1 超静定问题分析 典型习题解析 　 1 试判断下列结构中为几度静不定，给出基本结构并列出相应的变形协调条件。　 (a) 解 Ⅰ：梁有四个约束反力，有三个有效的平衡方程，但尚有一个条件，即在中间铰 B 处的内力弯矩为零，故为静定梁。 解 Ⅱ：去掉任何一个约束，该梁成为几何可变机构，所以是 1-1＝0 度静不定，即 静定结构。 (b) 解： 图示框架有三个约束反力，又有三个平衡方程式，故支反力是静定的。但框架 某一截面，有三个内力分量，即轴力、剪力和弯矩，是不能用静力方程直接确定的。 所以是内力三度静不定问题。将框架从任一截面截开，即构成基本结构。变形协调 条件为截开处左右边的轴向相对位移、横向相对位移和相对转角为零。 (c) 解： 图示框架有四个约束反力，只有三个有效的平衡方程，为一度外力静不定。每 个封闭圈三个未知内力，两个封闭圈共有六个未知内力，为六度内力静不定。故为 七度静不定问题。基本系统为 c-2。变形协调条件共七个，分别为：在 B 点，水平 位移 0= B ? ，在 C、 D 截面，左右相对转角为零、左右轴向相对位移为零以及左右 横向相对位移为零。 A 题 1 图 (a) B C (b) (c-1) A 题 1 图(c) B A (c-2) B C D 2 (d) 解： 图示结构为一封闭的圆圈，在任意截面截开后，有三个未知内力分量，故为三 度静不定。沿对称轴将圆环截开，由于对称性，轴力等于 2 F ，剪力等于零，只剩 下弯矩 M 未知，故只需补充一个变形协调条件。由于对称，变形协调条件可取为 0== DC θθ 。 2 试求图示梁的支反力。　 解题分析： 将 B 点铰拆开，则左右两边均为静定结构。而 B 点处有二个未知内力，所以为 二度静不定问题。但是在小变形条件下， B 点轴向力较小可忽略不计。所以实际未知力只有 B 点处垂直作用力一个。 解： 1、写出变形协调方程 设 B 点处垂直作用力为 By F ，其方向如图示。 设左半边结构 B 点挠度为 1B w ，右边结构 B 点 挠度为 2B w ，则本问题变形协调条件为 21 BB ww = 。 2、计算 By F 根据叠加原理，有 EI lF EI lq w By B 38 3 4 1 ?= (d-1) F F (d-3) F (d-2) F/2 C D F /2 F F F N F S M M M 题 1 图( d) M A w B1 F By F P C 2m 4m 20kN/ m A 2m B 40 kN C l/2 l q D D B 题 2 图 w B2 F By l/2 3 EI lF EI lF l EI l F EI l F EI lF l w EI lF w By By DD By B 48 5 322 2 3 2 323 3 P 3 2 P 3 P 33 2 += ? ? ? ? ? ? × ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? +=?++= θ 由变形协调条件 21 BB ww = 得 ( ) N1075.8 48 N10405 8 m4N/m1020 2 3 48 5 82 3 3 33 P ×= ? ? ? ? ? ? ×× ? ×× ×= ? ? ? ? ? ? ?= Fql F By 3、计算支反力 分别考虑左、右边结构的平衡，得 () ( )↑=××?××=?= kN25.71N1025.71N1075.8m4N/m1020 333 ＝ ByA FqlF () （逆时针）m125kNmN10125 4mN1075.8m4N/m1020 2 1 2 1 3 3 2 32 ?=?×= ××?×××=?= lFqlM ByA ( )↑=××+×=+= kN75.48N1075.48N1075.8N1040 333 P ＝ ByC FFF （顺时针）mkN115mN10115 4mN1075.8 2 N1040 22 3 3 3 P P ?=?×= × ? ? ? ? ? ? ? ? ×+ × =? ? ? ? ? ? +=+?= lF F lF l FM ByByC 3 结构如图示，设梁 AB 和 CD 的弯曲刚度 EI 相同。拉杆 BC 的拉压刚度 EA 已知，求拉杆 BC 的轴力。　 解题分析： 将杆 CB 移除，则 AB、 CD 均为静 定结构。杆 CB 的未知轴力 F N 作用在 AB， CD 梁上。为一度静不定问题。 解： 1、写出变形协调方程 力 q、 F N 作用下， B、 C 点发生向下的挠度， 同时杆 CB 产生拉伸变形。三者的关系为 BCCB ?ww += ，此即本问题的变形协调方程。 2a 2a A q A q a a B F N C D D a B a C 题 3 图 F N F N F N 4 2、计算 CB 杆的轴力 F N 由叠加原理，得 B 点挠度为 () ( ) EI aF EI aq w B 3 2 8 2 3 N 4 ?= C 点挠度为 EI aF w C 3 3 N = 杆 CB 的伸长量为 EA aF ? BC N = 代入变形协调方程 BCCB ?ww += ，得 () () EA aF EI aF EI aF EI aq N 3 N 3 N 4 33 2 8 2 +=? 解得 IAa Aqa Aa qa F + = + = 2 3 2 N 3 2 1 3 2 4 图示梁的右端为弹性转动约束，设弹簧常量为 k。 AB 段可视为刚性，并与梁刚性连接。 又梁的变形很小， EI 已知， 试求在力 F 作用下 B 截面上的弯矩。　 解题分析： 在力 F 作用下， 梁 B 截面发生转动， 使弹簧伸长 ?。设弹簧拉力为 F T ，弹簧对 B 截 面的转动有约束。是一度静不定问题。 解： 1、写出变形协调方程 设 AB 段转角为 1B θ ，梁 CB 的 B 截面转角为 2B θ 。由于 AB 与 B 点刚性连接，所以有 21 BB θθ = 。 2、计算 F T B 截面弯矩为 aFM B T = 。梁在 F 及 M B 的作用下， B 截面的转角为 EI alF EI lF EI lM EI lF B B 316316 T 22 2 ?=?=θ 而弹簧的伸长及 B 截面转角分别为 k F ? T = ， ka F a ? B T 1 ==θ 。代入变形协调方程 21 BB θθ = ， C F FT B a B1 l/2 C F a B A 题 4 图 FT B2 l/2 ? ? 5 得 EI alF EI lF ka F 316 T 2 T ?= 或 )3(16 3 2 2 T klaEI KalF F + = 3、计算 B 截面弯矩 B 截面弯矩 )3(16 3 2 22 T klaEI KalF aFM B + == 5 试求图示双铰圆拱的支座反力及中点 C 沿 F 力方向的位移， EI 为已知。　 解题分析： 去掉 B 点水平位移约束，结构变为静定结构，所以为一度外力静不定问题。 解： 1、变形协调方程 去掉 B 点水平位移约束，用未知力 Bx F 代替，得相当系统如图 b 所示。变形协调方程为 B 点水平位移为零，即 0= B ? 。 2、确定约束反力 由对称性知， A、 B 两点垂直方向约束反力大小为 2 F ，方向向上，如图 c 所示。 2 π 0 ≤≤? 时， ??? sin)cos1( 2 )( RFR F M Bx +??= 在相当系统中，去掉所有外力，即为基本系统。在基本系统 B 点加水平单位力，则 2 π 0 ≤≤? , ?? sin1)( RM ?= 由单位载荷法， B 点水平位移（下式利用了对称性，只对 1／ 4 圆积分，然后乘以 2）为 EI RF EI FR RRRFR F EI sMM EI ? Bx Bx s B 2 π 2 sin1sin)cos1( 2 2 )()( 1 33 2 0 +?= ??? ? ? ? ? ? ? ?+??== ∫∫ π ??????ｄｄ (a) C A B R F 题 5 图 (b) (c) F/2 R F FBx F (d) R 1 FBx F/2 6 由变形协调条件 0= B ? 得 π F F Bx = 3、计算 C 点沿 F 力方向的位移 C ? 在相当系统上，有 2 π 0 ≤≤? ： ??? sin π )cos1( 2 )( R F R F M +??= ； 在基本系统 C 点处沿 F 力方向加单位集中力，则 2 π 0 ≤≤? ： ??? sin π 1 )cos1( 2 1 )( RRM +??= 由单位载荷法，得 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? = ? ? ? ? ? ? +??== ∫∫ 8π 4π8π3 sin π 1 )cos1( 2 12 )()( 1 23 2 2 0 2 EI FR RFR EI sMM EI ? s C ????? π ｄｄ 6 结构如图 a 所示， aBDBCADAC ==== ，已知各杆弯曲刚度 EI 相同。 A、 B 点为刚 性连接， C、 D 点为铰连接。将 C、 D 点用一弹簧相连，弹簧常数为 2k。但由于弹簧短了 ?， 强行相连后，在 A、 B 点加力 F。试问：当 F 为多大时，弹簧回复到其原长？ 解题分析： 如果没有弹簧，该结构为静定的。加弹簧后，弹簧受的力未知，为一度静不定问 题。由于弹簧短了 ?，所以在加 F 力之前，弹簧已受拉力；在加 F 力过程中， C、 D 两点间 产生相向位移，弹簧所受拉力不断减小。当弹簧所受力为零时，弹簧即回复到原长。这时的 F 即为所求。 F 1 F/π 1/2 F/2 F/2 F/π 1/π 1/π 1/2 题 5 图 (e) C C (c)(a) a F A D C (b) 题6图 x F B F X X F /2 F /2 M max 7 解： 1、变形协调方程 由于左右对称，只取左半部分研究。将弹簧去掉，用弹簧所受的力的一半代替其作用，得 相当系统如图 b 所示。设 X、 F 作用下， C、 D 间相对位移为 1 ? ，则弹簧的伸长变形与 1 ? 之 和应该等于 ?。所以变形协调方程为 ?? k X =+ 1 )2( )2( 或 ?? k X =+ 1 2、计算弹簧受力 X 以 C 为原点，沿 CA 建立 x 坐标系，则 CA 部分的弯矩为 () xX F xM ? ? ? ? ? ? += °° 45cos45sin 2 ， ( ) ° = ? ? 45cosx X xM CA 部分的应变能为 x EI xM V a AC ｄ ∫ = 0 2 ε 2 )( ， 左半部分结构的总应变能为 ( ) x EI xM VV a AC d 2 22 0 2 εε ∫ == 由卡氏第二定理，得 () () 324 2 d 2 3 0 ε 1 aXF EI x X xM xM EIX V ? a ?? ? ? ? ? ? += ? ? = ? ? = ∫ 代入变形协调方程，得 EIka kFaEIk? X 62 6 3 3 + ? = 刚架的弯矩图如图 c 所示，其中 EIka EIFaaEIk? M 2622 36 3 max + + = 。 3、计算弹簧回复到其原长时的 F 的大小 令 0=X ，即 0 62 6 3 3 = + ? EIka kFaEIk? ，得 3 6 a EI? F =