弯曲内力 典型习题解析 1 作图示简 支梁的剪力图和弯矩图，并求出 max S F 和 max M 。 解题分析： 作剪力、 弯矩图的基本方法是写出每一段梁上的剪力、 弯矩方程， 根据方程描点 作图。 在能熟练地作剪力、 弯矩图后， 可采用如下简便作图法： 在表中列出特殊截面 （如 有 位移约束的截面、 集中力作用截面等的剪力、 弯矩值， 再根据载荷集度与剪力、 弯矩之间的 微分关系判断各区段的内力图形状， 连线相邻特殊截面对应的点。 下面按两种方法分别作图。 解 I： 1、求 支反力 qaF Ay = ， qaF Cy 2= 2、将梁分成 AB、 BC 和 CD 三个区段 以 A 为原点 ，向右取 x 坐标。 AB 段，如图 d： qaFF Ay == S ，( ) ax <<0 Fs (+) (-) (+) 2qa qa qa 3qa 2 /2 qa 2 x x M (c) (b) (a) q F Dy D C F=qa M A a B a F Ay a A (d) x F Ay (e) q B x F Ay A M F S F S F=qa q F S M A (f) B C F Ay x q 题 1 图 1 qaxxFM Ay == ，( ) ax ≤≤0 BC 段，如图 e： )2()( S xaqaxqFF Ay ?=?×?= ，( axa 2<< ) )/2()/2)(( 22 axqaxaxqxFM Ay +=??+= ，( axa 2≤≤ ) CD 段，如图 f： )()( S xaqFaxqFF Ay ?=??×?= ，( axa 32 << ) )/2()/2)(( 22 axqaxaxqxFM Ay +=??+= ，( axa 32 ≤≤ ) 3、按照步骤 2 所得各段梁 的剪力、弯矩方程画出剪力图和弯矩图，如图 b 和 图 c。 4、计算剪力 和弯矩的最大值 qaF 2 max S = ， 2 max 2 3 qaM = 解 II： 1、计算支反力 qaF Ay = ， qaF Cy 2= 2、将梁分为 AB、 BC、 CD 三个区段，计算每个区段起点和终点的力值。 力区 AB BC CD 起终点 A右 B左 B右 C左 C右 D左 F S qa qa qa 0 - qa -2 qa M 0 2 qa 2 qa 2 2 3 qa 2 2 3 qa 0 3、根据载荷情况及微分关系，判断各力区的内力图形状，并以相应的图线连接起 来 ， 得到剪力图和弯矩图。 力区 A 截面 AB B 截面 BC C 截面 CD D 截面 载荷 F Ay 向上 q=0 无集中力 q=负常数 F 向下 q=负常数 F Dy 向上 F S 突跳 F Ay 水平 (+) 连续 下斜线 (+) 突减 F 下斜线 (-) 突跳 F Dy M 0 上斜线 相切 上凸抛物线 转折 上凸抛物线 0 4、计算剪力 弯矩最大值 qaF 2 max S = ， 2 max 2 3 qaM = 讨论 ：利 用 剪力弯 矩方 程作图 时， 注意坐 标轴 x的正向 一般 由左至 右。 有时候 根据 需要，可 2 以取为由右至左，但此时必须注意 q， F S 和 M之间的微分关系在正负号上有变化。 2 作图示梁 的剪力图和弯矩图。 qa 2 q 解题分析 ： 不分段列剪力、弯矩方程，只计算特殊截面处的剪力、弯矩值，根据规律连线。 解： 1、求支 反力 qaFqaF CyAy 5 4 , 4 3 == 2、计算特殊 截面剪力值 将梁分为三个区段计算每个截面的 值。集中力作用截面的左、右两侧 值不同。 S F S F qaFF AA 4 3 0 SS == 右左 ， qaFqaF BB 4 1 4 3 SS ?== 右左 ， qaFqaF CC =?= 右左 ， SS 4 1 0 S = D F 3、计算特殊 截面弯矩值 计算前述特殊截面处的 M 值。集中力偶作用截面的左、右两侧的 M 值不同。 0= A M 22 4 1 4 3 qaMqaM BB ?== 右左 ， (-) qa 2 2 1 4 qa 21 F S 3 qa 4 4 qa 1 (+) F Cy C B a a x (-) qa qa 2 (+) 4 3 (+) x F Ay M a A D 题 2 图 3 2 2 1 qaM C ?= 0= D M CD 段是二次抛物线，抛物线上有极值时应求出。 4、计算最大 剪力和弯矩值 qaF = max S ， 2 max 4 3 qaM = 讨论： 采用 上述作图法不能遗漏代表点， 包括载荷变化点、 约束点。 计算极值弯矩时， 可以 先找出该区段剪力为零的截面， 该截面处的弯矩即为极值弯矩。 也可以借助该区段的弯矩方 程计算极值。 3 作图示梁 的剪力图和弯矩图，并求出 max S F 及 max 析 ： 梁 上 有 中 间 铰 时 M ， B 处是中间铰。 解 题 分 ， 先 自 铰 处 将 梁 拆 分 。 中 矩一定为零。 解： 1、求 支反力 3 qa 2 间铰可以传 递力，但不 能传递弯矩 ，所以中间 铰处弯 在中间铰 B 处将梁拆开两部分，铰处互相作用 力用 By F 代替，如图 b 所示 。 2 4 7 , 4 7 , 1 qaFFqaF ByAy == 4 qaM ADy == 2、将梁分为 AB、 BC、 CD 三个区段，计算 A B、 C D 截面处的内力值。 3、 集度与剪力、 弯矩之间的微分关系， 4、 CD 段剪力有零点， 根据左负右正， 判断弯矩 图有极小值。 、 、 根据载荷 判断各区段的内力图形状，并用图线连接。 令 0 4 1 )( S xF =?= qxqa ，得 ax 4 1 = ，代 入弯 矩方程 22 32 1 ) 4 ( 2 1 4 1 )( qa a qaFxM D =+×?= 5、计算最大 剪力、弯矩值 qaF 4 max S = ， 7 2 max 4 M = 7 qa a a a (a) BC M e = q 2 A D F Dy M A q F By M e (b) F Ay x F By 7 4 F S x 4 qa 1 4 (d) 32 qa 5 2 qa 2 1 qa 2 7 4 M qa 4 2 1 (c) 4 qa x 3 qa 题 3 图 4 4 试作图示 梁的剪力图和弯矩图 解题 分析： 对于三 角形 ( ) q 0 的 关系， 再列出 剪力 、弯矩 方程 。结构和 载荷均对称时， 弯矩图对称， 剪力图反对称。 所以， 只须取左半边作图， 然后根据上述对 称 解： 1、求 支反力 分布载 荷， 先列出 q x 和 反对称关系，画出另一半剪力、弯矩图。 lqFF CyAy == 0 4 1 2、列 、 S F M 方程 l x qxq( 0 = 2 ) ) 2 0( 4 1 )( 2 1 4 1 )( 2 000 l ? S1 l x l x qlqxxqqxF <<?== ) 2 l 0( 3432 )( 4 1 )( 300 01 xx l q lx qxx xqlxqxM ≤≤?=??= 2 l x = 处 M 为极大值。 2 0 30 )()( 1 lql lM ?= 0max 12 1 2324 lq l q = 3、作 、 S F M 图 AB 段， 图 为二次抛物线， S F M 图为三次抛物线。 BC 段， 图与 AB 段反对称， S F M 图与 AB 段 对称。 4、计算最大 剪力弯矩值 q 0 l/4 l/2 F Ay l/2 B x A F Cy C q(x) q 0 (+) q 0 l 2 /12 (+) (-) 题 4 q 0 l/4 图 5 4 0 lq = max S F ， 2 1 lqM = 0 max 12 5 作图示刚 架的内力图 C 铰处拆 开，得： 解题分析 ： 刚架有中间铰，自铰处拆开，先求支反力，然后根据对称规律作剪力、弯矩图。 铰处无集中载荷时，铰两侧轴力、剪力图连续，弯矩为零。 解： 1、求支 反力 由于对称 qaFF EyAy == 在 ExAx F qa F == 4 2、作 F 图 N AB 力区， 直 线 ； ， 区 ， qaF ?= N ， BC CD 力 4 N qa F ?= ，直线； 力区， ，直线。 3、 DE qaF ?= N 作 S F 图 AB 力区， 0=q ， 4 S qa ?= 直 线F C D B qa 2 /2 DCD C B B F Cx F Ax 2a F EyF Ay qa A E F Ex DC B a a F Ax F Ay qa 2 /2 A ( ) A 题 5 图 A E /4 qa (-) (F-) (-)(F qa/4 A qa/4 E M) qa qa 2 /2 B C F Cy q ( S )( N ) + E qa qa qa 6 BD 力区， 等于负常数， 图为斜线，q S F qaF = max S DE 力区， ，0=q 4 S qa F = 直线 4、 作 M 图 AB 力 区 ， S F 为负常数， M 图 为 斜 线 。 BC 力区， 为斜线，正值， S F M 图为二次抛物线， C 处 M 值等于零。 CD 力区， 为斜线，负值， S F M 图为二次抛物线。 2 2 DE 力区， 为正常数， M 图为斜线。 S F max M = 。 qa 讨论 ： 作 称 性 或 反 对 称 性 可 以 大 大 降 低 工 作 量 。 刚 架 内力图时充分利用刚架的几何对称性、 载 荷 的 对 7