6 轴向拉压应力与材料的力学性能 典型习题解析 1 　图示直杆截面为正方形，边长 a =200 mm，杆长 L = 4 m， F = 10 kN，材料密度 3 m/kN20=ρ . 考虑杆的自重，计算 1-1 和 2 -2 截面轴力，并画轴力图。 解题分析： 杆的自重为体积力。当杆件重量与外载荷大小在同一数量级时，应考虑杆自重对 内力、应力的影响。为画轴力图，要先计算一些特殊截面上的轴力，如集中力作用的截面和 A-A 截面。 解： 1、计算 1-1 截面轴力：从 1-1 截面将杆截成两段，研究上半段。设截面上轴力为 1N F ， 为压力（见图 b） ，则 1N F 应与该杆段所受外力平衡。杆段所受外力为杆段的自重，大 小为 ρ 2 4 a L ，方向向下。于是由静力平衡条件 ∑ = 0 y F 得 0 4 2 N1 =+? ρa L F N800N/m 1020m2.0m2.0 4 m4 4 332 N1 =××××== ρa L F 2、计算 2-2 截面轴力：从 2-2 截面将杆截成两段，研究上半段。设截面上轴力为 N2 F ， 为压力（见图 c） ，则 N2 F 应与该杆段所受外力平衡。杆段所受外力为杆段的自重和集中 力 F ，杆段自重为 ρ 2 4 3 a L ，方向向下。于是由静力平衡条件 ∑ = 0 y F 得 F N1 (c)(a) (b) 题 1 图 F A 2 A L/4 F N2 2 L/4 L/4 y F 2 2 3L/4 (d) 12.4kN 13.2kN FN 11.6kN 1.6kN 1 L/4L/4 1 1 1 0.8kN x BB 7 kN 12.4N104.12N/m 1020m2.0m2.0 4 m43 N 1010 4 3 33332 N2 =×=×××× × +×=+= ρa L FF 3、计算集中力 F 作用截面上的轴力：首先将杆沿力 F 作用截面（ B-B）上侧截开，设 截面上轴力为压力 + B F N ，研究上半部分杆段。由于只受本身重量作用，所以由静力平 衡条件得 F 作用截面上侧轴力为 kN 1.6N106.1N/m1020)m2.0( 2 m4 2 33322 N =×=×××== + ρa L F B 然后将杆沿 F 作用截面（ B-B）下侧截开，设截面上轴力为压力 ? B F N ，研究上半部分 杆段。这时杆段受本身重量作用和集中力 F 作用，所以由静力平衡条件得 F 作用截面下侧 轴力为 kN 11.6N106.11N1010N/m1020)m2.0( 2 m4 2 333322 N =×=×+×××=+= ? Fa L F B ρ 4、计算 A-A 截面轴力：从 A-A 截面将杆截开，设截面上轴力为压力 A F N ，则 A F N 应与该杆 上所有外力平衡。杆所受外力为杆的自重和集中力 F ，杆段自重为 ρ 2 La ，方向向下。于是 由静力平衡条件 ∑ = 0 y F 得 kN 13.2N102.13N/m1020m2.0m2.0m4N 1010 33332 N =×=××××+×=+= ρLaFF A 5、画轴力图：在坐标轴上标出特殊截面（杆的顶截面、集中力 F 作用截面的上下侧和 A-A 截面）处的轴力值，用直线连接即得轴力图（图 d） 。 讨论： （1）从轴力图看出，集中力作用的截面两侧轴力发生突变。突变值就是该集中力的大 小。 （2）计算各截面轴力时，得到的轴力均为正值，这只说明真实轴力的方向与事先的假设 （本题均假设为压力）一致，并不意味着计算出的轴力为拉力。 2 图示石柱桥墩，压力 F = 1000 kN，石料密度 3 m/kN25=ρ ，许用应力 ][σ =1 MPa。试 比较下列三种情况下所需石料体积。 （ 1）等截面石柱； （ 2）三段等长度的阶梯石柱； （ 3）等 强度石柱（柱的每个截面的应力都等于许用应力 ][σ ） 。 解题分析： 设计这样的桥墩时，要考虑桥墩自重对强度的影响。可以想象，在桥墩顶截面只 有压力 F 作用，轴力最小；在桥墩底截面，除压力 F 外，还承受桥墩本身重量，该处轴力 最大。当桥墩采用等截面石柱时，只要考虑底部截面的强度即可。如果采用阶梯型石柱，需 考虑每段的强度。如果要求各个截面强度相等，则需要对石柱的各截面进行特别设计。 解： 1、采用等截面石柱 8 如图 a 所示，设石柱横截面面积为 A，长为 l，底部截面轴力最大，其值为 AlFF ρ+= N 强度条件为 ][ N σρ ρ σ ≤+= + == l A F A AlF A F 于是得 2 3326 3 m6.1 m15N/m1025N/m101 N101000 ][ = ××?× × = ? = l F A ρσ 所用石料体积 32 1 m24m15m6.1 =×== AlV 2、采用三段等长度的阶梯石柱 结构如图 b 所示， 按从上到下顺序， 设各段横截面面积和长度分别为 11 , lA ， 22 , lA 和 33 , lA 。显然，各阶梯段下端截面轴力最大，分别为 11N1 lAFF ρ+= , 2211N2 lAlAFF ρρ ++= , 332211N3 lAlAlAFF ρρρ +++= 由石柱的各段均应满足强度条件，于是得 2 3326 3 1 1 m14.1 m5N/m1025N/m101 N101000 ][ = ××?× × = ? = l F A ρσ 2 3326 2333 2 11 2 m31.1 m5N/m1025N/m101 m5m14.1N/m1025N101000 ][ = ××?× ×××+× = ? + = l lAF A ρσ ρ 2 3326 2332333 3 2211 3 m49.1 m5N/m1025N/m101 m5m31.1N/m1025m5m14.1N/m1025N101000 ][ = ××?× ×××+×××+× = ? ++ = l lAlAF A ρσ ρρ 所用石料体积为 3222 13212 m7.19m5)m49.1m31.1m14.1()( =×++=++= lAAAV 3、采用等强度石柱 5m dx x (a) (d) (c)(b) 题 2 图 [σ] [σ] ρA(x)dx F F F 5m 5m 15m 9 所谓等强度石柱，即要求每一个横截面上的应力都等于许用应力 ][σ 。取 x 坐标如图 c 所示，则根据等强度要求，有 ][ )( )( )( N σσ == xA xF x 由于不同截面上轴力不同，因而横截面面积必须随 x 坐标变化才能满足上式。为确 定横截面面积随 x 坐标的变化规律，在石柱中 x 处取 dx 微段，设微段上截面的面积为 A(x)，则下截面的面积为 A(x)+dA(x)，微段石柱的受力情况如图 d 所示。 考虑微段的静力平衡，有 xxAxAxAxA d)(])[(][)](d)([ ρσσ +=?+ xxAxA d)(])[(d ρσ = x xA xA d ][)( )(d σ ρ = 设桥墩顶端截面 ( x = 0)的面积为 0 A ，对上式积分，得 x 截面的面积为 x AxA ][ 0 exp)( σ ρ = 由于 2 26 3 0 m1 N/m101 N101000 ][ = × × == σ F A 石柱下端截面积 2N/m101 m15N/m1025 2][ 0 m45.1expm1exp)( 26 33 =×== × ×× σ ρ l AlA 石柱的体积可由积分求得。也可用下面的简便方法求解： 石柱下端截面的轴力 GFlF +=)( N ，式中 G 为石柱的自重， 3 VG ρ= 由石柱的下端截面强度条件得 ][ )( σσ = + = lA GF FlAG ?= )(][σ 所以石柱体积为 3 33 326 3 m18 N/m1025 N101000m45.1Pa101)(][ = × ×?×× = ? == ρ σ ρ FlAG V 三种情况下所需石料的体积比值为 24∶ 19.7∶ 18，或 1.33∶ 1.09∶ 1。 讨论： 计算结果表明，采用等强度石柱时最节省材料，这是因为这种设计使得各截面的正应 力均达到许用应力，使材料得到充分利用。 3 滑轮结构如图， AB 杆为钢材，截面为圆形，直径 mm20=d ，许用应力 MPa160][ =σ ， BC 杆为木材，截面为方形，边长 mm60=a ，许用应力 MPa12][ c =σ 。试计算此结构的许用载 10 荷 ][F 。 解题分析： 使各杆均满足强度条件的载荷即为许用载 荷。首先计算 F 作用下各杆轴力，然后利用各杆的强 度条件确定许用载荷 ][F 。两根杆确定出两个可能不 同的 ][F ，取其中的小值即为结构的许用载荷。 解： 1、计算 AB 和 BC 两杆轴力 AB F N, 和 BC F ,N 　 取图示坐标系，并设 AB 杆受拉， BC 杆受压， 则 B 点的静力平衡方程为 060sin30cos0 ,N,N =°??°?= ∑ ABBCx FFF ，得 BCAB FF ,N,N = 0260cos30sin0 ,N,N =?°?+°?= ∑ FFFF ABBCy ，得 FFF BCAB 2 ,N,N == 2、确定 AB 杆可以承担的载荷 [] N103.50 4 m)10(20π Pa101602 3 2-3 6 N ×= × ××=?≤= ABAB AFF σ ， kN25.15N1015.25 2 N103.50 ][ 3 3 =×= × =F 3、确定 BC 杆可以承担的载荷 N102.43m)1060(Pa1012][2 3236 cN ×=×××=?≤= ? BCBC AFF σ ， kN21.6N 106.21 2 N 102.43 ][ 3 3 =×= × =F 两者取小值，所以结构的许用载荷 ][F 为 21.6 kN。 4 两块钢板用直径 mm20=d 铆钉搭接。先采用两种搭接形式，分别如图 a、图 b所示。已知 kN160=F ，两板尺寸相同，厚度 δ =10 mm，宽度 mm120=b ，铆钉和钢板材料相同，许用 切应力 =][τ 140 MPa，许用挤压应力 MPa320][ bs =σ ，许用拉应力 ][ t σ =160 MPa。试计算所 需的铆钉数，并从强度角度比较两种搭接形式的优劣，校核板的拉伸强度。 解题分析： 本题需要考虑下面强度问题：铆钉的剪切强度和挤压强度，钢板的拉伸强度。一 方面，较多数目的铆钉可以提高铆钉强度，另一方面，较多铆钉数意味着较多铆钉孔，可能 会降低钢板的拉伸强度。而铆钉孔对钢板拉伸强度的影响，表现在铆钉孔减小了钢板的横截 面面积。可以想象，如果将几个铆钉孔沿横向排成一排，对钢板强度最为不利。所以铆钉孔 排列方式，也影响到钢板强度。 解： 首先假设不论什么排列方式，各个铆钉承受相同的载荷。设所需铆钉数为 n ，则每个 题 3 图 y 60 ． 60 0 F N,BC F N,AB F x F C A B 11 铆钉所受剪力为 n F F = S ，挤压力 n F F = b 。 1、按剪切强度条件确定铆钉数：设铆钉横截面面积为 A，则铆钉的剪切强度条件为 ][ π 4 2 S ττ ≤== dn F A F 于是得 64.3 N/m10140m)1020π N101604 ][π 4 2623 3 2 = ×××× ×× =≥ ? （τd F n 2、按挤压强度条件确定铆钉数：挤压面面积 dA δ= ，铆钉挤压强度条件为 ][ sb sb b bs σ δ σ ≤== dn F A F 得 5.2 N/m10320m1020m1001 N10160 ][ 2633 3 sb = ××××× × =≥ ?? σδ d F n 两者取大值，最后确定铆钉数 n = 4。 3、钢板拉伸强度校核：分别按图 a 和图 b 排列方式，画出钢板轴力图如图示。 按图 a 排列， 1-1截面为危险截面，拉应力为 ][MPa200 m1010m10202012 N10160 2 33 3 11 σ δ σ >= ××××? × = ? == ?? ? ）（ ）（ db F A F 所以，按图 a 方式排列铆钉时，不满足钢板拉伸强度要求。 若按图 b排列，则 1-1截面的拉应力为 2 2 F 1 1 F F F F F F F F N (a) F 1 1 F F 3F/4 F x F/2 F N (b) F/4 x 题 4 图 12 ][MPa160 m1010m1020012 N10160 33 3 1 1 11 σ δ σ == ×××? × = ? == ?? ? ）（ ）（ db F A F 2-2截面上的拉应力为 ][MPa150 m1010m102020124 N101603 24 3 4 3 33 3 2 22 σ δ σ <= ××××? ×× = ? == ?? ? ）（ ）（ db F A F 所以，按图 b 方式排列铆钉时，满足钢板拉伸强度要求。 比较两种排列方式，图 b 中的排列方式较合理，因为这种排列方式在轴力较大的截面 配置较少的铆钉孔，在轴力较小的截面配置较多的铆钉孔，从而降低最大拉伸应力值。 讨论： 铆钉排列方式虽然对铆钉本身强度无影响，但却对钢板的拉伸强度影响较大。所以， 在工程中，从被连接件的拉伸强度考虑，铆钉一般按菱形排列。