1 扭转 典型习题解析 1 一内径 d=100mm的空心圆轴如图示，已知圆轴受扭矩 mkN5 ?=T ，许用切应力 ][τ =80MPa， 试确定空心圆轴的壁厚。 解题分析： 因为不知道壁厚,所以不能确定是不是薄壁圆管。 分别按薄壁圆管和空心圆轴设计。 解： 1、按薄壁圆管设计 薄壁圆管扭转时，假设切应力沿壁厚均匀分布，设壁厚为 δ ， 平均半径为 2/ 0 ）（δ+= dR ，则扭转切应力为 δ τ 2 0 π2 R T = 强度条件为 ][ττ ≤ ，于是得 ][π 2 2 τ δδ T d =+）（ ][π 2 2 223 τ δδδ T dd =++ () Pa1080π mN1052 m10100m101002 6 3 2 3233 ×× ?×× =×+××+ ?? δδδ 解得 mm70.3m1070.3 3 =×= ? δ 2、按空心圆轴设计 强度条件为 ][ p max ττ ≤= W T 将 δ2 16 π 44 p +=?= dDdD D W）；（代入得 2 0][π16][π][ π 16 44 44 =??≤ ? τττ dTDD dD DT ， ）（ 0Pa)108(m1.0πmN10516Pa1080π 64346 =××?×?××?×××）（DD 解得 mm107.7m10107.7 3 =×= ? D mm85.3 2 mm100mm7.107 2 = ? = ? = dD δ 比较可知，两种设计的结果非常接近 。 讨论: 当 10/ 0 R≤δ 时，即认为是薄壁圆管，可以直接使用薄壁管扭转公式。 2 图示受扭圆杆，沿平面 ABCD截取下半部分为研究对象，如图 b所示。试问截面 ABCD上 的切向内力所形成的力偶矩将由哪个力偶矩来平衡？ 解题分析： 由切应力互等定理可知截面 ABCD上的切向内力分布及其大小。该截面上切向内 力形成一个垂直向上的力偶矩。在图 b中，左右两个横截面上的水平切向内力分量形成垂直 于截面 ABCD的竖直向下的力偶矩，正好与截面 ABCD上切向内力的合力偶矩平衡。 解： 1、计算长为 l 的纵截面 ABCD上切向内力的合力偶矩 如图c所示，在纵截面上取一微面积 ρdd ?=lA ， 其上切向内力的合力即微剪力 ρρρτ ddd p ρS ??=??= l I T lF 微剪力对 z 轴的微力矩为 ρρρτρρ dddd 2 p ρS ??=??== l I T lFM z 积分得到纵截面上切向内力对 z 轴的合力偶矩为 题 2图 M (a) A B (d) R D (c) θ d (b) C dρ θ A D A B C M z B xD C ρ 3 p 3 0 2 p 3 2 d2d I TlR l I T MM R zz =??== ∫∫ ρρ ，方向竖直向上。 2、计算两端横截面切向内力的水平分量形成的力偶矩 如图d所示，微面积 θρρ ddd =A 上切向内力的水平分量为 θρθρθθρρτ ddsinsinddd 2 p ρ ?=??= I T F 右端横截面上剪力的水平分量为 3 p 0 2 p 2 π 0 S 3 2 ddsin2 R I T I T F R == ∫∫ θρθρ 左右两个横截面上水平剪力形成绕 z 轴的力偶矩为 3 p S 3 2 lR I T lF =? ，竖直向下。 所以， 截面 ABCD上的切向内力所形成的力偶矩将由左右两个横截面上水平剪力形成 的力偶矩平衡。 3 空心钢轴的外径 D = 100 mm，内径 d = 50 mm。已知间距 l = 2.7 m 之间两截面的相对 扭转角 ? =1.8°，材料的切变模量 G = 80 GPa。试计算： (1) 轴内最大切应力； (2) 当轴以 n = 80r/min 的速度旋转时，轴传递的功率 (kW)。 解题分析： 由已知条件 ? 求出扭矩 T ，由 T 计算 xam τ 和功率 P。 解： 1、根据相对扭转角列出扭矩的表达式 π 180 p ° ×= GI Tl ? ，即 l GI T ° = 180 π p ? 2、计算最大切应力 MPa6.46Pa106.46 180m7.22 m1.0Paπ10808.1 1802 π 180 2 π 2 6 9 p p p max =×= °×× ×××° = °× = °× × = ? = l DG lI D GI I D T ? ? τ 　 3、计算轴传递的功率 4 由 { } {} r/min kW 4124429 80 9549 32 m1050100π m7.2180 Pa10808.1 P T = ×? × ×° ××° = ? ）（ 得 kW7.71=P 4 若用一内外径比值为 0.6的空心轴来代替直径为 d = 400 mm 的实心轴，在两轴的许用切 应力相等的条件下，试确定空心轴的外径，并比较实心轴和空心轴的重量。 解题分析： 用空心轴代替实心轴，须保证二者强度相同。根据强度条件可求出 D值，再用面 积比得出重量比。 解： 1、根据两轴切应力相等的条件，确定空心轴外径 ][ P max 实P max τ== 空 W T W T )1( 16 π 16 π 4 33 α?= Dd mm420 )6.01( 1 mm400 )1( 1 )1( 4 3 4 3 4 3 3 = ? = ? = ? = αα d d D 2、比较实心轴和空心轴的重量 两轴重量比应等于其横截面面积 空 A 和 实 A 之比： %71%100 mm400 6.01mm420 4 π )1( 4 π 22 222 2 2 2 =× ? = ? = ）（ 实 空 d D A A α 即在强度相同条件下，空心轴可以节约近 30％的材料。 讨论 ： 在实际工程中常用空心圆轴代替实心圆轴， 在保障安全运行的前提下， 可以节约材料。 5 已知钻探机杆的外径 D = 60 mm，内径 d = 50 mm，功率 P = 7.46 kW，转速 n =180 r/min， 钻杆入土深度 l = 40 m， G = 80 GPa， [τ]= 40 MPa。设土壤对钻杆的阻力是沿长度均匀分布 的，试求： (1) 单位长度上土壤对钻杆的阻力矩 M； (2) 作钻杆的扭矩图，并进行强度校核； (3) 求 A、 B两截面相对扭转角。 解题分析： 根据题意，为圆轴扭转问题。土壤对钻杆的阻力形成扭力矩作用在钻杆上，并沿 钻杆长度方向均匀分布。 5 解： 1、求阻力矩集度 M 设钻机输出的功率完全用于克服土壤阻力，则有 mN390 min/r180 kW46.7 9549 }{ }{ 9549 minr kW ?=== n P T 单位长度阻力矩 m/mN75.9 m40 mN390 ?= ? == l T M 2、作扭矩图，进行强度校核 钻杆的扭矩图如图 c 所示。最大扭矩出现在 A截面，所以 A截面为危险截面。其上 最大切应力为 []ττ <= ×? ××? = × = ? ? MPa7.17 m10)5060( 32 π m1030mN390 41244 3 p max max I RT 满足强度要求。 3、计算 A、 B两截面相对扭转角 ? AB 2 ·d · d· p 0 p 0 p l GI T x GI l x T GI xM ll AB === ∫∫ ? °== ××?×× ×?× = ? 8.48rad0.148 2m10]5060[πPa1080 m04mN39032 412449 ）（）（ 6 两个等长度的钢管松套在一起。 外管的尺寸为 D 1 =100 mm， d 1 =90 mm； 内管的尺寸 D 2 = 90 mm， d 2 = 80 mm。当内管受扭矩 T = 2 kN·m作用时，将两管的两端焊接起来。然后去掉内管 上的扭矩，问此时组合管内将产生怎样的应力？试画出组合管横截面上的切应力分布图。 6 解题分析： 内、外管两端焊接后，内、外管在端截面处一起变形。去掉内管扭矩后，内管产 生恢复性扭转变形，并带动外管也产生扭转 变形。同时外管限制内管完全恢复到其受扭 前位置。两管在中间位置取得平衡。此题属 于扭转静不定问题。 解： 设预加扭矩 T 在内管引起的扭转角为 ?； 在焊接后和去掉内管扭矩后，设外管所受扭 矩为 T 1 ，相应扭转角为 ? 1 ，内管所受扭矩为 T 2 ，相应扭转角为 ? 2 。 1、列静力平衡方程 21 TT = (a) 2、列变形协调方程 21 ??? += (b) 代入物理关系得 p2 2 p1 1 p2 GI lT GI lT GI Tl += (c) 3、计算各管扭矩 将 (a)、 (c)联立求解，得 ）（）（ ）（ 4 1 4 1 4 2 4 2 4 1 4 1 p1p2 p1 1 dDdD dDT II TI T ?+? ? = + = 2 4124441244 412443 1 mN1166 m1090100m108090 m1090100mN102 TT =?= ×?+×? ×??× = ?? ? ）（）（ ）（ 4、计算外管和内管的切应力 MPa3.17Pa103.17 m1090100π 32m1050mN1166 2 6 41244 3 p1 1 1 max1 =×= ×? ×××? = × = ? ? ）（ I D T τ MPa8.21Pa108.21 m10)8090(π 32m 1045mN 1166 2 6 412-44 3- p2 2 2 2max =×= ×? ×××? = × = I D T τ τ 1max ? ? 2 7 组合管的切应力分布图如图 b所示。 7 一圆形截面杆和矩形截面杆受到相同扭矩 T = 400 N· m作用，圆杆直径 d = 40 mm，矩形 截面为 60 mm× 20 mm，试比较这两种杆的最大切应力和截面面积。 解题分析： 圆形截面杆受扭时最大切应力发生在截面边缘各点处，矩形截面杆受扭时最大切 应力发生在截面长边中点处。计算时需要先查表得到有关系数。 解： 1、分别计算两种截面杆最大切应力 圆杆 MPa 9.31Pa109.31 m)1040(π mN40016 π 16 6 333 p max =×= ×× ?× === ? d T W T τ 矩形杆，先计算比值 3 2 6 == b h ，查表 267.0=α MPa4.62Pa104.62 m)1060(m1020267.0 mN400 6 3232 max =×= ×××× ? == ?? ）（hb T α τ 2、分别计算两杆截面面积 圆杆 () mm1260m101260 4 m1040π 26- 2 2 -3 =×= ×× = 圆 A 矩形杆 1200mmm101200m102060 2626 =×=××= ?? 矩 A 讨论 ：矩形截面面积与圆形面积相近，但是最大切应力却增大了近一倍，且 b h 之值越大，切 应力也越大，因此工程中应尽量避免使用矩形截面杆作扭转杆件。 8 图示的闭口薄壁截面杆受到外力偶 M的作用。若 [ ] MPa60=τ ，试按强度条件确定其许用 扭力矩。若在杆上沿母线开一缝，试问开缝后，许用扭力矩又为多少？ 解题分析： 闭口薄壁杆受扭时，最大 切应力发生在杆壁最薄处。开口薄壁 可看成以若干狭长矩形截面杆组合而 成，以求和的形式计算最大切应力。 由切应力强度条件确定许用扭力矩。 解： 1、确定闭口薄壁截面杆的许用扭力矩 已知： h=300mm， b=100mm， δ=3mm，则最大切应力及其强度条件为 300 题 8图 M M 3 100 8 ][ 2 min max τ δ τ ≤= ? T 式中 ?为截面中心线所围的面积。 ()() mN10108Pa1060m103m101003002 ][2][2 263-26- min ?×=×××××××= === τδτδ hb?TM 2、确定开缝后的许用扭力矩 ][ 3 1 3 max max τ δ δ τ ≤= ∑ ii h T 式中 4123412341233 m103 3 800 )m103100m103300(2 3 1 3 1 ??? ××=××+×××= ∑ ii h δ mN144Pa1060 m103 m103 3 800 ][ 3 1 6 3 4123 max 3 ?=×× × ×× === ? ? ∑ τ δ δ ii h TM 讨论 ：上述计算结果表明，开口薄壁杆比闭口薄壁杆扭转时承载能力差很多。