GPa210= 钢 E , 线膨胀系数 ； 铜杆的 解题分析 ： 轴 -16 C105.12 °×= ? 钢 α 弹性模量 ，线膨胀系数 。 A处有两个约束反力未知，另外杆 1 和杆 2 的 力 未 知 ， 共 四 个 未 知 力 ， 而 平 面任意力系有效平衡方程只有三个，所以是一度静不定问题。除力 F 的作用外，温度升高 使杆件产生温度变形，所以杆的变形由外力 F 引起的变形和温度变形两部分组成。变形协 调方程中的各杆变形量要使用总变形，这是本题的关键。 GPa100= 铜 E -16 C105.16 °×= ? 铜 α F 1 题 5 图 ? L 1 α 4 m ? L 2 α F1 2 m 2 m A F 2 1 m 2 26 解： 1、静力 平衡方程 设 1 杆受拉， 轴 力 为 ； 2 杆受 压， 轴力为 。 以三角形刚性板为研究对象， 其静 ， 1 F 2 F 力平衡方程为 ∑ M = 0 A 21 m4)(m2 FFF ×=?× 即 F = 21 (a) 2、 变 形 F+ 2 F 协 调 方 程 设 1 杆伸 长 L 1 ? ， 2 杆缩短 2 L? 。杆变形后，三角形刚性板绕 A 点 转动角 α ，于是 αm)2( 1 =?L , αm)4( 2 =?L 所以 (b) 3、 变 形 理 关 系 起 的 变 形 和 温 度 升 高 引 起 的 变 形 两 部 分 组 成 ， 设 1、 2 杆 原 12 2 LL ?=? 与 力 之 间 的 物 1、 2 杆的变 形由外力 F 引 长 分 别 为 1 L 、 2 L ，则有 1 11 11 1 TL AE LF L ?+=? 钢 α (伸长)， 2 22 22 2 TL AE LF L ??=? 铜 α (缩短) (c) 4、以力表示 变形协调方程 将 (c)代入 (b)得 )(2 1 11 11 2 22 22 TL AE LF TL AE LF ? ?+=? 钢铜 αα (d) 代入各项数值，得 2 ××+× (e) 5、联立 (a)、 (e)求解 (2081.2 12 =? FF N102.4)5.165.124 得 52.38 1 ?=F kN (压)， kN26.119 2 =F (压) ， 实 际 上 杆 1 6、 计 可 见 、 杆 2 均受压力。 算 1、 2 杆中的正应 力 MPa5.38N/mm5.38 mm1000 N1052.38 3 1 ×?F 2 2 1 1 ?=?=== A σ (压) 27 MPa6.59N/mm6.59 mm2000 N1026.119 2 2 3 2 2 2 == × == A F σ (压 ) 讨论： （1） 考 虑温度作用的静不定问题与没有温度作用静不定问题的主要区别， 在于考虑温 度作用时，联系力和变形之间的物理关系中多了温度变形项。 （2）式 （c）中，杆 2 的温度 变形取负号， 是因为 本身假设为缩短 （压缩） 量， 以缩短为正。 （3） 此题也可以用叠加 法计算，即分别考虑由于 和温度升高 20℃所产 生的力或应力后，进行叠加。 2 L? kN200=F 6 由于杆 3 的制造误差， 将 1， 2， 3 杆按图示结 构装配后， 3 个杆内均有装配应力。 已知三 杆的材料相同， E =200GPa， 三杆横截面积 ， ，杆 1 及杆 2 的长度 。横梁 AB， CD 为刚性杆。现将杆 3 切 断，则如图 b 所示，横 梁 AB 向 上平移 。试求： (1) 三杆的装配应力； (2) 杆 3 的 制造误差 δ。 2 21 mm4000== AA 2 3 mm8000=A mm800=l mm4.0=? B 解题分析 ： 考虑从图 b 到图 a 的装 配过程，必然要对杆 3 施加拉力，这时杆 1 和杆 2 受到 压缩，其压缩变形即是 ，由此可计算出杆 1、杆 2 的轴力 。杆 1、杆 2 的轴力算出后，再 由静力平衡条件算出杆 3 的轴力。 杆 3 的拉伸变形 加上 AB 横梁 的下移量 即是杆 3 的制 造 误差 δ。 ? ? 解： 1、计算 杆 1、杆 2 的 轴力 设杆 1、杆 2 的轴力为 、 ，杆 3 的 轴 力（拉）为 。 1N F N2 F N3 F 由 2 N2 1 N1 EA lF EA lF ? == 得 kN400N10400 m104.0 m10800 m104000Pa10200 3 3 3 269 2 N2N1 =×= ×× × ××× === ? ? ? ? l EA FF 2、计算杆 3 的轴力 由静力平衡方程得 kN8002 N1N3 == FF 3、计算各杆 的装配应力 D C A ? 3 1 2 BA C D A B δ l F N1 F N2 F N3 (b)(a) (c) 题 6 图 28 MPa100Pa10100 m104000 N10400 6 26 3 1 N1 21 =×= × × === ? A F σσ （压） MPa100Pa10100 m108000 N10800 6 26 3 3 N3 3 =×= × × == ? A F σ （拉） 4、计算杆 3 的制造误差 杆 3 的伸长 量 mm4.0m104.0 m108000Pa10200 m10800N10800 3 269 -33 3 N3 3 =×= ××× ××× ==? ? ? EA lF l 制造误差 mm0.8mm4.0mm4.0? 3 =+=+= l?δ 29