弯曲变形 典型习题解析 1 试用积分 法写出图示梁的挠曲轴方程， 说明用什么条件决定方程中积分常数， 画出挠曲 轴大致形状。图中 C 为 中间铰。 为已知。 IE w 解题分析： 梁上中间铰 处，左、右 挠度相等， 转角 不相等。 解： 设支反 力为 ，如图示。 yBAyA FMF 、、 1、建立各段 挠曲轴近似微分方程并积分 将梁分为 AC、 CB、 BD 段。 AC 段 ax ≤≤ 1 0 挠曲轴近似微分方程 11 xFMwIE yAA ??=′′ 转角方程 1 2 1 1 ' 1 2 C xF xMwIE yA A +?= (a) 挠度方程 111 3 1 2 1 1 62 DxC xF xM wIE yA A ++?= (b) CB 段 )( 2 baxa +≤≤ 挠曲轴近似微分方程 2 " 2 xFMwIE yAA ??= 转角方程 2 2 2 22 2 C xF xMwIE yA A +?=′ (c) 挠度方程 222 3 2 2 2 2 62 DxC xF xM wIE yA A ++?= (d) BD 段 lxba ≤≤+ 3 )( 挠曲轴近似微分方程 [ ])( 333 baxFxFMwIE yByAA +?+?=′′ 转角方程 [ ] 3 2 3 2 3 33 2 )( 2 C baxFxF xMwIE yByA A + +? +?=′ (e) 挠度方程 [ ] 333 3 3 3 3 2 3 3 6 )( 62 DxC baxFxF xM wIE yByA A ++ +? +?= (f) 2、确定积分 常数 共有 6 个积分常数。需要 6 个位移边界条件和光滑连续条 件。 332211 DCDCDC 、、、、、 题 1 图 F Ay l A B C b F M A xD a F By 1 边界条件 ： ， 代入 (b)得 0 1 =x 0 1 =w 0 1 =D (g) 0 ' 1 =w 代入 (a)得 0 1 =C (h) bax += 2 ， 0 2 =w (i) 连续条件： ， axx == 21 21 ww = (j) baxx +== 32 ， 32 ww ′=′ (k) 32 ww = (l) 联立 (i)、 (j)、 (k)、 (l)，可求出 。 3322 DCDC 、、、 3、画挠曲轴 大致形状 C 为中间铰 ，挠曲轴在 C 处必有拐 点， A 处弯 矩为正， AC 段为下凸上凹曲线， CD 段 在 D 处有向下的力，对梁段产生负弯矩， CD 段为上凸下凹的曲线。 2 AB 梁的 为已知。试用叠加法，求梁中间截面挠度。 IE w 解题分析： 将三角形分 布载荷视为 均布载荷的 一半，利 用叠加法 即 可求中点 挠 度。若求 某 截面转角 ， 还要用 积 分法。 q 0 B A 解： 1、求支 反力 3 , 6 00 lq F lq F yByA == 2、计算 C 点挠 度 将三角 形分 布载荷 看成 载荷集 度为 的均布 载荷 的一半 。查 表知均 布载 荷中间 截 面 挠 度为 0 q IE lq 384 5 4 0 ，三角形载荷梁中间挠度为 ()↓?=×?= IE lq IE lq w C 768 5 384 5 2 1 4 0 4 0 3 试用叠加 法求图示梁 C 截面挠度 ， 为已知。 IE F Ay F By 题 2 图 l x C 2 q 解题 分析 ： 首先将外伸 端上的分 布 力简化到 支 座 B ，得到 一等效集 中 力 lqF 4 1 = 和集中力 偶 16 2 lq M B = ，如 图 b 所示。 集中力 F 作用在 支座上， 不会引起 AB 梁 段的变形。 将均布力 看作为图 c 和图 d 所示两种情况的叠加。在图 c 中，再将载荷分解为集度为q 2 q 的均布载 荷和右端点受集中力偶 两种情况。在图 d 中， 由于载荷反对称，故中点 C 处挠度 为零。 B M 解： 查表叠 加可得 C 截 面挠度为 ()↓= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = IE lq IE l lq IE l q w C 38416 16 384 2 5 4 2 2 4 4 变截面悬 臂梁如图所示，试用叠加法求自由端的挠度 。 C w 解题分析 ： 此题用逐段刚化法求解，被刚化的梁段只有位移无变形。 解： 1、首 先 将 AB 梁段刚 化， BC 段看 为变形弹性体。 此时 B 处的转角和挠度为零如图 b 所 示。则 2 2 2 1 3 IE lF w C ?= 。 2、将 BC 段 刚化， AB 段 看作弹性体， 把力简化到 B 截面， 其等效力为集中力 F 和力 偶 B A F EI 2 EI 1 A C B (b)(a) (c) 题 4 图 l 2l1 C F C B F M B =Fl 2 B EI B C (a) q F=ql/4 A q/2 EI M B l/2 l/2 l/2 l/2 l/2 题 3 图 M B =ql 2 /16 q/2 (d) A q/2 C B (c) D A q/2 C B A C (b) 3 2 lFM = 如图 c 所示 。 在 F 力作用 下， B 截面挠度、转角为： 1 2 1 3 2 , 3 IE lF IE lF w FBFB ?=?= θ 在 M 作用下 ， B 截面挠度、转角为： ( ) () 1 12 1 2 12 , 2 IE llF IE llF w MBMB ?=?= θ 由于 BC 段为 刚体，所以在 F、 M 作 用下引起 C 处的挠度为 MBFBC www += 2 以及 ( ) 23 lw MBFBC θθ += 3、叠加求 C w 1 2 21 1 2 2 1 1 3 1 2 3 2 321 33 IE llF IE llF IE lF IE lF wwww CCCC ????=++= 5 多跨静定 梁如图所示，试求力作用点 E 处的 挠度 。 E w 解题分析： 此题用梁分解方法求解， 中间铰处 拆开后， 对 左段梁和右段梁的作用力和反作用 力按外力处理。 解： 将结构 拆成三部分，分析每部分受力情况，研究其变形，最后用叠加法求解。 1、求图 b 中 B 点挠度 ： B w ( )( ) IE lF IE l F w B 2 9 3 3 2 3 3 ?=?= 2、求图 c 中 E 点挠度 ： 1E w ( ) IE lF IE lF w E 648 2 33 1 ?=?= 3、求图 d 中 C 点挠度 ： C w ( ) IE lF IE l F w C 63 2 3 3 ?=?= 4、求 E 点总 挠度： () IE lF wwww ECBE 2 5 2 1 3 1 ?=++= 题 5 图 l C B A 3l CB l (c) F/2 F/2 E l (b) (d) F 3l l l l (a) F/2 F/2 D A B F D CE 4 6 图示简支 梁 AB， 在中点处加一弹簧支撑， 若使梁的 C 截面 处弯矩为零， 试求弹簧常量 k， 并绘出梁的剪力图和弯矩图。 支座 对弹簧的反力为 ， A、 B 处反力分别为 和 ，方向如图所示。根据对称关系， ＝ 。在 C 截面 将梁切开， 因为 C 处弯 矩为零， 则在 C 截面左侧有 解题分析 ： 利 用 梁 C 处挠 度等于弹簧压缩变形， 来确定弹簧 常量 k。 解： 1、求支 反力 设 C yC F yA F yB F yA F yB F 0 2 1 2 =?= ? qllFM yA C ，所以 qlFF yByA 2 1 == 。 由平衡方程 ，即 ，得 2、用叠加法 求 C 点的挠 度 0= ∑ y F 02 =?++ lqFFF yCyByA lqF yC = 。 () ( ) IE lq IE lF IE FCqCC yC 384 lq www yC 2448 2 25 4 3 4 =?=?= 3、确定弹簧 常量 梁在 C 点的 挠度就等于弹簧的压缩变形，即 k F yC w C = ，于是得 3 l w C 24 IEF k C == 4、画剪力、 弯矩图：见图 b、图 c。 (a) q A C B 题 6 图 l FBy F Ay l Cy EI F (b) ql 2 /8 ql/2 ql/2 /ql ql 2 /8 2 ql/2 (c) 5