弯曲应力 典型习题解析 1 T形 截 面 铸铁梁 受力 如图， 许用 拉应力 [ ] MPa40 t =σ ，许 用压应 力 [ ] MPa60 c =σ ，已 知 kN， kN， m 12 1 =F 5.4 2 =F 8 10765 ? ×= z I 4 ， mm52 1 =y ， mm88 2 =y 。 不考虑弯曲切 应力，试校核梁的强度。 y 解题分析： 铸铁为脆性材料。 脆性 材料的拉压强度有显著区别， 一般 其抗压强度明显高于抗 拉强度。为了充分利用这一特点，通常将其横截面选为 T 形。脆性材料梁一般要同时校核 其抗拉强度和抗压强度。 解： 1、计算 支反力 设 A 处支反力为 ， B 处 支反力为 ，均竖直向上。考虑梁 AD 的平衡，有 yA F yB F 0= ∑ B M ， 0m1N0112m1N015.4m2 33 =××+××?×? yA F 得 kN 75.3= yA F 0= ∑ A M ， 0m1N0112-m3N015.4m2 33 =××××?× yB F 得 kN 75.12= yB F 2、作弯矩图 ，确定危险截面 4.5kN·m x (b) 3.75kN·m M (a) z y 2 y 1 F 1 F 2 1m1m C B A D F By F Ay 1m 题 1 图 1 弯矩图如图 b 所示，峰值 为 m3.75kN?= C M 和 m4.5kN??= B M 。 B 截面的上边缘各点受拉，下边缘各点受压； C 截面的上边缘各点受压，下边缘各 点受拉。由于不能直观确定最大拉、压应力的位置，需要进一步计算。 3、计算 B、 C 截面上的 应力 B 截面上： 最大拉应力 [] t 48 33 1 xam,t MPa6.30 m10765 m1052mN105.4 σσ <= × ××?× == ? ? z B I yM 最大压应 力 [] c 48 33 2 xam,c MPa8.51 m10765 m1088mN105.4 σσ <= × ××?× == ? ? z B I yM C 截面上： 最大拉 应力 [] t 48 33 2 xam,t MPa1.43 m10765 m1088mN1075.3 σσ >= × ××?× == ? ? z C I yM 所以，梁的强度不够。 2 图示结构 承受均布载荷， AC 为 10 号工字钢梁 ， B 处用直径 d =20 mm 的钢杆 BD 悬吊， 梁和杆的许用应力 [ ] MPa160=σ 。不考虑切应力，试计算结构的许可载荷 [q]。 D 题 2 图 2 (b) 1 q q 32 M 9 2m (a) A B q x C d 1m 2 解题分析 ： DB 杆作为支 撑 AC 梁的 约束，在考虑梁的强度时，也要考虑 DB 杆的 强度，许 可载荷取两种构件能承担的最小值。 解： 1、计算 支反力 设 A 点处支 反力为 ， B 处支反力为 ，均竖直向上。考虑 AC 梁的平衡，得 yA F yB F qF yA 4 m3 = ， qF yB 4 m9 = 2、梁的强度 条件 画梁的弯矩图如图 b。显 然， B 截面 为危险截面。 ，查表知 10 号工 字钢 ，于是 B 截面上弯曲正应力强度条件为 qM B 2 m5.0= 36 m1049 ? ×= z W []σσ ≤ xam 或 []σσ ≤== zz W q W M 2 max xam m5.0 解得 [] kN/m15.68N/m68015 m5.0 Pa10160m1049 m5.0 2 636 2 == ××× =≤ ? σ z W q 3、 BD 杆的 强度条件 BD 杆横截面上各点拉伸正应力相同，强度条件为 []σσ ≤ 或 []σσ ≤== 2 N π 4 1 4 m9 d q A F BD 解得 [] kN/m22.3N/m22300Pa10160m1020 m9 1 π m9 1 6262 ==××××=≤ ? σdq 4、确定结构 的许用载荷 取 AC 梁、 BD 杆的许用 q 值中的小值 ，即为结构的许用载荷。 所以 。 [] m/kN68.15=q 讨论： 本题 中根据题意， 没有考虑工字梁腹板上的弯曲切应力。 在实际工程设计时， 工字钢 3 等薄壁截面梁一般不宜忽略切应力。 3 材料相同 ， 宽度相等， 厚度 2/1/ 21 =hh 的两板叠放在一起组成一简支梁如图所示， 梁上 承受均布载荷 q。 (1) 若两板简单叠放在一起，且忽略接触面上的摩擦力，试计算此时两板 内最大正应力； (2) 若两 板胶合在一起不能相互滑动， 则此时的最大正应力比前种情况减少 了多少？ q 解题分析： 两板叠放在一起， 在均布载荷 q 作 用下， 两梁一起变形， 在任一截面上， 两者弯 曲时接触面的曲率相等。 小变形情况下， 近似认为两者中性层的曲率相等。 根据该条件， 可 计算出各梁分别承担的弯矩。 然后再分别计算两梁的最大应力。 两板胶合在一起时， 按一个 梁计算。 解： 1、计算 两板简单叠放在一起时的最大应力 设变形后任一截面处两梁中性层曲率半径分别为 1 ρ 和 2 ρ ，两梁承担的弯矩分 别 为 和 ，截面惯性矩分别为 和 。则由前面分析知 1 M 2 M 1 I 2 I 21 ρρ = 。 由于 1 1 1 1 IE M = ρ ， 2 2 2 1 IE M = ρ 所以 22 3 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 8 1 )(, MM h h M I I M IE M IE M ==== 梁中间截面弯矩为 2 21 8 1 lqMMM =+= 于是 2 1 72 1 lqM = ， 2 2 9 1 lqM = b h 2 h 1 Ｂ A l 题 3 图 4 两板最大弯曲正应力分别为 2 1 2 2 1 1 1 1 xam1, 12 6 hb lq bh M W M ===σ 2 2 2 2 2 2 2 2 xam,2 3 26 hb lq bh M W M ===σ 2 1 8 1 2 1 2 2 xam2, xam1, == h h σ σ 2、计算两板 胶合在一起时的最大正应力 这时，按一个梁计算，于是梁中最大弯曲正应力为 2 2 2 2 21 2 xam xam 3 6 )( 8 1 hb lq hhb lq W M = + ==σ 胶合前 后最大正应力之比 2 1 xam,2 xam = σ σ 亦即，两板胶合后最大正应力是未胶合时最大正应力的一半。 4 简支梁如 图所示，试求梁的最底层纤维的总伸长。 q 解题分析 ： 梁弯曲时， 截面上、 下边缘上各点处为单向应力状态。 利用弯曲正应力公式计算 应力， 再由胡克定律求应变。 在下表面取微段， 可由该微段处应变计算其伸长， 然后进行积 分可求出梁下边的总伸长。 解： 1、计算 梁底层微段的伸长量 在距左端为 x 处，取梁底层上一微段 来研究。由弯曲正应力公式，有 xd dxx B h b A l 题 4 图 5 W xM x )( )( =σ 由胡克定律 )()( xEx εσ ?= 得 )( 3 6 2 1 2 1 )( )( 2 22 2 xxl hbE q hb E xqxlq EW xM x ?= ? ==ε 而 x x x d )d( )( ? =ε ，所以 xxxl hbE q x d)( 3 )d( 2 2 ??=? 3、梁的最底 层纤维的总伸长 沿梁全长 积分得 2 3 0 32 2 0 2 ) 32 ( 3 )d( hbE lq x l x l hbE q xl l l =?=?=? ∫ 5 矩形截面 简支梁由圆形木材刨成， 已知 Nk5=F ， m5.1=a ， [ ] MPa10=σ ， 试确定此矩 形截面 b h 的 最 优 比 值 ， 使 其 截 面 的 抗 弯 截 面 系 数 具 有 最 大 值 ， 并 计 算 所 需 圆 木 的 最小直径 。 d FF 解题分析 ： 利用圆木直径 d 与 h、 b 的数学关系，写出矩形截面抗弯截面系数 W 的 表达式 ， 用求极值的方法确定 h/b 的最优比值。再利用弯曲强度条件确定 W 值， 最后解出 d 值。 解： 1、确定 W 最大时的 b h 6 )( 6 222 bdbhb W ? == ，令 0 d d = b W 得 b h d CD aa B A a 题 5 图 6 0)2( 6 1 22 =? bh 或 2= b h 2、确定圆木 直径 d C、 D 截 面处弯矩最大，为危险截面。根据强度条件 []σσ ≤= W M xam xam 知 ][ max σ M W ≥ mN105.7m5.1N105 33 max ?×=××== aFM 所以有 3435 6 3 mm1075m1075 Pa1010 mN105.7 ×=×= × ?× ≥ ? W 取 [] 342 2 mm1075)2( 6 1 6 ×=×== bb hb W ，于是得 mm131=b 。 22222222 mm10515mm13133 ×=×==+= bbhd 得 。 mm227=d 6 截面为 40 mm× 5 mm 的矩形截面直杆，受轴向拉力 F = 12kN 作用， 现将杆件一侧开一 切口，如图 a 所示。已知 材料的许用应力 [ ] MPa100=σ ， (1) 计算切口许可的最大深度，并 画出切口处截面的应力分布图。 (2) 如在杆的另一侧切出同样的切口，正应力有何变化？ 解题分析： 此 题为偏心拉伸问题， 可利用弯曲与拉伸组合变形的强度条件求出切口的允许深 度。若另一侧开同样深度切口，偏心拉伸问题变为轴向拉伸问题。 解： 1、计算 切口许可的最大深度 设切口深度为 。如图 b 所示,切口截 面形心在 Cy ′点，显然，杆在切口处截面承受 偏心拉伸， 偏心距 e=y/2。 切口的内力如图 c 所示 。轴 力 FF = N ，弯 矩 M=Fy/2。 切口的许 y (a) F 题 6 图 h= 40mm C F F F F b=5mm (b) (c) (d) 100MPa F C' M 38MPa 7 可最大深度 y 由杆的强度 条件确定。强度条件为 []σσ ≤+= z W M A F N xam 式中切口截面的面积 ，抗弯截面系数)( yhbA ?= 6 )( 2 yhb W z ? = ，代入强度条件得 []σσ ≤ ? + ? = 2 xam )( 3 )( yhb Fy yhb F 0mm640mm128 22 =+? yy 解方程后得到两个解： mm2.5,mm8.122 21 == yy 。显 然 mm8.122 1 =y 不合理， 所以 切口最大深度不得超过 5.2 mm 。 2、计算切口 截面的最大正应力和最小正应力，画应力分布图 MPa100Pa10100 m105.2)40(5 m102.5N10123 m10)2.540(5 N1012 6 392 33 26 3 N xam =×= ×?× ×××× + ×?× × =+= ? ? ? z W M A F σ MPa38Pa1038 m105.2)40(5 m102.5N10123 m10)2.540(5 N1012 6 392 33 26 3 N nim =×= ×?× ×××× ? ×?× × =?= ? ? ? z W M A F σ 切口截面上的应力分布如图 d 所示 。 3、在杆另一 侧切出同样的切口情况 由于没有偏心，切口截面只承受轴向拉力 F，正应力在截面上均匀分布，其大小为 MPa1.81Pa101.81 m10)2.5240(5 N1012 )2( 6 26 3 N =×= ××?× × = ? == ? yhb F A F σ 讨论 ： 从 计 算结果可以看出， 杆的两侧有切口虽然截面面积减少， 但正应力却比一侧切口时 的最大正应力为小， 可见弯矩的出现明显增大构件中的应力。 这也是工程上尽可能避免或减 小结构中弯矩的原因。 7 图示直径 为 d 的均质 圆杆 AB 承受 自重， B 端为 铰链支撑， A 端靠在光滑的铅垂墙上。 试 确定杆内出现最大压应力的截面到 A 端的距离。 8 F 解题分析 ： 杆 AB 的自重可看作方向竖直向下的均布载荷 q。 它在杆轴向和垂直轴线方向产 生两个分量。 加上 A 点 支反力 F 也 在轴向有分量， 所以杆发生弯曲和轴向压缩的组合变形。 解： 设杆的 单位长度的重量为 q，墙 对杆的水平支反力为 F，考虑 AB 杆 的平衡，有 ， 0= ∑ B M αα cos 2 sin l lqlF ?= αcot 2 lq F = 考虑到 A 点 的距离为 s 的横截面，该截面上的内力分量为 轴力（压） α α α αα sin sin cos 2 sincos 2 N qs lq qsFF +?=+= 弯矩 αααα cos 2 cos 2 cos 2 sin 22 sqslqsq sFM ??=?= s 横截面上绝对值最大的压应力为 )cos 2 cos 2 ( π 32 )sin sin cos 2 ( π 4 A 2 3 2 2 N ααα α α σ sqslq d sq lq d W MF ?++?=+= 令 0 d d = s σ 得到 0)coscos 2 ( π 32 sin π 4 32 =?+ ααα sq lq d q d 求得 αtan 82 1 d s += 。此即最大压应力截面到 A 端 的距离。 B A q B α A s l 题 7 图 9